数学建模_企业退休职工养老金制度改革

1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报

2、名号的话）：所属学校（请填写完整的全名） ：重庆交通大学参赛队员(打印并签名 ) ： 1.王超2. 张浩3. 李丽娟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：韩乐文日期：2011年 9月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：12011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2企业退休职工养老金制度改革 摘要 养老金制度是社会保障体系的基础和核心，现在我国养老保险正处于过渡期。替代率较低，退休职工的生活水

3、准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。本文结合山东省职工平均工资进行全面的分析。首先，通过对中国历年的经济和工资等数据的收集，建立图表分析，提出对中国经济发展和工资增长形势的假设，由此并预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。对于问题二、三，我们小组根据养老金的计算方法，把基础养老金和个人账户养老金分别建立模型，由附件3 给我们的本人指数化月平均缴费工资的函数模型和我们自己建立的 C+程序模型可以得到养老金。其次，如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，根据我国经济发展的趋势对缴费

4、工资与社会平均工资之比（缴费指数）和职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例（替代率）以及养老金收支只差（缺口）进行分析计算，大致通过缴费指数、替代率、缺口对我国养老保险改革制度提出更优化的方案。关键字图表替代率C+程序收支平衡1一、问题重述现在我国养老保险改革正处于过渡期。 养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基

5、金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件 1 是山东省职工历年平均工资数据；附件 2 是 2009 年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件 3 是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一： 对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值， 考

6、虑该企业职工自 2000年起分别从 30 岁、 40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（ 55 岁， 60 岁， 65 岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000 年起从 30 岁开始缴养老保险， 一直缴费到退休（ 55 岁， 60 岁， 65 岁），并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。2二、主要变量及其符号假设S1企业总工资S2平均工资N 企

7、业总人数 Yn 职工缴费指数Pn 各年龄段职工缴费工资B 全省上年度在岗职工月平均工资 S 本人指数化月平均缴费工资a 缴费年限g 某职工工作一年的工资收入k 职工平均工资增长率n 缴费年限c 计入个人账户比例z 退休当年个人账户储存总额q利率Fn 退休时养老金Mn 退休后领取到 75 岁时得到的养老金Cn总的养老金Pn缺口情况Gn领取到养老金年限3三、问题的分析问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出假设，需要根据历年中国 GDP的增长情况和工资增长情况进行分析，在中国近些年的社会发展现状下，我们初步认为我国经济发展和工资增长的形势有三种情况。一、出现下滑的现象二、保持增长但增长率逐渐

8、降低三、达到饱和不再增长可参考附件 1 和对未来中国经济发展和工资增长的形势的分析预测从2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。问题二： 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。附件2 给了我们相当重要的资料（ 2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表） ，以及附件 1 给我们的 2009 年该企业的平均工资（ 29688 元），把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（ 55 岁， 60 岁， 65 岁），计算各种情况下的养老金替代率。可分 6 种情况计算养老金替代率。分

9、别是 1、30 岁开始缴养老保险到 55 岁2、 30 岁开始缴养老保险到60 岁3、 30 岁开始缴养老保险65 岁4、 40 岁开始缴养老保险到55 岁5、 40 岁开始缴养老保险到60 岁6、 40 岁开始缴养老保险到65 岁问题三 : 企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（ 55 岁， 60 岁， 65 岁），并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。通过分析，我们认为问题二和问题三有很大的联系，主要攻克的难关就是问题二。我们用 C+

10、程序编写函数建立衔接关系。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险金收支平衡，首先要考虑职工退休时的养老金与退休前的工资的情况， 假设工资收入情况在工作期间保持在一定的水平，那么就只考虑职工刚退休时的养老金，职工刚退休时的养老金的增减直接影响替代率能不能达到目标替代率，养老金有两部分组成，基础养老金和个人账户养老金，其中，企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计影响基础养老金的在增减，计发月数影响个人账户的养老金的增减，通过分析以上数据可以调整计算，最终既可以达到目标替代率，又可以维持养老保险金收支平衡。四、模型的建立及求解问题一： 1、我们通过翻阅和上网查询建立中国历年GDP及增长

11、率的数据模型（图一）中国近年年度平均工资及增长率的数据模型（图二）4中国历年 GDP及GDP增长率统计图0.16350000.00.14300000.00.12250000.00.1200000.0GDP增长率0.08150000.0GDP（亿元）0.06100000.00.040.0250000.000.0份913579135791357788888999990000年999999999990000111111111112222中国近年年度平均工资3500035.000%3000030.000%2500025.000%2000020.000%平均工资（元）1500015.000%平均工资增长

12、率1000010.000%50005.000%00.000%份3579135799990000年9999000011112222图一图二我们通过对图一和图二的分析，可以做出这样的假设，假设未来中国经济保持持续增长，工资也保持持续增长。由于考虑到资源的消耗，人口基数大，和我国正处于初级发展阶段的现状。再假设总体经济还是保持持续增长，但增长率会有所下降。2、考虑到中国各省的经济发展各有不同，所以我们认为各省的平均工资也是不尽一致的，如果预测从 2011 年至 2035 的山东省职工的平均工资就必须从该省历年的平均工资水平以及未来发展前景而定。根据附件 1 制作出山东省职工历年平均工资图表（图三）山

13、东省职工历年平均工资统计图3500040.000%3000035.000%2500030.000%2000025.000%平均工资20.000%15000增长率15.000%1000010.000%50005.000%00.000%份80 83 8689929598010407 年1919191919 19 1920 2020图三从图中我们很容易得出从 1978 年到 2010 年山东省职工历年平均工资呈现持续增长，平均增长率为 11.3%。从山东省“十二五”规划中，我们了解到山东省在“十二五”规划中提出“在人民生活殷实富裕，城镇居民人均可支配收入和农民人均纯收入年均增长 10%，争取农民收入

14、实现更高增幅，逐步扭转收入差距扩大的趋势，城镇登记失业率控制在 4%以内，人均期望寿命力争达到 77 岁，价格总水平保持基本稳定，基本公共服务均等化程度明显提高。 ”故我们小组以 10%的年增长率来预测 2011 至 2015 年的山东省职工的年平均工资。再考虑到社会的进步，资源的不断消耗，我们认为山东省的经济会保持增长，但增长率会逐年降低，然后保持 8%的增长率，所以我们以每隔 5 年降低一个百分点直至 8%达到饱和来预测 2015 至 2035 年的山东省职工的年平均工资。则得出 2011 至 2035 年山东省职工的年平均工资。如下表5年份201020112012201320142015

15、2016平均工32074352813881042690469605165556304资年份2017201820192020202120222023平均工613726689572916794788583792704100120资年份2024202520262027202820292030平均工108129116780126122136212147109158878171588资年份2031平均工185315资问题二： 1、考虑到题中所给的收入数据是一个范围，我们小组选择了取二者范围内的中间值作为一个基准。先求出该企业总工资 S1，再用 S2（平均工资） = S1/N（企业总人数），然后利用公式

16、Yn（职工缴费指数） =Pn（各年龄段职工工资） /S2。n1 至 n8 代表各年龄段的总人数S1=1250*(74+36)+1750*(165+82+32+11+3+7+6)+2250*(26+94+83+74+43+32+23+17)+27 50*(16+42+95+83+86+32+29+27)+3250*(1+6+24+36+55+64+44+37)+3750*(3+6+16+21+ 41+21+7)+4500*(2+4+13+18+8+7)+6500*(2+3+4+3)=4293500N=1664S2= S1/N=2580.228将每个年龄段依次分为P1、P2、 P3、P4、 P5、

17、P6、 P7、P8。P1=（74*1250+165*1750+26*2250+16*2750+1*3250 ）/ n1P2=（36*1250+82*1750+94*2250+42*2750+6*3250+3*3750 ）/ n2P3=（32*1750+83*2250+95*2750+24*3250+6*3750+2*4500 ）/ n3P4=（11*1750+74*2250+83*2750+36*3250+16*3750+4*4500+2*6500 ）/ n4 P5=（43*2250+86*2750+55*3250+21*3750+13*4500+3*6500 ）/ n5P6=（3*1750+

18、32*2250+32*2750+64*3250+41*3750+18*4500+4*6500 ）/ n6P7=（7*1750+23*2250+29*2750+44*3250+21*3750+8*4500+3*6500 ）/ n7P8=（6*1750+17*2250+27*2750+37*3250+7*3750+7*4500 ）/ n8以下 Y 1 至 Y 8 对应上面各年龄阶段，所以解得 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比为Y 1= P1/ S2=66.94%Y 2= P2/ S2=80.50%Y 3= P3/ S2=98.26%Y 4= P4/ S2=106.67%Y 5

19、= P5/ S2=117.29%Y 6= P6/ S2=126.67%Y 7= P7/ S2=120.87%Y 8= P8/ S2=115.51%62、我们以山东省职工历年平均工资和问题一预测从2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资的数据为基准得到月平均工资增长率并通过图表计算得到月平均工资增长率9.12%作为职工工资增长率（记为k）年份年平均工资月平均工资月平均工资增长率2000877273120011000783412.34%20021137494812.02%20031256710479.49%200414332119412.32%200516614138513.74%20

20、0619228160213.59%200722844190415.83%200826404220013.48%200929688247411.06%20103207426737.44%20113528129409.09%20123881032349.09%20134269035589.09%20144696039139.09%20155165543059.09%20165630446928.26%20176137251148.26%20186689555758.26%20197291660768.26%20207947866238.26%20218583771537.41%2022927047

21、7257.41%202310012083437.41%202410812990117.41%202511678097327.41%2026126122105107.41%2027136212113517.41%2028147109122597.41%2029158878132407.41%2030171588142997.41%2031185315154437.41%2032200140166787.41%2033216151180137.41%2034233443194547.41%2035252119210107.41%我们用附件 2 计算出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均

22、工资之比看作职工缴费指数的参考值。得到图表如下7各年龄段总工资工资与平均工资之比（缴费指数）月缴费指数平均缴费指数487000188.76066.94%104.09%546250211.72580.50%613500237.79198.26%622000241.085106.67%668750259.205117.29%634000245.736126.67%421000163.178120.87%301000116.667115.51%根据题目的提示我们采用平均值作为本人平均缴费指数由于职工退休时的养老金由两部分组成，如下养老金 =基础养老金 +个人账户养老金因此我们分成了两个部分来建立模型

23、建立基础养老金的模型如下B：全省上年度在岗职工月平均工资S：本人指数化月平均缴费工资（S=B本人平均缴费指数）a ：缴费年限（根据题意有 15、20、25、30、 35）基础养老金 =（ B+S） 2a1%能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed MonthlyEarnings)”指标的计算模型为：x1, x2 ,K , xm 为参保人员退休前 1 年、 2 年、 、 m年本人缴费工资额c1, c2 ,K ,cm 为参保人员退休前1 年、2 年、 、m年全国 / 省 / 地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”n 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以

24、简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）xi 称为退休前第 i年的缴费指数， i =1, , m.ci可计算本人指数化月平均缴费工资为x1c1x2c1Lxmc1c1c2cmSn参保人员 i年度的本人缴费工资 xi 通过工资指数 c1得到指数化缴费工资 xi c1 ，从cici而使各年度不可比的 xi 换算为相当于参保人员退休前 1 年社会平均工资 c1水平的、可比的各年度指数化缴费工资xic1 ，各年度指数化缴费工资xi c1 加总再除以参保人员实cici际缴费月数和 n，进而得到本人指数化月平均缴费工资S。由此，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。

25、通过函数计算个人账户储存额：对于不同的情况我们例出了如下的一个表格：如下图8缴费起止年龄不同情况缴费年数n缴费截至年份对应计发月数退休前工资30至55岁252025170973230至60岁3020301391429930至65岁3520351012101040至45岁152015170430540至55岁202020139662340至65岁2520251019732由个人账户养老金 =个人账户储存额计发月数公式可先求每种情况下个人账户储蓄存额。考虑到职工的工资每年都会变化，而且存入的金额又会产生一定的利息，这就像我们日常银行存钱例子一样，只是存款会发生变化。由此我们小组自编求个人账户储存额

26、的C+程序（附录1），求出不同情况的个人储存额，并得出个人账户养老金，结果如下表：缴费起止年龄不同情况个人账户储存额对应计发月数个人账户养老金30至55岁76366.72170449.2230至60岁126789.51139912.1530至65岁205850.831012038.1340至45岁24380.49170143.4140至55岁44424.91139319.6040至65岁76366.72101756.11由养老金替代率 =退休时的养老金/ 退休前工资分 6 种情况得到下表缴费起止年龄个人账户养老金基础养老金退休时养老金退休前工资替代率不同情况30至 55岁449.222625.

27、033074.25973231.59%30至 60岁912.153150.043537.191429924.74%30至 65岁2038.133675.054663.162101022.19%40至 55岁143.411575.022768.45430564.31%40至 60岁319.602625.033600.90662354.37%40至 65岁756.112625.033381.14973234.74%问题三： 由问题二的模型中我们已经得到该企业某职工自2000 年起从 30 岁开始交养老保险，一直缴费到退休（ 55 岁， 60 岁,65 岁）这三种情况。得到退休时的养老金 F1(30

28、-55) ：3074.25 元F2(30-60) ：3537.19 元F3(30-65) ：4663.16 元3 种情况领取到 75 岁时得到的养老金如下M1：20123074.25=737820 元M2：15123537.19=636694.2 元M3：10124663.16=559579.2 元3 种情况下总的养老金为C1：787959.42C2：945924.34C3：1104552.359缺口情况 =C n-M n年龄段退休时总的养老金 Cn退休后领到的养老金 Mn缺口情况 Pn55-75787959.42737820-50139.4岁60-75945924.34636694.2-30

29、9230岁65-751104552.35559579.2-544973岁3 种情况下该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡 (G n 由四舍五入取整后的值 )G1=-P1/F1/12+75=76 岁G2=-P2/F2/12+75=82 岁G3=-P3/F3/12+75=85 岁问题四：根据前面的计算和分析，如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，我们小组认为可以延长个人账户养老金计发月数，同时提高工资缴纳到个人账户的比例、延长企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计即延长企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限。其中延长个人账户养老金计发

30、月数，同时提高工资缴纳到个人账户的比例是根据公式：个人账户养老金 =个人账户储存额 / 计发月数延长个人账户养老金计发月数可以保证缴纳养老保险人可以能够领到与自己缴纳的养老保险金额，达到相平衡，同时提高工资缴纳到个人账户的比例，可以增大个人账户储存额，以满足上面分子与分母之比增大，也就是使个人账户养老金增多，这样，养老金的金额就会增加，增加到一定程度，相对于之前的平均工资来说，根据公式：替代率 =职工刚退休时的养老金 / 退休前的社会平均工资那么，替代率就会达到目标替代率，这样以达到使养老保险基金收支平衡。对于延长企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计，有由题目给出的公式：基础养老金 =( 全省上年度在岗职工月平均工资 +本人指数化月平均工资 )/2* 缴费年限 *1%x1c1x2c1L