2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

1、2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题(4 月 24 日上午 8:30 11:00)第一试、选择题（每小题 6分，共48分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合M =1,2,3,10A是M的子集，且A中各元素的和为8,则满足条件的子集A共有（）A. 8个B. 7个C. 6个D.5个2、在平面直角坐标系中，不等式组B.3J3y 2 0表示的平面区域的面积是（0C. 2D. 2 .33、设a, b ,c是同一平面内的三个单位向量,且a b，则（c a） （c b）的最大值是B. 12C. /2 1D. 14、从1,2, ，20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等

2、差数列的概率为1A.一51B.103 C. 193D.385、A, B是抛物线3 x2上关于直线x y 0对称的相异两点，则| AB |等于A.B. 4D.4 26、如图,则三棱锥在棱长为1的正四面体ABCD中, M BCD的外接球的表面积为（7、8、A.设函数f (a)f (x)x3f (b)A. 16设非负实数A. 22 axb3,B.bxc （a,b, c均为非零整数）则c的值是（）C. 4D. 16a, b, c 满足 abB. 3bcca a b0,则 TabBCD的重心,Vbc Vca的最小值为D. 2 . 2二、填空题(每小题8分，共32分)9、在数列an中，a4 1,aii 9

3、,且任意连续三项的和都是15，则22。化 _.10、设m,n均为正整数，且满足 24m n4 ,则m的最小值是.11、设f (x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，且f (x)+g(x) 2x,若对x 1,2, 不等式af (x)+g(2x) 0恒成立，则实数a的取值范围是 .12、设 x R ,则函数 f (x) | 2x 1| | 3( 2 | | 4x 3 | | 5c 4 |的最小值为 .第二试、(本题满分20分)设x, y均为非零实数，且满足x sin - y cos-55x cosy sin 一559 tan20,求sin 2 A 2cosB的最大值.(1)求y的值；(

4、2)在 ABC中，若tanC x二、（本题满分 20分）已知直线l : y J3x 4,动圆O : x2 y2 r2 （1 r 2）,菱形ABCD的一个内角为60,顶点A,B在直线l上，顶点C,D在圆O上，当r变化时，求菱 形ABCD的面积S的取值范围.三、（本题满分20分）如图，圆01与圆02相交于P,Q两点，圆01的弦PA与圆02相切,圆02的弦PB与圆01相切，直线PQ与 PAB的外接圆0交于另一点 R.求证：PQ QR .四、(本题满分30分)设函数f (x) ln x ai 1 1), a R，且f (x)的最小值为0 ,x(1 )求a的值； (2 )已知数列&满足a 1 , a-

5、f (an) 2(n N ),设&aia2a3 an ,其中m表示不超过 m的最大整数.求 Sn .五、(本题满分30分)设a, b, c为正实数，且满足 abc 1,对任意整数 n 2 ,证明:can；a-2016年全国高中数学联赛陕西褰区预赛 试题参考答案及评分标准1 .评国迷4kH.讣依本评棹泄.一“第一人让6套”。分西*;第二期尺途8分或0 分西档;二玫非一二、三HS分为一个卷次题I。分为一个种次.不叁再增加具它中冏* *2 .如氯虫的就3才安“本侨3不同,只要。合H.及正在讦$廿彳，累公评分伴才 设方划分”次评分.第一试一,选授:本其8小.小6分.共48分荏备小!出的四个逸项中,只有

6、一事是科 合目要来的.1.巳知东合”11.2.3.10I.4是“的子集.且4中3元4的孙为8,9，型条件的子集.4 共有()A.8个B.7个C6个D.5个：G元“力$的于编4本：|81|17|/2./3.g.|17.，|“.3.1，共6个.I&-yO.一 75y OO.我承的平面区域的面枳是()y0A 亨B.6C2。,26鲫:B不等式IB表承的平面区域是一个三角形的内部(包括边界3城中三个旗点的型标分别是 4( “0八0(0。)1(1.6).同知少08的面枳S/x2x万万3.设、机。是同一平面内的三个单位向量,且。则“-)-的班大值是(儿】mc-id.iM：A.【方法1出为 111。11 .所

7、以,立&向与的宾角为0剜(e -)( -)c -e (。) 0) lcl: - Icl* la*1 -63$) = (cmtf - I)crntf (in( tint -1) cmb*dn：。- ( cm# Mn 1,).放、5（共:）（一取得最大值.e大值为1 /4从1.2.20这20个数中,任取3个不同的我明这3个效构成等差鼓刻的演率为（）X :B.C.白D. 4nbutv：D.从这20个数中传取3个数.不网的以法共 V IM0乩若取出的3个效成等是以列.婀。.!以。、（ 同为奇数.或同为偶数,旦小 定后.6吆之而匕故所求微率为，Gj三G;表.人3是嵬窈线y3-/上关于直线一10对称的相舞

8、两点财I等于（）A.3B.4U3D.46：C（方法I】因为点4、B关于直我心广。而珍所以- 1.QX找48的方取为y，s,代入y3/.用/630.由,糊4设4（。1）、8（巧.娟,.45的中点为“小.），则与=主尹-y.从而,兀f 664又点“（在直线 y0匕所以-/6-/=0.地6:1.垮 bl ttACP,科/20.阳/ -2.it-I.所以4（ -2-1）、8.2）.故认例=3五.【方法2】因为a4 4关于允妓* 0用冰所以可设,，）、 -& -a）.又点4淖在旭 物线,3-/上，所以d” 叫;二:;味:：不妨设 4（ -2.-1） Jl（lt2）.|l4l.3A6如阳I 在检氏为I的正

9、用卤体4侦如中.G为MC0的重心盟是/ 线段4c的中点则二蛾UW-fiCO的外接球的灰向根为（）/ 乂 口C鼻咯念乩M;K如用I 连结BC.内力C为正ABCD的重心.所以AC 1平面BCD.从A I加速年全舄GfT/Q0*19*区像4*1$4答*匍MFC.在 3CH中.AB1 .BC q 吟专扁AG的 厚 千足.MG吟4G. ,在以WG8中.M8。JMC，Bd &.从而.C 工所以枭广 MC31AC1.所以 MHlMC. H.MClMD.MDLMB.所以三检馋M-8C0的外接球的R径等于以JMLMC.M为 校的正方体的对角或长设三校维WTCO的外援肆半役为人则2犬=6加亭 故外按球的我 田|

10、枳 S =4 万(* = *r.7 .收函数x) / 0,则+店-石的最小值为(A.2B.3C6D.2五解:A不妨设由均值不等式,将(a * & 4c)( Yab Tic /ca)=(a ) Jab (6 *c)yic (e *a) Jca (c 7a6 *a /be & /)(a *4) Ta? (6*c)ySr * (c a)2 JU*2 yic , ySe *2 Jca s2(a6 *k +0 .所以 /Q v/2.由 c sO.a =b.ab &+ = a+6-c海。=b=2.e =0.收力a 94 卜育西个为2 一个为。时. 后 而取得属小海为2.二、境空国：本题共4小题,缶小量8分

11、,共32分将答案填在地中的横虢上.9.数列I aj中d -1.%1,9.只任意连城三项的和郡是1S则%h,M：5.依密总对任On、.4 A.i + .4VW )2(l-yl Ix-yl) *3( llx-y I lx-y I ) *41* - jl2l(M-y) -(-y)l 3l(-y) I *31-1-l当且仅当(/)(* -/)（1）求上的值;（2）在 AABC P.UnC = +求 tin24 -2eB 的最大值.由牛工 J第：（口由已知得一二tan书.，5tan Und QQ令工=39则 Un /，即Un(夕区)工M1 “205 M1 - UnAan -所以8TM疗黑即8A沙寮*.Z

12、).故*ur6hm(右手)* Un L s44(2)rtl(l)tonC-L因为0C”,所以C咛从前/*8则24苧-26.所以&04 d/，(竽-28) 4 2cmAs - c2B 2roB s - 2x2 B 2eos 1- -2(coai! -y)1 4y*故当cmll -y ,BP 8 半时.AM .Zcot。取褥最大值为宏10分15分20分10分二（本期满分20分）已知直线/：，后*4.动圆0：/，（| / (W.证法I :如图3,连结，。分别交PQ.PO于点W./V.MeO, X勺旦M为&的中点.il籍5 因为/M与回。】相切.所以又PA为制0,与18 0的公共弦.所以PA 1010

13、.所以0,。,。 10分所以四边形附00,为平行四边形.从而,N为P0的中点.乂 M为PQ的中点.所以“火0。.即ao,oe 15分阳为州，所以OQSQ.即收，网.又OQ = O/J ,故Q为网的中点，即枚=Q/L 20分证法2：如图4,连结AQ、BQ、AR、即因为/M与阙02相切,P8 与1Hoi柏切所以乙AQ=f6Q4/MQ=/8PQ. 5分所以4/MQsM股.所以留留即什4Q/?Q 又乙AQR= CAPQ LPAQ* LAPQ- LBPQ = LAPB,LQKA APRAn CPBA .所以 AQARAPAB.同碑/(MWsA/MR 15 分所以 AQARQRB.所以器=篇即函,a枚P八

14、 Q曾取PQnQR. 20分四(本满分30分)谀由数/U)=lnxrd-l).iR且/(*)的最小值为0.(I)求。的值，(2)已知数列 |。/属足如 l.a.i /() 2(n N. ). fit S. 0,财/(，)在(0+8)上词递增.无被小值,不含题他当。0时.若0jra.则/(、)0,西/,(/)0.所以函数/(“)在(0G上电商递 减.在(.)上单商通所以人外一 人0) .剜 g (a) a -Ia a0a0tal99lf () ”,所以函数.()在(CM)上轶调递增在 8)上单调递减.所以g(Gwg(D=0,当11仅当。1时.等号成立.故当。取得最小但0. I。分(2)由(1)知0”).所以。”1 /()*2 = Inn. * 1.由 a1 = I .得 5 = 2.从而必10吟因为/ln2l .所以2% 3.下面用数学内纳法证明：当n3时2i.3.20分(I)当。=3时,结论巳成立.(11)做设。=H33)时.2，3.绑么,当hl时4山知/(%) “.) 2hu*l在(2J) t：单调递增.所以 M2)*(aj “(3) .即 ln2A(oJ ln3