Modeling传染病的数学建模与分析报告

1、传染病的数学建模与分析时间：2010年9月7日 地点：2楼阶梯教室1、 传染病建模的意义传染病历来就是威胁人类健康的大敌.人类征服传染病的道路依然曲折漫长。近20年来像AIDS病、SARS、禽流感等重大传染病相继爆发.在全球蔓延。2008手足口病的爆发曾给婴幼儿的健康带来了极大的危害。2009年的H1N1又来侵害年轻的我们。结核、白喉、鼠疫、登革热等一些老的传染病也重新抬头.给人们工作、生活和国民经济的发展带来了极大的影响。2003年突发的SARS传染病给我们的公共卫生体系应对突发性传染病提出了新 的要求也给数学在研究传染病动力学性态和预测等方面提出了一系列新问题。因此.研究和分析传染病传播的

2、数量规律.建立有效的防控机制既是摆在我们面前的一个困难问题.也是一项紧迫任务。建立数学模型的目的是：描述传染病的传播过程；分析受感染人数的变化规律；预报传染病高潮到来的时刻；预防传染病蔓延的手段。2、 基本的传染病动力学模型在传染病动力学中.长期以来主要使用的数学模型是所谓的仓室” Compartment )模型.它的基本思想由 Kermack与McKendrick创立于1927年.但一直到现在仍然被广泛的 使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例.来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念.并显示由模型能得到的主要结论。Kermack-McKendrick 的 SI _

3、R仓室模型所谓S-1 -R仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类(即三个仓室)：易感者(Susceptibles )类其数量记为S(t).表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传 染的人数。染病者(Infectives )类 其数量记为I (t).表示t时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数移出者(Removed )类 其数量记为R(t).表示t时刻已从传染病者类移出的人数。设总人口为N(t).则有N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。K-M的SIR模型是一个十分简单粗 糙的模型。它的建立基于以下三个基本假设：(1)不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。这意味着考虑一个封闭环

4、境而 且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多.从而后者可以忽略不计。这样.此环境的总人口始终保持为一个常数.即N(t) = K或S(t) + I (t) + R(t) = K。(2) 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。这里假设t时刻单位时间内.一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S(t)成正比.比例系数为P (称为传染系数).从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数(即新病人数)为 PS(t)I(t)。(3) t时刻.单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比.比例系数为：.从而单位时间内移出者的数量为Yl(t)。显然.¥是单位时间内移出

5、者在病人中所占的比例.称为移出率系数.当不致混淆时也简称为移出率。当移出者中仅包括康复者时.移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。在以上三个基本假设下易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述：s |H 1 IX r/?SIH对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式.便得到以下模型：dS = -Psidtn = Psi-R dt dR=VI 、dt(1-1 )下面.我们通过对模型(1-1)的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认 识传染病流行规律所起的作用将(1-1)中三个方程两端分别相加彳导d(S I R)二Udt从而S(t) I(t) R(t) = K(常数)由于(1-1)中前两个

6、方程中不含R.故实际上我们只需先讨论前两个方程dt史=I( ：S-) dt(1-2 )dS 一由于 <0.S(t)单调递减且有下界 (为0).故极限dtlim S(t) =St1:存在。由(1-2 )有(1-3)业=-1+，dS S .可见.当S = p时.I达到极大值。可见.当初始时刻易感者数量 S(0) = S0Ap时.随时间增长染病者数量I(t)将先增加达到最大值I (P).然后再逐渐减少而最终消亡。这一现象表明.只一 .- 1dI要So a P.即S0P, >1.就有 =I(Ps-) >0疾病就会流行。(1-4)R0S。1弃则当R0 A1时.疾病流行；当R0 <

7、 1时.疾病不会流行.染病者数量I (t)将单调下降而趋向于零。R。= 1是区分疾病流行与否的阈值。R0表示在发病初期.一个病人在传染期内所传染的人数.称为基本再生数(具有很强的 生物学意义)。应当指出.(1-4)中的表示平均移出时间.也就是平均患病期。事实上.由移出率系数¥的定义可见.若病人数量为n .则单位时间内移出者的数目为/n.故经过时间1病人全部移y出。要防止疾病流行.必须减少R0使它小于1.由表达式(1-4)可知这可以通过加强治疗以1缩短染病期1或米取杀菌等措施以减少疾病的传染力：.或通过隔离措施以减少与患病者可1能接触的人数即这里的易感者So来实现。更为有效的方法是通过

8、疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类R.从而减少初始时刻易感者的数量&。根据疾病的病理特点.我们可以建立各种模型：1) SIS模型。患病后可以治愈然后直接变为易感者。/I0sl2) SIRS模型。病人康复后只有暂时免疫力 .单位时间内将有6 R的康复者丧失免疫而 可能再次被感染。/3S17I3) SEIR模型。在被感染后成为患病者I(t)之前有一段病菌潜伏期 .并且假定在潜伏期内的感染者没有传染力。记t时刻潜伏期的人数为E(t).疾病的平均潜伏期为/3SIyl4) SEIRS模型.病人康复后仅有暂时免疫力/3SIa）£yl5) SIR无垂直传染模型。即母体的疾病不会

9、先天传染给新生儿.故新生儿均为易感者。bKRbSblbR6） SIR （有垂直传染且康复者的新生儿不具有免疫力模型R45+火）bSbR三、SARS的建模与预测SARS是由一种冠状病毒引起的传染性很强的呼吸道传染病.它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播.也可能通过病人飞沫污染物、如通过手、衣物、食物、水或环境等途径传播。SARS潜伏期一般为 2-11天.在潜伏期无感染 。SARS患者的主要症状有：发热（体温38c以上）为首发症状.多为高热.并可才I续1-2周以 上.可伴有寒战或其他症状.包括头痛、全身酸痛和不适、乏力.部分病人在早期也会有轻度 的呼吸道症状（如咳嗽、

10、咽痛等）。SARS患者治愈后不会再被感染在前面的模型中.感染率P等都是常量.也没有考虑因病死亡率 .这样的模型对感染情况变化不大、因病死亡极少的情况比较适用(如HFMD )。但又SARS而言从2003年4月下旬开始我国各地普遍采取了十分严格的控制措施.使得一个患者能感染他人的情况大大降低传染率有了明显的变化。另外.SARS传染者的死亡率相对很高.是正常人口死亡率的十多倍.SARS患者的治疗和康复情况也随着经验的增加而大大改进。所以我们在模型中需引入随时间变化的感染率、恢复率和因病死亡率。由于SARS感染者在潜伏期内不易被发现.且潜伏期中不感染或感染很少.所以在这个简易模型中我们不考虑潜伏期。在

11、建立模型时我们讲总人口分为易感者、感染者和恢复者 3类.并做以下假设：(1) 单位时间内感染 人数与现有感染者与现有感染者与易感者的乘积成比例；(2) 单位时间内治愈恢复的感染者与现有的感染者成比例；(3) 单位时间内死亡的感染者与现有的感染者成比例；(4) SARS感染者治愈后不会再被感染 ；(5) 所有的新生儿都是易感者 。根据SARS传播的规律和这些假设.我们可以得到下面的框图(图1-3 )和模型。图1-3 SARS传播的SIR框图dSt) =bN-NS(t) - P(t)S(t)I (t) dt -¥ = B(t)S(t)I(t)-(2+8(t)+“t)I(t)dt誓=

12、65;(t)I(t)-NR(t)l. dt(1-5) 其中N(t)=S(t)+I(t)+R(t)为t时刻的人口总数.b是总人口的出生率.6(t)是SARS感染者的因病死亡率.其它记号和参数的含义同前。模型中随时间变化的感染率P(t)、治愈率Y(t)和因病死亡率6(t)可以使我们更加方便和实际地描述SARS的传播规律。模型(1-5)应用的最大困难是易感者的处理。理论上讲.每个未被SARS感染的人都是易感者.我国13亿人口中除过当时已感染的几千人外都是易感者。而实际情况使每个人的活动能力和区域有限.SARS是通过接触传播的.每个病人根本不可能与全国13亿人等可能地接触。另一方面.如果将13亿人作为

13、易感者带入模型计算时曲于13亿易感者和几千人的感染者的差距如此之大.很难得到合理的计算结果。克服这一困难的途径是选取有可能和易感 者接触的人员彳为易感者.这些人包括医护人员、感染者的亲属、朋友、同事、旅伴和同去 过一些公共场所的人员。由于这些人员也很难统计或估计.所以我们采用另外一条途径。在一个疾病的彳播过程中.人们最感兴趣的问题是当前有多少感染者.以后将会有多少感染者.所以我们将注意力集中在描述感染者数量变化的模型(1-5)中的第二个方程上。根据国家每天公布疫情数据这一特点.我们以天为时间单位将(1-5)的第二个方程离散化得I(t 1) = I(t) ：(t)S(t)I(t)-(J、(t)(

14、t)I(t)(1-6 )其中I(t)是第t天SARS感染者数量.P(t)S(t)I(t)是第t天新增的感染人数 .P(t)S(t)可以看作每个SARS感染者在第t天所感染的人数.(N +6(t)十尸(t)I (t)为第t天SARS感染者治 愈和死亡的人数。记f(t) = P(t)S(t)(N+5(t)+¥(t).我们可以将(1-6)简化为I(t 1)=I(t) f(t)I(t)(1-7)如果我们知道了某一天SARS感染者的数量.并且知道了函数f(t)的具体表达式.我们就可以用(1-7)来递推预测 SARS以后随时间的变化规律。因为国家每天公布疫情数据.(1-7)中所用的初始值很容易得

15、到.困难在于如何确定f(t)。由(1-7)可以彳#到f(t)具有下面的表达式f(t)=I(t)(1-8)如果我们知道了若干天 SARS感染者的数据.就可以从(1-8)中得到f(t)。即当SARS感染的数据公布后.f(t)就是已知的函数了 。我们需要的是要对未来SARS的感染情况进行预测.不能等实际统计结果出来以后进行回顾。所以我们根据已有的SARS感染数据用(1-8)计算出f (t)在这一段时间内的值.再根据f(t)在这一段时间内白值进行回归.得到f(t)的函数形式后再代到(1-7)就可以预测未来。通过搜索得到我国在2003年4月21日的SARS感染人数为2158人.再根据附件中的数据可以计算

16、出各天的SARS感染人数利用(1-8)中的公式计算得到三周内f(t)的值。对这三周内f(t)的值利用指数曲线回归可以得到f(t)的函数表达式.其回归的结果见图1-4。0.20 150.0520so10060 Time(day>120图1-4每天每个SARS病人平均感染的人数.光滑曲线为拟合曲线.折线为实际计算结果将这样回归得到的 f(t)代入到(1-7)中就可以得到以后各天 SARS感染者的人数和 新增感染者人数。其预测结果见图1-5和图1-6。350020406080100图1-6每天新增病人随时间变化的关系.绿线：实际统计值.蓝线：预测值这一预测结果我们于 2003年5月21日向媒体公布.到SARS在我国的流行结束后.我们 收集了 2个月SARS感染者的数据.对比我们的模型和 3周的数据得到的f (t)所给出的预测1-7。是相当成功的。