专题05挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

1、专题五 挖掘“隐零点”，破解导数压轴题函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解. 高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：( 1 )零点所在区间零点存在性定理； (2)二次方程根的分布问题；(3)判断零点的个数问题；(4)根据零点的情况确定参数的值或范围；(5) 根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等. 本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围例 1. 【浙江省杭州第十四中学2019 届高三 12 月月考】设函数, 曲线y=f

2、(x) 在 x=1 处的切线与直线y=3x 平行 .(1) 判断函数f(x) 在区间和上的单调性，并说明理由;(2) 当时,恒成立，求的取值范围.类型二挖掘“隐零点”，证明不等式2x22例 2. 设函数 f (x) e aln x，设 a 0,2e 求证：当x 0,1 时， f (x) 2a alna类型三挖掘“隐零点”，估算极值例 3. 【 2017 年全国课标1】已知函数f（ x） =ax2 ax xlnx ，且 f（ x）0（ 1 ）求a；（ 2）证明：f（ x）存在唯一的极大值点x0，且e 2< f（ x0）<2 2【规律与方法】“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中

3、未提及零点或零点不明确，依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点. 我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题我们称这类问题为 “隐零点”问题 处理此类问题的策略可考虑 “函数零点存在定理”、 “构造函数” 、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f (x0) 0，并结合f(x) 的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图

4、象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到 多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f ( x) 的正负，进而得到f ( x)的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征( 零点方程) ，判断其范围( 用零点存在性定理) ，最后整体代入即可【提升训练】1. 【江西省九江市2019 届高三一模

5、】已知函数1 试讨论函数的单调性；2 若函数存在最小值，求证：2 【广东省汕头市2019 届高三上学期期末】已知函数讨论的单调性；若， 是 的两个极值点，证明：3. 【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019 届高三联合模拟】已知函数（ 1 ）若，证明：；（ 2）若只有一个极值点，求的取值范围4. 已知函数f （x） ex+m x3 , g x ln x 12（）若曲线y f x 在点 0， f 0 处的切线斜率为1，求实数m 的值；（）当m 1时，证明：f x g （x） x3 .1225. 已知函数f（ x） =（ x x） ln x ax （ a R） ，曲线y=f（ x）

6、在 x=1 处的切线与直线x+2y1=0 垂直（ 1 ）求a 的值，并求f （ x）的单调区间；1212（ 2）若是整数，当x> 0时，总有f（ x）（3+） xx2 lnx+ x2，求的最大值6. 【湖北省武汉市2019 届高三二月调研测试】已知函数（ 1 ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（ 2）设的两个极值点为，证明：当时， （附注：7. 已知函数f（x）=（aexax）ex（a0， e=2.718 ， e 为自然对数的底数），若 f（x）0 对于 R 恒成立（ 1 ）求实数a 的值；（ 2）证明：f（ x）存在唯一极大值点x0，且8已知函数f（x）=ax+xlnx （a

7、R）（1 ）若函数f （x）在区间e ，+）上为增函数，求a 的取值范围；（2）当a=1 且 k Z时，不等式k（x 1） f（x）在x（1，+）上恒成立，求k 的最大值9已知函数f（ x） =ex+a lnx （其中 e=2.71828 ，是自然对数的底数）（）当a=0 时，求函数a=0 的图象在（1 ， f（ 1） ）处的切线方程；（）求证：当时， f （ x）e+1 10已知函数f （ x）=x2（a2）xalnx （aR）（）求函数y=f （ x）的单调区间；（）当a=1 时，证明：对任意的x> 0， f （ x） +ex> x2+x+21、一知半解的人，多不谦虚；见多识广