2009年高中数学高考试题分类汇编——三角函数全国通用

1、20092009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编三角函数三角函数一、选择题1.(2009 年广东卷文)已知中，的对边分别为若ABCCBA, ,a b c且，则 62ac75Aob A.2 B4 C4 D2 32 362【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos304A由可知,所以,62ac075C030B1sin2B 由正弦定理得,故选 A261sin2sin2264abBA2.(2009 年广东卷文)函数是 1)4(cos22xyA最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数

2、D. 最小正周期为的偶函数 22【答案】A【解析】因为为奇函数,所以选22cos () 1cos 2sin242yxxx 22TA.3.（2009 全国卷理）如果函数的图像关于点中心对称，那么cos 2yx343，0的最小值为（C） （A） （B） （C） (D) |6432解: 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx343，0由此易得.故选 C423k 42()3kkZ min|34.（2009 全国卷理）若，则函数的最大值为 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxt

3、ttt 5.（2009 浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：D 【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了26.（2009 浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但

4、周期反而大于了27.（2009 北京文） “”是“”的61cos22A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案答案】A.w【解析解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时，61cos2cos32反之，当时，有，1cos222236kkkZ 或，故应选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2236kkkZ8.（2009 北京理） “”是“”的 2()6kkZ1cos22（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案答案】A【

5、解析解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时，2()6kkZ1cos2cos 4cos332k 反之，当时，有，1cos222236kkkZ 或，故应选 A.2236kkkZ9.(2009 山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所得sin2yx4图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.cos2yx22cosyx)42sin(1xy22sinyx【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即sin2yx4sin2()4yx的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为sin(2)cos22y

6、xx,故选 B.21 cos22cosyxx 答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 10.(2009 山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所得sin2yx4图象的函数解析式是( ).A. B. C. D. 22cosyx22sinyx)42sin(1xycos2yx【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即sin2yx4sin2()4yx的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为sin(2)cos22yxx,故选 A.21 cos22cosyxx 答案:A【

7、命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.11.（2009 全国卷文）已知ABC中，则12cot5A cos A (A) (B) (C) (D) 12135135131213答案：答案：D D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA=cotA=知知 A A 为钝角，为钝角，cosA0cosA0, -0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛3运动员的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，

8、P 两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。2 3A 34T2T62 3sin6yx当 是，4x 22 3sin33y 又(4,3)M(8,3)p22435MP（）在MNP 中MNP=120，MP=5，设PMN=，则 060由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN,10 3sin3NP010 3sin(60)3MN故010 310 310 3 13sinsin(60)

9、(sincos )33323NPMN010 3sin(60 )3060，当=30时，折线段赛道 MNP 最长亦即，将PMN 设计为 30时，折线段道 MNP 最长解法二：（）同解法一（）在MNP 中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=222cosMNNPMN NPAA2MP即2225MNNPMN NPA故22()25()2MNNPMNNPMN NPA从而，即23()254MNNP10 33MNNP当且仅当时，折线段道 MNP 最长MNNP注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；点 N 在线段 MP 的垂直平123 94 3(2

10、6N，）123 94 3(26N，）分线上等21.（2009 辽宁卷文） （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角075030均为，AC0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 B，D 的距离060（计算结果精确到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，ACDDACADCDAC 所以 CDAC0.1 又180606060，BCD 故 C

11、B 是底边 AD 的中垂线，所以 BDBA 5 分CAD 在中， ABCABCACBCAABsinsin 即 AB2062351sin60sinAC 因此，km33. 020623BD 故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分22.（2009 辽宁卷理） （本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角075030均为，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距060离（计算结果精

12、确到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解:在ABC 中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33. 020623故 B，D 的距离约为 0.33km。 12 分23.（2009 宁夏海南卷理） （本小题满分 12 分）为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示

13、意图） ，飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出） ；用文字和公式写出计算M，N 间的距离的步骤。(17) 解：方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角；B 点到 M，N 的俯角；A，B 的距离 d （如图所示） . .3 分22, 第一步：计算 AM . 由正弦定理；212sinsin()dAM 第二步：计算 AN . 由正弦定理；221sinsin()dAN 第三步：计算 MN. 由余弦定理 .22112cos()MNAMANAMAN方案二：需要测量的数据有： A 点到 M，N 点的俯角，；B 点到 M，

14、N 点的府角，；A，B 的距离 d （如1122图所示）. 第一步：计算 BM . 由正弦定理；112sinsin()dBM第二步：计算 BN . 由正弦定理； 121sinsin()dBN 第三步：计算 MN . 由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN24.（2009 陕西卷文） （本小题满分 12 分） 已知函数（其中）的周期为，且图( )sin(),f xAxxR0,0,02A象上一个最低点为.2(, 2)3M ()求的解析式；（）当，求的最值.( )f x0,12x( )f x11, 解析:（1）由最低点为 由2(, 2)23MA得222TT得由点在图像上得即2(, 2)3

15、M42sin()23 4sin()13 所以故4232k112()6kkZ又，所以所以(0,)26( )2sin(2)6f xx（）因为0,2,1266 3xx 所以当时，即x=0时，f(x)取得最小值 1；2x+66；,( )6312xf x当2x+即时，取得最大值325.(2009 陕西卷理)（本小题满分 12 分） 已知函数（其中）的图象与 x 轴的交( )sin(),f xAxxR0,0,02A点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.22(, 2)3M()求的解析式；（）当，求的值域. ( )f x,12 2x( )f x17、解（1）由最低点为得 A=2.2(, 2)3

16、M由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，22T2T222T由点在图像上的2(, 2)3M242sin(2)2,)133 即si n(故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42,32kkZ1126k又(0,),( )2sin(2)266f xx故（2）7,2,12 2636xx当=，即时，取得最大值 2；当26x26x( )f x7266x即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2x( )f x( )f x26.（2009 四川卷文） （本小题满分 12 分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且ABCAB、ABC、abc、510sin,si

17、n510AB（I）求的值；AB（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、【解析解析】 （I）为锐角， AB、510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB 6 分4AB（II）由（I）知， 34C2sin2C 由得sinsinsinabcABC，即5102abc2 ,5ab cb又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac27.（2009 湖北卷文） （本小题满分 12 分）

18、 在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且Acasin23()确定角 C 的大小： （）若 c,且ABC 的面积为,求 ab 的值。7233解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinacA2sinsinsin3aAAcC3sin0,sin2ACQ是锐角三角形，ABCQ3C（2）解法 1：由面积公式得7,.3cCQ13 3sin,6232abab即由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22222cos7,73abababab即由变形得25,5ab2（a+b)故解法 2：前同解法 1，联立、得2222766ababababa

19、b消去 b 并整理得解得4213360aa2249aa或所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2332aabb或5ab28.（2009 宁夏海南卷文） （本小题满分 12 分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知，于 A 处测得水深，50ABm120BCm80ADm于 B 处测得水深，于 C 处测得水深，求DEF的余弦值。 200BEm110CFm (17) 解：作交BE于N，交CF于Mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /DMAC， 22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN 6 分 2222

20、()90120150EFBEFCBC在中，由余弦定理，DEF. 12 分2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF29.(2009 湖南卷理)（本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 A，B，C 的大小。ABC2233AB ACABACBC 解：设,BCa ACb ABc由得，所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc3cos2A 又因此 (0, ),A6A由得，于是233ABACBC 23bca23sinsin3sin4CBA所以，因此53sinsin()64CC133sin( cossin)22

21、4CCC，既22sincos2 3sin3,sin23cos20CCCCCsin(2)03C由 A=知，所以，从而6506C34233C或，既或故20,3C2,3C,6C2,3C或。2,636ABC2,663ABC30.（2009 天津卷理） （本小题满分 12 分）在ABC 中，BC=，AC=3，sinC=2sinA 5(I) 求 AB 的值： (II) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24A本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。（）解：在ABC 中，根据正弦定理， AB

22、CCABsinsin于是 AB=522sinsin BCBCAC（）解：在ABC 中，根据余弦定理，得 cosA=5522222ACABBDACAB于是 sinA=55cos12A 从而 sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5453 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=44410231.（2009 四川卷理） （本小题满分 12 分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且ABCA,A B, ,A B C, ,a b c310cos2,sin510AB（I）求的值； AB（II）若，求的值。21ab

23、, ,a b c本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（）、为锐角，AB10sin10B 23 10cos1 sin10Bb又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23cos21 2sin5AA ，5sin5A22 5cos1 sin5AA 2 53 105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB 6 分4AB（）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 34C2sin2C 由正弦定理得sinsinsinabcABC，即， 5102abc2ab5cb ，21abQ ，221bb1

24、b 12 分2,5ac32.（2009 福建卷文） （本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数其中，( )sin(),f xx0|2 （I）若求的值； coscos,sinsin0,44 （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求( )f x3函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应( )f xm( )f xm的函数是偶函数。解法一：（I）由得3coscossinsin044coscossinsin044 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()04|,24（）由（I）得，( )sin()4f xx

25、 依题意，23T 又故2,T3,( )sin(3)4f xx 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为( )f xm ( )sin 3()4g xxm 是偶函数当且仅当( )g x3()42mkkZ 即()312kmkZ 从而，最小正实数12m解法二：（I）同解法一（）由（I）得， ( )sin()4f xx 依题意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23T又，故2T3,( )sin(3)4f xx函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为( )f xm( )sin 3()4g xxm是偶函数当且仅当对恒成立( )g x()( )gxg xxR亦即对恒成立。sin( 33)sin(33)

26、44xmxmxRsin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3)44xmxmsin3 cos(3)cos3 sin(3)44xmxm即对恒成立。2sin3 cos(3)04xmxRcos(3)04m故3()42mkkZ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()312kmkZ从而，最小正实数12m33.（2009 重庆卷理） （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ）设函数2( )sin()2cos1468xxf x（）求的最小正周期 ( )f x（）若函数与的图像关于直线对称，求当时( )yg x( )yf x1x 40, 3x的最大值( )yg x解：（）

27、=( )f xsincoscossincos46464xxx =33sincos2424xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin()43x 故的最小正周期为 T = =8( )f x24 ()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x由题设条件，点在的图象上，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2)43g xfxx =3sin243x =3cos()43x 当时，因此在区间上的最大值为304x23433x( )yg x40, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max33cos32g解法二： 因区间关于 x = 1 的对称区间为，且与的图象关于40, 32 ,23( )yg x( )yf xx = 1 对称，故在上