2013高考数学课后作业3-6正弦定理和余弦定理新人教A版

1、用心爱心专心 -1 - 2013高考数学人教A版课后作业 1.(2011 重庆理，6）若厶ABC的内角A B C所对的边a、b、c满足（a+ b）2 c2= 4，且 C= 60，则 ab的值为（ ) 4 i A.3 B . 8 4 3 2 C. 1 答案 A 解析 在厶ABC中, C= 60, a2 + b2 c2= 2abcosC= ab, 2 2 2 2 2 (a+ b) c = a + b c + 2ab= 3ab= 4, 4 ab= 3，选 A. 解析 由条件知bsin Aa, 即即 2 2sin n /ab,. AB,. A为锐角， 0A. (理)(2011 湖北八校联考)若满足条件

2、C= 60, AB=.3, BC= a的厶ABC有两个，那么 a的取值范围是( ) A. (1 , 2) B. ( ,2, . 3) C. ( 3, 2) D. (1,2) 答案C a, b, c,若a= 2, b= 2-J2,且三角形有 两解，贝 y角 A 的取值范围是 ( ) r n n n A. 0 4 B. 玄, n 3 n n n C 1 D ,4 4 4, 3 答案 A 2.（文）在厶 ABC中，角 A, B, 用心爱心专心 -2 - 解析 由条件知，asin60 . 3a,A 3a2. 3. （2011 深圳二调）在厶ABC中，已知a, b, c分别为/ A Z B,Z C所对的

3、边，且 a =4, b= 4 3, Z A= 30，则Z B等于（ ） A. 30 B. 30 或 150 C. 60 D. 60 或 120 答案D 解析由正弦定理得 三=丄丘 所以 A = 点，sinB=-.又 0 B180 , sin A sin B sin30 sin B 2 因此有B= 60或B= 120 ,选 D. 4.（文）在厶ABC中,角A、B C所对的边分别为 a、b、c,如果c = 3a, B= 30,那 么角C等于（ ） A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 答案A 解析/ c=V3a,. s inC=/3sin A= sin（180 - 30- C = 3

4、sin（30 + C = 即 sinC= 3cosC,. tan C= 3. 又 C （0 , 180 ） , C= 120 .故选 A. c （理）（2011 郑州六校质量检测） ABC中,角A、B C所对的边分别为a、b、c,若二cosA, b 则厶ABC为（ ） A.钝角三角形 B 直角三角形 C.锐角三角形 D 等边三角形 答案 A 解析 sin C 依题意得 cosA, sin Csin BcosA,所以 sin（ A+ E）sin BA,即 sin BA 用心爱心专心 -3 - + cosBsin A sin BcosA0,所以 cosBsin A0,于是有 cosB b B. a

5、v b C. a= b D. a与b的大小关系不能确定 答案A 解析/ C= 120 , c= 2a, c2= a2+ b2 2abcosC 2 . 2 . a b = ab, b, c.若/ C= 120 , 又T a0, b0,. a b= aab-0,所以 ab. 6.（文）（2010 天津理）在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是 a, b, c,若 a2 b2= 3 bc, sin C= 2*3sin B,贝 U A=（ A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 答 解 由余弦定理2 | 2 2 b 十 c a 2 2 J cosA= 2bc ,由题知 b a = 3

6、bc c2= 2 3bc,贝 U cosA 又 A 0 （理） ABC中，a、b、c分别为/ A、/ B/ C的对边，如果 a、 c成等差数列，/ B =30, ABC的面积为 0.5，那么b为（ A. 1 十 3 B. 3+ 3 D. 2+ 3 2 用心爱心专心 -5 - 答案C 1 1 解析2acsin B=，：ac= 2, 2 2 . 2 又 2b= a+ c,. a + c = 4b 4, 由余弦定理 b = a + c 2accos B得，b= f 7.（文）（2010 上海模拟）在直角坐标系xOy中，已知 ABC勺顶点 A 1,0） , Q1,0）, 2 2 x y 顶点B在椭圆+

7、 = 1 上， 答案2 解析 由题意知厶ABC中, AC= 2, BA BC= 4, （理）在锐角 ABC中，边长a= 1, b= 2,则边长c的取值范围是 _ 答案-3c 5 解析边c最长时: C25. 0c0, c23. C 3. 综上，,3c0 用心爱心专心 -6 - A. C. f 或 3 D. -2 或 f 答案D 90, ABC的面积为 1AB- BO-23;当 C= 120 时，B= 30, ABC的面积为 *AB BC- sin B =3X 1X sin30 = -q3.综上所述，选 D. （理）（2011 泉州质检） ABC的三个内角 A B、C的对边分别为 a、b、c,且a

8、cosC, bcosB, ccosA成等差数列，则角 B等于（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 答案B 解析 依题意得 acosC+ ccosA= 2bcosB,根据正弦定理得， sin AcosC+ sin CcosA= 2sin BcosB,则 sin（ A+ C） = 2sin Bcos B,即 sin B= 2sin Bcos B,又 0 B180 ,所以 cos B= 1 2 所以B= 60，选 B. 2.（文）（2010 枣庄八中）在厶ABC中，内角A, B, C对边的长度分别是 a, b, c,已知c =2, C=n3, ABC的面积等于 3，贝U a, b

9、的值分别为（ ） A. a= 1, b= 4 B . a= 4, b= 1 C. a= 4, b= 4 D . a= 2, b = 2 答案D 1 解析由余弦定理得，a2+ b2- ab = 4,又因为 ABC的面积等于，3,所以-absin C= 3, ab= 4. a2 + b2- ab= 4 联立 ，解得a= 2, b= 2. ab= 4 （理） ABC的周长为 20,面积为 10 ,3 , A= 60，贝U BC边的长是（ ） B. 解 依题意得AB= 3, BC= 1,易判断 ABC有两解， 由正弦定理得 AB _BC 护 sin C sin A，sin C sin30 ,即 sin

10、 C=.又 0 C0, cosB0 知 A B均为锐角， tanA= 21，A 0A4, cosB= n 0B77，二 C为最大角, 6 3yF0 1 一 由 cosB=知，tan B= 3,二 B2 ac, ac4(当且仅当 a= c = 2 时等号成立) SB= acsi.3(当且仅当 a= c = 2 时等号成立).即 ABC面积的最大值为 ,3. 点评本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也 不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及 运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转

11、化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解. (理)(2010 山东滨州)已知A、B、C分别为 ABC勺三边a、b、c所对的角，向量m= (sin A, sin B) , n= (cos B, cosA)，且 n=sin2 C (1) 求角C的大小； (2) 若 sin A, sin C, sin B成等差数列，且 CA-( AE3- AC = 18,求边 c 的长. 解析(1) m n = sin A - cos B+ sin B - cos A= sin( A+ B).用心爱心专心 -11 - 在厶 ABC中，由于 sin( A+ B) = sin C. nr n= si

12、n C 又；m- n = sin2 C, sin2 C= sin C,. 2sin CcosC= sin C 1 n 又 sin CM 0,所以 cosC= 2.而 0C n，因此 C=3 2 3 由 sin A, sin C, sin B成等差数列得， 2sin C= sin A+ sin B, 由正弦定理得，2c= a+ b. i 即 abcosC= 18,由(1)知，cosC=，所以 ab= 36. 2 2 2 由余弦定理得，c = a + b 2abcosC 2 =(a+ b) 3ab. c2 = 4c2 3x 36,. c2= 36. c= 6. 7. (文)(2010 安徽文) A

13、BC的面积是 30,内角 A, B, C所对边长分别为 a, b, c, cosA 12 (1)求AB- AC 若c b= 1,求a的值. 厂 1.15 又 SAABC= ?bc sin A= bcx 13= 30. bc= 156. (1) XB- AC= | AB AC - cosA 12 12 =1565= 144 2 2 13 12 = (13 + 12)(13 12) = 25. a= 5. （理）（2010 东北师大附中、辽宁省实验中学联考 ）设厶ABC的内角A, B C所对的边分别CA-( AB- AC = 18, CA- 6B= 18. 解 12 0An , cosA= 13,

14、 5 sin A=也. b= 12 c= 13 bc= 156 b= 13 -i “ (舍) 或i c b= 1 c = 12 b2+ c2 2bc cos A= 132+ 122 2x 13x 12x #= 13 由题意知 在厶ABC中，由余弦定理a2 =13 用心爱心专心 -12 - 为 a, b, c,且 acosC+ 空。=b. (1) 求角A的大小； (2) 若a= 1，求 ABC的周长I的取值范围. 1 解析 由acosC+ 2C = b得 1 sin Acos C+ 2sin C= sin B 又 sin B= sin( A+ C) = sin AcosC+ cos Asin C

15、 1 / 2in C= cosAsin C, 1 /sin C*0,. cosA= 2, n 又 T 0A n ,. A=3 3 asin B 2 解法由正弦定理得：b =话=凋， 2 I = a+ b+ c= 1 +(sin B+ sin C) 2 =1 + 一(sin B+ sin( A E) sin B+ -cosB = 1 + 2sin B+n 2 丿 I 6丿 n i A= 3, B i0,2 . sin C ,3 2 =1 + 3bc w 1 + 3 - b+ c2, 用心爱心专心 -13 - 1.（2010 泰安模考）在厶ABC中，若A= 60, BC= 4 3 , AC= 4

16、2，则角B的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 45 或 135 答案B 解析/ AC- sin60 = 4 223 = 2 . 64 24 3,故厶 ABC只有一解，由正弦定理得， 迈=4# sin B sin60 ， sin Bn#,： 4 24 3,. BA,A B= 45 2. （2010 厦门市检测）在厶ABC中，角 A B C所对应的边分别为 a、b、c,若角A、B C依次成等差数列，且 a= 1, b=j3，贝 9 SAABC等于（ A. 2 B. 3 C亚 C. 2 D. 2 答案 C 解析 / A、B C成等差数列，. B= 60 , b a asin

17、B 3 1 X 2 1 = ，sin A= = =二， sin B si nA b .3 2, A= 30 或 A= 150 （舍去）， C= 90, 1 ab= 2 3. （2011 豫南四校调研考试）若 AB= 2, AC=J2BC贝 U S ABC的最大值为（ ） A. 2 2 B.屮 C谑 C. 3 D. 3 2 答案 A 解析 设 BC= x,贝9 AC=“,；2x，根据面积公式得 SAABC= XABx BCsin B= x； 1 cos?B 备选题库 SA 用心爱心专心 -14 - ，根据余弦定理得 cosB= AB2ABCB（AC=吐产=于 ，将代入得, SA ABC=用心爱心

18、专心 -15 - 2x2 2+ 2，故当x= 2 3 时，SABC取得最大值 2 . 2,故选 A. 金华期末） ABC中，若a4+ b4+ c4= 2c2（a2+ b2），则角C的度数是 6 判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 _ a= 1, b= 2, B= 45; a= .5, b= , 15, A= 30; a = 6, b= 20, A= 30; a= 5, B= 60, C= 45. 答案 解析由asin B-21 2 知，有一解. 由 b sin A= . 52 x+ 2 2x ,解得 2 2 4. (2011 A. 60 B. 45 或 135 C. 120 D. 30

19、答 解 4 . 4 4 22 小.2 2 / a + b + c = 2c a + 2b c , cos2C= 2 . 2 2 2 a + b c ab 4 4 . 4 2 2 2 2 2 2 a + b + c + 2a b 2c a 2b c 1 - 22 - = ? a b cos C= C= 45 或 135. 5. （2010 山东济南）在厶ABC中，角 A B、C的对边分别为 a、b、c,若（a2+ c2 b2）tan B =Q3ac，则角B的值为（ ） n 2 n D.亍或丁 答案 D 解析 2 | 2 2 222 a 十 c b J 由(a + c b)tan B= 3ac 得， tan B= 3，再由余弦疋理 cosB= 2 2 . 2 a + c b 2ac 得, 2cos B - tan B=