沪教版2021届高考数学一轮复习平面上的直线教案

1、2021届高考数学一轮复习专题09平面上的直线教案一、直线的倾斜角与斜率1 .直线的倾斜角(1)定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与X轴 平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.(2)倾斜角的范围为0, 7T).2 .直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表 示，即1=1曲_* 倾斜角是90。的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点Pi(xi, yi), P2(X2,力)(如急2)的直线的斜率公式为卜="弋=例题1 (2020上海市七宝中学高三三模)若直线方程ax+y + c = O的一个法向

2、量为(73,-1),则此直线的倾斜角为【答案】|【解析】设直线的一个方向向量为a = (a; y)由直线方程依+外+。=。的一个法向量为,所以 J5x-y = 0，令x = l，则y =所以直线的一个方向向量为(1, JJ)，k = = 6设直线的倾斜角为夕，由攵=tan。，所以直线的倾斜角为：2 =g.故答案为：!二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点（xo, yo）,斜率为ky-yo=k(x-xo)不含垂直于X轴的直线斜截式斜率为k,纵截距为by=kx+b不含垂直于X轴的直线两点式过两点（xi，yi）,（X2，%）,（XI 女2, yi 为2）y-yi = xxi y

3、a-yi x2-xi不包括垂直于坐标轴的直 线截距式在X轴、y轴上的截距分别 为 a, b（a, bH）试=】不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B 不全为0)例题2 （2019上海浦东新区华师大二附中高三一模）若两直线ll-.y = k.x + k + 2, 4 ：' = -2x + 4的交点在第一象限，则正整数k=.【答案】1【解析】两直线/】：y=fcr+A+2, 72： y= - 2x+4,y = kx + k + 2,2 - 2,彳y = - 2x + 42 kx =k + 26k + 4y =k + 2又两直线的交点在第一象限，则Vk + 2竺超0

4、k + 22解得-<k<2,所以正整数k=1.故答案为：1.三、解直线方程1 .求倾斜角的取值范围的一般步骤：（1）求出斜率卜=工加a的取值范围；（2）利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角。的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.2 .求直线方程的方法主要有以下两种：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程：（2）待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方 程.（3）消参：直线的参数方程消去参数/,能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率， 从而能求出直线的倾斜角.例3过点（L0）且与直线x-2y

5、-2=0平行的直线方程是-【答案】x-2y-l=0【解析】（1）设所求直线方程为x-2y+m=0,由直线经过点（1, 0）,得l+m=0, m= -1.则所求直线方程为x-2y-l=0.例4 （2017,上海杨浦复旦附中高三其他）直线x =2/L（/为参数）的倾角是（）y = yJ3+4tA. arctan（-） B. arctan（-2） C. arctan D.乃一arctan2 22【答案】D【解析】X = 2/由直线V 厂 （/为参数）消去参数y = V3+4/得到直线的普通方程：2工+），一JJ 20 = O,则直线的斜率为女=2.设直线的倾斜角为夕，则攵= tanc = 2 ,所以

6、直线的倾斜角为a =乃一 arctan 2故选：D四、点到直线的距离已知直线/的方程是ar+y + c = 0（。力不同时为0）和直线外一点尸（玉,九），求点P 到直线/的距离。由直线/的方程是以+勿+ c = 0,知直线/的法向量3 =（。/），所以过点P与直线/垂 直的直线厂的法向量为彳=（b-a）,则直线的方程为bx - ay + (ay() -bx0) = 0设直线/与/'的交点为。，则。坐标满足(ix + by + c = Obx - ay + (ay() -Z?x0) = 0(1)解此方程组x =得：y =由两点间距离公式:b2x0-aby0 -aceT+b-abx()+c

7、ryQ-bctr+Zr。上太=二铲=J（安字竺）2 + （约*士/=%?）手所以得，点p到直线/的距离为:ax0+by0+cla2 +b2例题5 （2019长宁上海市延安中学高三三模）点（2,1）到直线3x + 4y =。的距离为【答案】2【解析】13x2 + 1x41 c/ 、-=2依据点到直线的距离公式，点（2，D到直线3x + 4） = °的距离为a/32+42五、两条直线的夹角平面上两条直线6和，2相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而 言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直

8、线的夹角的取值范围 是o,f,而两条相交直线夹角的取值范围是（0,.2、夹角公式的推导设两条直线的方程分别为小/ +济y + q=O （%,不全为零）/2 ： a2x + b2y + c2 =0 （%，4不全为零）设乙与乙的夹角为0，4与乙的一方向向量分别为房与工，其夹角为夕，且I二a = 7t-0,如图乙所示.十日工 . 4 出, I axa +byb1 I于是得：cos a =1 cosg 1=1=z- 1= 1 .=,一 二I 4 I I 4 Jaj + .J - yja2 +b22即为直线与/）的夹角公式.特别地,当且仅当+4% =0时，4与，2的夹角为，即人与，2垂直也就是说：/1

9、± /2 <=> 4垂直“2 = n垂直2 = aa2 +"1 =0（其中1，n2分别为/与，2的一个 法向量）而由由出+4A =0,易得当仇工0力，工0时，有3_0=一1,即当两条直线的斜率都存 A b2在时，与人垂直的充要条件是勺上=一1,其中勺，鼠分别为直线与。的斜率.例题6 （2019上海青浦高三一模）直线4-1=。和直线4：向一），=。的夹角大小是【答案】:6【解析】直线/1：x l=O的倾斜角为直线4： Ay=o的斜率为JJ，倾斜角为9，.直线小工一1=。和直线/2：&一），= 0的夹角大小为三，故答案为：专题训练例题2 （2020上海闵行高

10、三二模）若直线，戊+ /9 + 1=。的方向向量为（1,1）,则此直线的倾斜角为，1T【答案】一 4【解析】;,直线内+力+ 1=。的方向向量为（1,1）,直线的斜率为1.TT ，直线的倾斜角为一.47T 故答案为：一.42. （2020上海徐汇高三二模）设二次函数/（工）=（2加+ 1K2+九丫一/一2,（成 eR且7金一；）在2,3上至少有一个零点，则/+2的最小值为4153【解析】由题，当xw2,3时,f （力=（2"+1）炉+加一加- 2=0有解,则可设点（加,）在直线（2/-1）? +初+ （/-2）= 0上，则表示原点到点（/几）的距离的平方,/+/的最小值为原点到直线(

11、2/-1)7 +初+卜2-2)=。的距离的平方,/-4/+4 _ 1 113x2-154x4-3x2+1 -4-4 4x4-3x2 + 1 -令，=13酎-1537,102,r169原式=二了4（廿113（31+1二一鼠4，+ % + 81，I 13 I 13 Ji484484因为4r + + 81 2 2x88+81=257,当且仅当4/= ，即f = 11时等号成立,不符合题意,/t4844所以当1 = 37时,小+最小，此时d2取得最小值为一, t534则"广+ "2的最小值为一， 534故答案为：一 533. （2020上海徐汇高三二模）已知直线（“ + 2）x +

12、 （l-a）y-3 = 0的方向向量是直线 （。一1八+（2。+ 3），+ 2 = 0的法向量，则实数。的值为【答案】±1【解析】由题，因为直线（" + 2）x+（l-3 = 0的方向向量是直线m l）x+（为+3）y + 2 = o的法 向量，所以两直线垂直,则（。+ 2）（4 1）+（14）（2。+3） = 0,即（4-1）（ + 1） = 0,所以。=±1 ,故答案为:±14. （2020徐汇上海中学高三其他）对于任意满足不等式/+），2 4机的实数-y,都能使得不等式组"+ ） "2应成立，则洲的最大值是.x-2y<4【

13、答案】5【解析】x+ y < 2>/2由题意可知，不等式组,表示的可行域如图：x-2y<4以（0,0）为圆心的圆在不等式组，所表示的区域内, 半径最大的圆/ +卡=?应与直线相切,.|00-4| 4 小圆心到工一2），-4 = 0的距离为：4 = J百=工"圆心到工+>-2四=0的距离为：5 =0-0-2闾由于4 <4,.符合题意的最大的圆为：x2+y2 = ,的最大值是：.故答案为：.5. （2020上海高三其他）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上, 边83c3上有10个不同的点儿打，记。，记M,=AB,AFj （i = l,2,1

14、0）,则A/1+ A/、+ +A/1c =【答案】180【解析】解：以A为坐标原点，AG所在直线为X轴建立直角坐标系,可得打（3.6）, B、（5,5 , G（6.O）,直线83G的方程为y = -#*-6）,可设6（%,凹），可得Ai + X = 6。,即有 M, = AB2 . APt = 3% + JJr=+ g）=18，则Mi +知2+.+加2 = 18x10 = 180.故答案为：180.6. （2020上海复旦附中青浦分校高三月考）已知两条直线4：公；一2），-3 = 0,/2：4工+ 6t-1=0,若右的一个法向量恰为的一个方向向量，则=【答案】3【解析】,/ /1的一个法向量恰

15、为"的一个方向向量,.d直线4的斜率为用=三，直线4的斜率为3 =:， 由占右=一1，得x（-：）= T.4 = 3.故答案为：3.7.（2019长宁上海市.延安中学高三三模）点（2,1）到直线3x + 4y = 0的距离为【答案】2【解析】13x2 + 1x41 -依据点到直线的距离公式，点（2,1）到直线3x + 4y =。的距离为 /、=2。J3- +4-7.（2017长宁上海市延安中学高三三模）将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为。，第一次得到的点数记为，则方程组ax+by = 3c C有唯一解的概率是 x + 2y = 2【答案】2 12【解析】ax + bv =

16、3由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组.八的两直线相交，x + 2y = 23 - 2W。-2=即直线h：ax+by=3与直线A： x+2j=2相交，又所有的可能出现的结果（。，6）共有6x6 = 36种，当直线人与A平行时，应有故其中满足直线人与直线上平行的结果Q, b）共有：（1, 2）、（2, 4）、（3, 6）,总计3个，故直线人与平行的概率为又由6的意义可知两条直线不重合, 36311故直线人与，2相交的概率为1 =，36 12311，方程组有唯一解的概率为1-一=2，36 12故答案为：12& (2017上海高三其他)若分别过户(1,0), 0(2,0), H(4,0

17、), S(8,0)四个点各作一条直线，所得四条直线恰用成正方形，则该正方形的面积不可能为()A. 317c 196D.53【答案】C【解析】如果过点尸(1,0),2(2.0), R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,过夕点的必须和过。，R, S的其中一条直线平行和另外两条垂直,假设过。点和。点的直线相互平行时，如图,设直线PC与x轴正方向的夹角为6,再过。作它的平行线。，过H、S作它们的垂线RB、SC ,过点A作X釉的平行线分别角PC、SC于点M、N,则 AB = AM sin 0 = PQsin 6 = sin 6, AD = ANcosO = HScos® = 4c

18、os6,因为 A8 = AZ),所以 sin6 = 4cos8,则 tan 8 = 4,所以正方形A8C£)的面积S = AB - AD = 4sin cos 0 =4 sin。cos。4 tan 016sin10 +cos2 0 tan 20 +1 17a同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形A3CQ的面积S为丁,193当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的而积S为 y,故选C.9. （2017上海高三其他）图中曲线的方程可以是（）A. (x+y-l)-(x2 + y2 -1) = 0B.-(x2 +-1 = 0C. (x+ y-1) yjx2 +y2 -1 = 0D

19、. x +y-x2 + y2=0【答案】C【解析】由图像可知曲线的方程是/ + V = 1或丹),一 1=o(x2+y2 >1), 故选：C.10. （2018上海市南洋模范中学高三三模）己知光线沿向量。=md + p”（ ip H 0，加£ R ,eR）照射，遇到直线/后反射，其中2是直线/的一个方向向量，万是直线/的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（）A,-md - phB.md -ph0_C.一d + mnD.pd -inri【答案】B【解析】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中则向量1 = g+ /疣 （mp *。,加 wR,pe R）时，向

20、量 =md - pn .故选 B. ¥ /一“ 1 一d11. （2018上海市七宝中学高三三模）已知实数x的取值范围是（）A. （。,2B. 1,2C.【答案】BC、x + J3y、y “两足：厂 +()，-2), =1, co = = »(0,2D.4内【解析】设P（x, y）为圆X2 + （y -2）2 = 1上的任意一点,则P到直线x +小y = 0的距离PM = L S'，P到原点的距离OP =旧+了 ,x+后 2PMJ7T7 = op= 2sin ZPOM2设圆一+（一）*与直线,，"相切，则e解得NPOM的最小值为30,，最大值为90,，:.

21、-sin 4POMQ , /. 12 sin NPOM42 .2故选5.12 . （2018上海浦东新区华师大二附中高三三模）已知平而直角坐标系中不垂直于x轴的直线/,则“/的斜率等于是“/的倾斜角等于arctanA ”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又不必要条件【答案】C【解析】当攵20时，由直线/的斜率为，可得出直线/的倾斜角为arctanh当k<0时，由直线/的斜率为，可得出直线/的倾斜角为乃+ arctank.反之，若直线/的倾斜角为arctank,则直线/的斜率为tan（arctank） = k.因此，“/的斜率等于我 ”是“/的倾斜角等于ar

22、ctan A ”的必要非充分条件.故选：C.213 .（2020上海崇明高三二模）己知椭圆r：二+、=1的右焦点为F,直线2 .x =忘）与该椭圆交于点& B （点乂位于4轴上方），x轴上一点C （2.0）, 代入方程得到：化简得到二+,，故点尸在椭圆r上.直线乂尸与直线8C交于点P（1）当/ = 一1时，求线段JF的长；（2）求证：点尸在椭圆厂上；（3）求证：S < . a /vic2【答案】（1） 些（2）见解析（3）见解析 2【解析】（1）f = 1，代入椭圆方程得到a（-1,咚） F（2）计算得到j B故AA卜万/、BC：*5/y = （x-1）y =（r-1 vf2-r '1,0),故 = ¥x-2)消去得到）一百（）2 （3