新课程数学解题教学的感悟及典型案例研究合情推理

1、新课程数学解题教学的感悟及典型案例研究合情推理北京市平谷中学 王立军 内容提要：在教育观念悄然发生变革的今天，合情推理已走进了高中数学新课程，在数学研究性学习中，类比作为一种常用的合情推理方法，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。本文从概念类比、方法类比、升维类比、归纳类比、结构类比五个角度，对近几年高考试卷中出现的“类比”型试题进行分类解析，探讨教学实践中对学生合情推理能力的培养。关键词：类比，类型，思维基础，猜测，发现，创新能力新数学课程标准中新增加“推理与证明”包含演绎推理与合情推理，新一轮基础教育数学课程改革中，给了合情推理应有的关注。数学课程标准在选修1-

2、2与选修2-2中设计了推理与证明内容，要求学生结合已学过的数学实例和生活的实例，对合情推理与演绎推理的方法进行概括总结，体会合情推理与演绎推理在数学结论发现、证明与数学体系建构中的作用。而类比作为一种常用的合情推理方法，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力的培养。本文结合高考试题实例，从概念类比、方法类比、升维类比、归纳类比、结构类比五个角度，对近几年高考试卷中出现的“类比”型试题进行分类解析，探讨教学实践中对学生合情推理能力的培养。一 类比推理及其特征所谓类比推理是根据两个（或两类）不同的对象在某些方面（属性、关系、特征、形式等）有相同或相似性，猜测它们在其他方面也可能相

3、同或相似，即把信息从一个对象转移到另一个对象，并作出某种判断的推理方法。类比的实质就是信息从模型向原型的转移，恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。其步骤可由下列框图表示：原型模型可能的结果结果类比猜想 思维程序如下:观察研究归纳得到猜想验证。类比的方法是以两个对象之间的类似为基础的。G·波利亚说：“两个系统可作类比，如果它们各自的部分之间，在其可以清楚定义的一些关系上一致的话。”著名数学家欧拉曾说过：“类比就是大胆猜想。”而类比推理就是根据题目的结构、形式或数值特征上的相似或相同而构造的问题，使问题得以解决。类比的特性是：两个对象的某些属性是相同的，或

4、者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性地设想。二、常见类比类型1概念类比：用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。数学中的许多概念，知识点之间有类似的地方，在新概念的提出，新知识的讲授过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握，有效培养学生的探究能力。例1：有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值1. （）写出该

5、定理在椭圆中的推广,并加以证明；（）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.解：（）设直径的两个端点分别为A、B,由椭圆的对称性可得,A、B关于中心O（0,0）对称,所以A、B点的坐标分别为A（,B（.P（上椭圆上任意一点,显然,因为A、B、P三点都在椭圆上,所以有 , , .而,由得： .所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.（）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 该

6、定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.评注：本题以“圆”为载体解决的关键是利用课本中两直线（斜率存在）垂直的条件，及“代点法”的有关知识和教学活动的经验类比出定理在椭圆，双曲线，及有心圆锥曲线中的推广。通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。备选考题： 2006年（湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数

7、等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ，式可以用语言叙述为： 。（答案：（R3）4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。）2方法类比：例2： 2000年（上海卷）在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n(n19，nN*成立。类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b9=1，则有等式_成立。分析：本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且则）； 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且则）.我们从更一般的角度来分析等差数列an，由题设，如果ak

8、=0，那么有a1+a2+an=a1+a2+a2k1n(n2k1,nN*成立。又如果k+n=p+q，其中k，n，p，qN*，对于等差数列an则有ak+an=ap+aq；类比于等比数列bn，则有bkbn=bp·bq，于是，我们又可类比得到新的结论：如果bk=1，则有等式：b1b2bn=b1b2b2k1n (n2k1，nN*成立。结合本题k=9，于是有b1b2bn=b1b2b17n(n17,nN*本题是一道小巧而富有思考的妙题，主要考查学生观察分析能力，抽象概括能力，运用类比的思想方法由等差数列an而得到等比数列bn的新的一般性结论。备选考题：若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性

9、质，相应地，数列是等比数列，且，则也是等比数列（以上）。（答案： ）3升维类比：将平面（二维）中问题升级到空间（三维）问题，此种方法即为升维类比。例3：2003年（广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 BACDABC分析：关于平面问题与空间问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多边形 多面体； 边 面 面 积 体 积； 平面角 二面角 线段长 面 积 ； 由此

10、，根据线段长 面积，可类比猜测本题的答案： （证明略）. 评注：本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入。备选考题： 2004年（广东卷）由图（1）有关面积关系 则图（2）有关体积关系： _ _。（答案：）4归纳类比：是指通过对特例的分析，通过类比归纳引出普遍结论的一种推理形式例4： 2003年（上海卷）已知数列（为正整数）的首项为，公比为的等比数列.（1） 求和：；.（2） 由（1）的结果，归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明.分析 本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：（1

11、）=，.（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为，公比为的等比数列，则.（证明略）评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。备选考题：（2009浙江卷理）观察下列等式：， ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于， 。（答案：）. 5、结构类比：某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，特征命题的条件或结论与已知的数学关系结构上的相似性，寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像，代数与解析几何等，如：（1）任意有对数

12、函数（2）任意 有指数函数（3）任意xR，a为正常数， 还有些结构与距离公式，斜率公式相似的结论等例5：2002年（北京卷）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足：，（，问省略）（）若，求数列un的前n项和Sn解：当ab0时，令：类比具体函数：对数函数，由上可得所以， 因为，所以所以， ，所以（证明略）三、类比的思维基础G·波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，类比中的相似性是一种广泛存在的现象，具体说来，类比是一种建立在相似思维基础上的一种思维方法，所以相似思维是类比思维的前提，而事物之间相同点或者相似点是进行类比的基础。利用事物的形状相似、结构相似、功能相似、性质相似，关系相似、意义相似等特点把不同的事物联系起来，寻找发现两者之间的相似性，用一种事物的性质去推测另一事物的性质，从而达到解决问题或者创造发明的目的。教学中，重视培养学生的类比推理和归纳推理的能力。不仅能帮助他们理解和掌握新知识，而且还能提高他们的解题能力，促进