初中数学竞赛试题汇编.

1、2012 年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、选择题：（每题7 分，共42 分）1、化简2 72112323 41983 的结果是（）A 、 2B、 2C、3 3D、3 32、一次考试共有5 道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1 题， 91%的同学做对第 2题， 85%的同学做对第 3 题， 79%的同学做对第4 题， 74%的同学做对第5 题，如果做对 3题以上的（含 3 题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（）。A、70%B 、79%C、 74%D、 81%3、如图：在 ABC 中， AD1 AB, BE1 BC ,CF1CA,则333AN:NL:LE 等于（）

2、A 、 2：1： 1 B、 3：2： 1C、 3： 3：1D、2：3：14、满足方程 x 2y22( xy)xy 的所有非负整数解的组数有（）A 、 1B、2C、 3D 、45、如图：正方形ABCD的边长为2 15 ，E、 F 分别是 AB 、BC的中点， AF 分别交 DE ，DB 于 M ，N, 则 DMN 的面积为（）A 、 8B 、9C、 10D、116、使分式 x22x4 的值为整数的实数 x 的值的个数是（）x23x3A 、 4B、5C、 6D、 7二、 填空题（每题 7 分，共 28 分）7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为.8、边长为9cm, 40cm,4

3、1cm 的三角形的重心到外心的距离是29、已知二次函数yax2bxc ,一次函数 yk ( x1)k，若它们的图像对于问题任意4的数 k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为10、代数式 x29( x8) 249 的最小值是三、 解答题（共三大题，70 分）11、已知关于 x的方程 ( k2)(k4) x2(10k 28) x 24 0 的根是整数，求满足条件的所有实数 k 的值（ 20 分）12、如图：在矩形OE AB 于有，点ABCD Q 是中，点 P 在 AB 上，且OE 的中点，求证：PQACP 是等腰三角形，CE（ 25 分） .O 是AC的中点，13、已知二次函数yx2(m3)

4、xm4 图像与轴交于 点A(x1 ,0),点B( x2 ,0）(x 1<x 2),与y 轴交于点C,若 CAB 与 CBA 是锐角。（1）求 m 的值；（2）是否可能出现CAB CBA ？若可能，求出CBA 的大小；m 的值；若不可能，比较CAB与（3）当 CAB 与 CBA 互余时， ABC 的面积是多少？（25 分）2011 年全国初中数学竞赛试题(考试时间： 2011 年 3 月 20 日 9：30 11 ： 30 满分： 150 分)一、选择题 （共 5 小题，每小题7 分，共 35 分。每道小题均给出了代号为A 、 B、 C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正

5、确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1、设 x531)( x 2)( x3) 的值为（）2，则代数式 x(xA 、 0B 、 1C、 1D 、 22、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a,b）与 (c,d) 之间的运算“”为：（a, b）（ c, d）（ ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数 u, v,都有（ u, v ）（ x, y）（ u, v ）, 那么（ x, y ）为（）A、（ 0, 1）B、（1, 0）C、（1， 0）D 、（0, 1）3、已知 A，B 是两个锐角，且满足sin 2 Acos2 B5 t ， cos2 Asin2 B

6、3 t 2，则44实数 t所有可能值的和为（）A、8B、5C、 1D1133、34、如图， 点 D、E 分别在 ABC的边 AB、AC上， BE、CD相交于点 F，设 S四边形 EADF S1 ，SBDFS，S BCFS3 ， SCEFS ，则 SS与S S 的大小关系为（） A241 324A、 S1S3 S2 S4B 、 S1S3 S2S4DFEC、 S1S3 S2 S4D 、不能确定5、设 S1+1+ 1 +13，则 4S的整数部分等于BC3333第4题图122011（）A、4 B、 5C、6D、 7二、填空题 （共 5 小题，每小题7 分，共35 分）6、两条直角边长分别是整数a, b

7、（其中 b<2011），斜边长是b+1 的直角三角形的个数为.7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4 ；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为 5 的概率是.8、如图，双曲线y2（ x0 ）与矩形 OABC的边 BC，xBA 分别交于点E， F ， 且 AF BF，连结EF，则 OEF的面积为.9、 O的三个不同的内接正三角形将O分成的区域的个数为.10 、 设四位 数 abcd 满足 a3b3c3d3 1 10 c d， 则这 样 的 四位 数 的 个数为.三、解答题 （共

8、4 题，每题20 分，共 80 分）11 、 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2c xa 0 的 两 个 整 数 根 恰 好 比 方 程x2ax b 0 的两个根都大 1, 求 a b c 的值 .12、如图，点H为 ABC的垂心，以AB为直径的 O1 和 BCH的外接圆O2 相交于点D， 延长 AD交 CH于点 P， 求证：点P 为 CH的中点 .AO1HDPCBO213、若从 1,2,3, ， n 中任取 5 个两两互素的不同的整数a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值 .14、如图，ABC中， BAC 60°,

9、AB 2AC. 点 P 在 ABC内 , 且 PA=3 , PB=5,APC=2, 求 ABC的面积 .PCB2011 年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题（考试时间2011 年 3 月二 0 日 9： 30 11： 30）第一试一、选择题（每题7 分，共 42分）1、设 a 为质数，并且7a28 和 8a27 都是质数，若记 x77a8 ， y88a7 ，财在以下情况中，必定成立的是（）A 、 x,y 都是质数B、 x,y 都是合数C、x,y 一个是质数，一个是合数D、对于不同的a,以上各情况皆可2、化简322322的结果是（）1712217122A 、 2B、2C、 2D、 -23、 2 2

10、01132011 的末位数字是 ()A 、 1B 、3C、 5D、 74、方程x34 x1x86 x11 的解的情况是（）A 、无解B 、恰有一解C、恰有两个解D 、有无穷多个解5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是（）A、24B、 36C、 38D、 766、设 a,b 为整数， 并且一元二次方程x 2(2ab3) x (a 2ab6)0 有等根 ，而一元二次方程22( 422)( 221)0 有等根 ，那么以 、为根的axabxab一元二次方程是（）A 、 2x 27x 6 0B、 2x 2x 6 0C、 x 24 x 4 0D、 x 2(a b) x a

11、b 0二、填空题 ( 每题 7 分，共28 分)1、 Rt ABC 的三条边长分别为3、 4、 5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面积等于2、若 x35x 27x 3 ( x 4)3a( x 4) 2b( x 4) c ，则 (a,b,c)= ()3、如图：正方形ABCD 的边长为1，E是CD边外的一点，满CE BD,BE=BD, 则 CE=4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是数 S 所有可能的取值情况有7 的倍数，用种。第二试S 表示圆周上所有的十二个数的和，那么一（ 2

12、0分）试确定，对于怎样的整数a,方程5x24( a3) xa2290 的正整数解？并求出方程的所有正整数解。二（ 25 分）锐角 ABC 的外心为 O，外接圆的半径为R，延长 AO ，BO， CO，分别与对边 BC， CA ，AB 交于 D、 E、 F；证明1112ADBECF。R三、（ 25分）设k 为正整数，证明：1、如果2、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么25 k+625k+6 是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积；也是两个连续正整数的乘积；2010 年全国初中数学联赛江西省初赛试题第 一 试一 .选择题（每小题7 分，共 42 分）1、化简35134862的结果是

13、（）（A）、2； （B）、2 ；（C）2； （D）、 1 222、 ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）(A) 、 12； (B) 、13； (C) 、26； (D) 、 303、设 ab 0，且函数 f 1 ( x)x 22ax4b与 f 2 ( x)x24ax 2b 有相同的最小值u；函数 f3 (x)x22bx 4a 与 f 4 (x)x24bx2a 有相同的最大值v；则 u+v 的值( ).(A) 、必为正数； (B) 、必为负数； (C) 、必为 0； (D) 、符号不能确定4、若

14、关于x 的方程没有实根， 那么， 必有实根的方程是（）(A) 、；(B) 、；(C)、；(D) 、5、正方形ABCD中， E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M ，AF交BD于 N；若AF平分BAC，DE AF，；记 xBE, yBN, zCF, 则有（）.OMONBF（A ）、 x>y>z ；（ B）、 x=y=z ；（C）、 x=y>z ；（ D）、 x>y=z 6、将 1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（）(A) 、 4 种；(B)

15、、 8 种；(C)12 种、；(D) 、 16 种二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、若 k 个连续正整数之和为2010，则 k 的最大值是2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为.3、圆内接四边形ABCD 的四条边长顺次为： AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为.4、在± 1± 2± 3± 5± 20 中，适当选择+、 - 号，可以得到不同代数和的个数是第 二 试一、（ 20 分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b是方程x 2( k

16、2) x4k=0的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长二、（ 25 分）如图，自ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：CA ， PF AB ，若 BD=BF,CD=CE；证明： AE=AFPD BC，PE三、（ 25 分）已知 a,b,c为正整数，且3ab 为有理数，证明a2b2c 2为整数3bcabc“数学周报杯”2010 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题7 分，共35 分.1 若 a20, b10 ，则 ab 的值为（）bcbc（A）11（B） 21（ C）110（ D） 210211121112若实数 a， b 满足 1 aabb 220 ，则 a 的取值范围

17、是（）2（ A） a（ B）a 4（ C）a或 a 4（ D） a 43如图，在四边形ABCD中， B 135°， C 120°， AB= 23 ，BC= 42 2，CD 42 ，则 AD边的长为（C）B（A） 26（B）4 6（C） 46（D） 22 6A第3题图D4在一列数 x1, x2 , x3 , 中，已知x11，且当 k 2 时，xkxk 114k 1k2（取整符号 a表示不超过4y4实数的最大整数，例如2.6=2,0.2=0），则 x2010 等于P·（）DA(A)1(B)2(C)3(D) 4Ox5如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形的顶点ABCD

18、CB坐标分别为 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 2， 1）， D（ 1，第9 题图1） y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B旋转 180°得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180°得点 P3，点 P3 绕点 D旋转180 °得点P ， ，重复操作依次得到点P，P， ，则点P的坐标是4122010（）（ A）（ 2010， 2） （ B）（ 2010，） （ C）（ 2012，）（ D）（ 0， 2）二、填空题6已知a51，则 23 72 2a12 的值等aa于7一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在

19、一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10 分钟，小轿车追上了货车；又过了5 分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是O（ 0，0）， A（0， 6）， （ 4， 6）， （ 4， 4）， （ 6， 4）， （ 6， 0）若直线l经过点 （ 2， 3），BCDEM且将多边形 OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是9如图，射线 AM，BN都垂直于线段 AB，点 E 为 AM上一点，过点A 作 BE的垂线 AC分别交 BE，BN于

20、点 F，C，过点 C作 AM的垂线 CD，垂足为 D若 CDCF，则 AEAD10对于 i =2，3， ， k，正整数 n 除以 i所得的余数为 i1若 的最小值 n0 满足 200n0 3000 ，则正整数的最小值为三、解答题（共4 题，每题20 分，共 80 分）11、如图： ABC为等腰三角形， AP是底边 BC上的高，点D是线段 PC上的一点， BE和 CF分别是 ABD和 ACD的外接圆直径，连接EF.求证： tanPADEFBC12如图，抛物线y ax2bx （ a0）与双曲线k相交于点A，B已知点A的坐标为（1， ），点 B在第三象限内，且AOB的面积为y.4x3（ O为坐标原点

21、）.(1 ）求实数a，b， k 的值；（ 2）过抛物线上点 A 作直线 AC x 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足 EOC AOB的点 E的坐标 .13求满足 2p 2p8m22m 的所有素数p 和正整数m.2009 年全国初中数学江西赛区预赛试题（ 2009 年 3 月 22 日上午 9： 3011： 30）一、选择题（共1、已知非零实数则 a+b 等于（）5 小题，每小题7 分，满分35 分）2a、b 满足 |2a 4|+|b+2|+(a-3)b+4=2a，A、1B、0C、1D、22、如图所示，菱形ABCD 边长为 a，点 O上一点，且OA=a ， OB=OC=OD=1, 则 a 等于

22、（在对角线）AC1B、 1C、 1515A 、D、223、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为axby3b，则关于 x、y 的方程组2 y只有x2正数解的概率为（）12513A、12B 、 9C、18D、 364、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中， AB CD，B=90 °，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由BC D A 运动，设点 P 运动的路程为 x， ABP 的面积为 y，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图2 所示，则 ABC 的面积为（）A、10B、16C、18D、 325、关

23、于 x、 y 的方程 x 2xy2 y 229的整数解（ x、y）的组数为（）A、2 组B、3 组C、4 组D、无穷多组二、填空题（共5 小题，每小题7 分，共35 分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶；7、已知线段 AB 的中点为C，以点 C 为圆心， AB 长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上取点D ，使得 BD=AC ；再以点 D 为圆心，DA 的长位半径作圆，与A 分别相交于点F、 G

24、 两点，连接 FG 交AHAB 于点 H，则 AB 的值为；8、已知 a1 ,a2 ,a3 , a4 , a5 满足条件 a1a2a3 a4a5 9 的五个不同的整数，若 b是关于 x 的方程 ( xa1 )( x a2 )( x a3 )( x a4 )( x a5 ) 2009 的整数根，则 b 的值为；9、如图所示，在ABC 中， CD 是高， CE 为 ACB 的平分线，若 AC=15 ， ,BC=20 ， CD=12 ，则 CE 的长等于10、 10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的

25、数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是；三、解答题（共4 小题，每题20 分，共 80 分）11、函数 yx 2(2k1) xk 2 的图像与 x 轴的两个交点是否都在直线x=1 的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1 的右侧时 k 的取值范围？12、在平面直角坐标系 xoy 中，我们把横坐标为整数， 纵坐标为完成平方数的点称为 “好点”，求二次函数 y ( x 90)2 4907 的图像上的所有“好点”的坐标 .13、如图，给定锐角ABC ， BC CA ， AD ， BE 是它的两条高，过点C 作 ABC 的外接圆的切线l，过电 D、

26、 E 分别作 l 的垂线，垂足分别为F、 G，试比较线段DF 和 EG 的大小，并证明你的结论？14、n 个正整数 a1 , a2 ,an 满足如下条件： 1a1、a2a3an2009 且a1 , a2 , an 中任意 n 1 个不同的数的算术平均数都是正整数，求n 的最大值。2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题第一试一、选择题（每小题7 分，共 42分）1、化简3232的值是（） .17241724A 、2B 、3C、6723D 、.42、 a,b,c 是互不相同的实数，则代数式a 2(xb)( xc) b2 ( xc)( xa)c2 (xa)( xb)经化简后得到（）.(ab)( a

27、c)(ba)(bc)(ca)(cb)A 、 a 2B 、 b2C、 c 2D 、 x2 .3、设实数 a<b<c, x<y<x ，则下列四数中，值最小的一个数是（） .A 、ax+by+czB 、 cx+by+azC、 bx+ay+czD 、 ax+cy+bz4、若 ABC 的三条边长 AB=3 ，AC=4 ，BC=5 ，分别以 A、 B、C 为圆心作 A ， B ，C，使得这两个圆两两相切，则A ， B ， C 面积之比是（） .A 、1：2：3B、3： 4：5C、 1： 4：9D、 9： 16： 255、数组 a,b,c,d,a<b<c<d由不大于

28、20 的四个质数组成， 且满足 a+d=b+c, 这种四元组的个数是（） .A 、6B、 8C、 12D、 16.6、若一元二次方程 x 2axb0 的两根为整数， 且两根的平方和为 2009，则这种方程有（） .A、1个B、2 个C、4 个D、8 个.二、填空题（每小题7 分，共28 分）7、从前20 个正整数 1， 2， 20 中选择5 个不同的数填写在一个圆周上，使得圆周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（）.（如果写成一行，首尾的数看成相邻） .8、若 f(x)=1,3 x 22x 1 3 x22x 1 3 x21则 f(1)+f(3)+f(5)+f(2009)=.9、若 AD ，

29、BE 为 ABC 的两条角平分线， I 为内心，若 C，D ，I，E 四点共圆，且DE=1 ，则 ID=.10 、 设 ak2k， k 为 自 然 数 ， 令 A a1a2a9 ， B a1a2 a9 ， 则32k1A.=B第二试三、 解答题（本题三大题，共70 分）11、（20 分） 若关于 x 的方程x416x3(812a) x 2(16a142)x a 221a680 的各根为整数，求 a的值，并解此方程 .12、（ 25 分）如图， ABC 中， AB=AC ， D 是 BC 上的任意一点， E，F 分别是边 AC ， AB 上的点，且 DE AB ， DFAC ，作点 D 关于 EF

30、 的对称点 F，证明： PD 平分 BPC，且 PBC AEF.13、（ 25 分）将前300 个正整数1、 2、 3、4、 、 300 顺次在黑板上排成一行，然后划去两数1、 2，而将这两数的和写在最后面，成为3、 4、 5、 6、 300、 3；接着，再划去前两数3、 4，而将这两数的和写在最后面，成为5、 6、7、 8、 、 300、3、 7；象这样一直进行下去，直到黑板剩下一个数为止，试求黑板上出现过所以数之和（包括每次划去的数在内）.2009 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）1. 设 a71，则 3a3 12a26a12（）A.24.B.

31、25.C.4710.D.47 12.2 在 ABC中，最大角 A 是最小角 C 的两倍，且AB7， AC8，则 BC（）A.7 2. B.10 .C.105 .D.73 .3x的最大整数，则方程x22x 30 的解的个数为（） 用 x 表示不大于A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4 设正方形 ABCD的中心为点O，在以五个点A、 B、C、D、 O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B）AD3 .3 .1 .4 .A.B.C.D.147275如图，在矩形 ABCD中， AB 3，BC2，以 BC为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线 AE，则 sinCBE （）EA.6 .B.2 .C.1 .D.10 .BC333106设 n 是大于1909 的正整数，使得n 1909 为完全平方数的n 的个数是（）2009 nA.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）已知t是实数，若 a, b 是关于x的一元二次方程x22x t1 0 的两个非负实根，1则 (a2 1)