北京市通州区2018届高考一模考试数学(理)试卷及答案

1、通州区20172018学年度高三一模考试数学（理）试卷2018年4月本试卷分第一部分和第二部分两部分，共 150分.考试时间长 120分钟.考生务必将答 案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共 合题目要求的一项.40分.在每小题给出的四个选项中，选出符1.已知全集U R ,集合A x|xB 0,1,2,那么eU A IA.0,1,2B.1,2C.0,1D.2.已知xy满足xy1,0,那么2,A. 1C. 1B.D.3.执行如右图所示的程序框图，若输出 则输入k的值可以是A.C.B.D.6104.设

2、A.5. ”,1 a log 1 -3 6c>b>a2x R , x10g 3 2bxB. c>a>b1 0成立”是“开始y的最小值是2x15,那么C. a >b >cb 0,1 ” 的D.a >c>bA.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件26.已知抛物线yuun uuuCA CB等于8x的准线与圆心为.一 2C的圆x2y 2x 8 0父于A,B两点，那么A. 2B, 272C.25D.4.27.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为则该四棱锥侧视图的面积是2的正方形，且它的正视图如图所示,B. 4u

3、uir uuu 若BC BA12 ,则AC边上的高为3J3；A. 4y2C. 2 垃D. 28 .描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲、乙两位工匠要完成J A, B, C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间（单位：小时）如下：原料时间工序-二原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要A. 43小时B. 46小时C. 47小时D, 49小时第二部分（非选择题共

4、110分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .已知复数1 i 1 ai是纯虚数，那么实数 a .x 1 t,10 .若直线l的参数方程为（t为参数），则点P 4,0到直线l的距离是y 1 t11 .已知数列 an是等比数列，a3 4, a6 32,那么生 ；记数列 an 2na6的前n项和为Sn,则Sn .12 . 2位教师和4名学生站成一排合影，要求 2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为 （结果用数字表示）13 .在 ABC中，角A , B , C的对边分别为a , b , c,已知B 60 , b 4 , 下列判断：若c J3,则角

5、c有两个解；a c不可能是9.其中判断正确的序号是.14 .设函数 f（x） x2 acosx , a R,非空集合 M x|f（x） 0, x RM中所有元素之和为若集合N x| ff x 04,且吊 N,则a的值是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 .（本题满分13分)已知函数sin2cos- 73 cos 2的最小正周期;(n)求 f在区间 ,0上的最大值和最小值.16 .（本题满分13分).2017 年 12 月25日发布的北京市通州区统计年鉴（ 定资产投资939.9亿元，比上年增长 固定资产投资及增长率，如图一 .2017） »

6、显示：2016年通州区全区完成全社会固17.4%,下面给出的是通州区2011-2016年全社会又根据通州区统计局 2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目产投资1054.5亿元，比上年增长 12.2%.（I）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图） ，标出增长率并补全折线图；（n）通过计算 2011-2017这7年的平均增长率约为 17.2%,现从2011-2017这7年中 随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中

7、，增长率高于17.2 %的年份个数”，求X 的分布列及数学期望；（出）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x0 ,平均数为X，比较x0与x的大小（只需写出结论） PAD为等腰直角三角形,AB17.（本题满分14分）如图所示的几何体中，平面PAD 平面ABCD,APD 90°,四边形 ABCD为直角梯形，AB/DC ,PQ/DC , PQ DC 1.(I)求证：PD平面QBC;(n)求二面角 Q BC A的余弦值;(m)在线段QB上是否存在点 M ,使得AM平面QBC ,若存在，求QMQB的值；若不存在，请说明理由18 .(本题满分13分)已知函数 f(x) xe

8、x, g(x) a(ex 1) , a R .(i)当 a 1 时，求证：f(x) g(x)；(n)当a 1时，求关于x的方程f(x) g(x)的实根个数.19 .(本题满分13分)22x y已知椭圆C :二二21ab 0的上、下顶点分别为 A , B ,且AB 2 ,离心率 a b为立,2O为坐标原点(I)求椭圆C的方程;(n)设P, Q是椭圆C上的两个动点(不与 A, B重合)，且关于y轴对称，M , N分别是OP , BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为 D .求证：D , N , Q三点共线.20 .(本题满分14分)已知数列 为 ,设an an 1 an n 1,2,3, L

9、,若数列 为为单调增数列或常数列时，则an为凸数列.(I)判断首项a10 ,公比q 0 ,且q 1的等比数列 & 是否为凸数列，并说明理由；(n)若 an为凸数列，求证：对任意的 1 k m n,且k,m,n N,an amam ak均有 am 1 am -，且 am max a,an ;n mm k其中max ai,an表示a1，an中较大的数;（出）若 an为凸数列，且存在t 1 t n,t N ,使得ao at , an at ,求证：a1 a2 L an.高三数学（理科）一模考试参考答案2018.4、选择题9.112. 24三、解答题10.近11.4, 2n 1 n2 n13.

10、14. 0, 015.解：（I）因为 f x sinx x =2 x一 cos- 、. 3cos222.x x -2 xsin - cos-. 3 cos 一2221 sin x 23一 cosx2工J 3sin x+ 十一 .32分所以f x的最小正周期T 2 .分（n）因为x,0 ,所以x+ 一3所以当x ,即x 0时，函数 33“5当x ，即x 时，函数3263-f(x)取得最大值sin + V3.323 f(x)取得最小值1+.所以f x在区间,0上的最大值和最小值分别为J3和1 + 32题号12345678答案BACDBD1 CB 1所以X的分布列为X012P2477716.解：(I

11、)图二2011-2017年全社会固定资产投资及增长率（亿元）25.020.015.010.05.00.0全社会固定资产投资增长率分（n）依题意,X的可能取值为0,1,2.C2P(X 0) CC7_ 1_ 12,P(X 1)曾7C74-,P(X 2)7C32C7一 241610所以X的数学期望E X 0 - 1 - 2 -.777 7分13（出）儿 .分17 .解：（I）因为PQCD , PQ CD,所以四边形PQCD是平行四边形.所以 PD/QC.因为PD 平面QBC , QC 平面QBC ,所以PD平面QBC. 4（n）取AD的中点为O ,5因为PAPD,所以OP AD.因为平面所以OP分P

12、AD平面平面 ABCD,OP ABCD.平面PAD,以点O为坐标原点，分别以直线OD 则x轴在平面ABCD内.OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,因为 APD 90AB ADPQCD 1所以 A 0, 1,0 ,B 2, 1,0 ,C 1,1,0 ,1,0,1uur所以BQuur1,1,1 , CQ0,r设平面QBC的法向量为nx, y,zr n r nuur BQ uur CQ0,0,y z 0, z 0.所以x yy z,令 z 1,2.z.r所以n2,1,1 .ir设平面ABCD的法向量为m0,0,1 ，所以urcos n, m1,6又因为二面角Q BC A为锐角,所以二面角

13、Q BC A的余弦值是 610(m)存在.设点Ma,b,cQMQB01 .uuuu 所以QM1,b,cuurQB 1, 1,所以a+1+1.所以点M1,uuuu所以AM1,1,又平面QBC的法向量为2,1,1 , AM 平面 QBC ,所以1 所以 一3所以在线段QB上存在点M，使AM 平面QBC ,且QMQB的值是1418 .解：(i)设函数 F(x) f x g xxex aex a.当 a1 时，F (x)xex ex 1 ，所以 F'(x) xex .所以x (，0) 时，F '(x) 0 ； x(0，) 时， F'(x) 0.所以 F (x) 在 (，0)上单

14、调递减，在(0，) 上单调递增.所以当x 0时，F(x)取得最小值F(0) 0.所以 F(x) 0,即 f(x) g(x) . 4分(n)当 a 1 时，F '(x) (x a 1)ex,令 F'(x)0 ，即(xa 1)ex0，解得xa1 ；令 F'(x)0 ，即(xa 1)ex0，解得xa1.所以F (x)在 (， a1) 上单调递减，在(a1，) 上单调递增.所以当x a 1时，F(x)取得极小值，即 F(a 1) a ea 1. 6分令 h(a) a ea 1 ，则 h'(a) 1 ea 1 .因为a 1 ,所以h'(a) 0.所以h(a)在(1

15、,)上单调递减.所以 h(a) h(1) 0 . 所以 F(a 1) 0.又因为 F(a) a 0 ，所以 F(x) 在区间 (a 1,a) 上存在一个零点 .所以在a 1,)上存在唯一的零点. 10分又因为 F (x) 在区间 ( ,a 1) 上单调递减，且 F (0) 0 ，所以F(x)在区间(,a 1)上存在唯一的零点 0. 12分所以函数h(x)有且仅有两个零点，即使 f (x) g(x)成立的x的个数是两个.分 1319.解：(I)因为椭圆的焦点在 x轴上，AB.3一222 一 2所以由a b c ,得a 4.所以椭圆C的标准方程是v21.(n)设点P的坐标为Xo,yo,所以Q的坐标

16、为Xo ,yo因为M , N分别是OPBP的中点,所以M点的坐标为Xoy。2N点的坐标为Xoy。12所以直线AD的方程为y。V x。1.2代入椭圆方程41中，整理得2x。y。 28xoyo2x0.所以8xo 2 y02x0y。所以y。2x。所以的坐标为所以kQN2x。4 y。2 一25 4y。2x。2y。5 4y。2x0 2y04y°22y04y035 4y。22y04y035 4y°10y。12x。22y。24y°V。x0y。3x0又kQD5 4y。V。2x。2 y。x。5 4y。y。13x0所以D , N , Q三点共线.13anan 1an ,20.解：(i

17、)因为 an+1an 2 an+1 ,所以an+ianan 2an2an+ianq2 an 2anqan q2 1 2q2an q 12因为 ，公比 ，且 ，所以an 0, q 10.所以 an q 1 2 0.所以等比数列 an为凸数列.分（n）因为数列an为凸数列,所以am 1am=am 1am , am 2 am 1am , am 3am 2am 1am ,am n m am n m 1am 1am.叠加得 an am (n m) am 1 am所以mam1 am.n m同理可证amakam 1am.综上所述,an amam akam 1 amn mm k因为annam mamak所以（m k）an(k m)am(n m)am (m n)a.所以（m k）an(n m)ak (n k)am.令 k 1, m 1 * (n m)an 1 am.m 1所以am二an若Qan ,则 amm1anznm)a11m 1Jm、)an 1ann1( nn1 n( n若a1an ,则 amm1znm、cm1Jm、n1an( n闰1na1 1(