同济高等数学公式大全.

1、高等数学公式导数公式：21(tgx)sec x(arcsin x)x21(ctgx )csc2 x(arccosx)1(sec x)secx tgx1x2(csc x)cscx ctgx1(ax)axln a(arctgx )21 x(log a x)1(arcctgx )1xln ax21基本积分表：三角函数的有理式积分：tgxdxln cos xCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1 arctg xCc

2、scxctgxdxcsc xCa22xxaaa xdxaCdx1xaCln ax2a2ln2axashxdxchxCa2dx1 ln axCchxdxshxCx22aaxdxx2arcsin xCdxa2ln( xx2a 2 )Ca2ax 22sin n xdx2cosnn1I nxdxI n200nx2a2 dxxx2a2a 2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a 2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a2u1u2，x， dx2dusinx2，cosx2u tg21 u1u21 u一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦 : shxexe x

3、2lim sin x1x 0xexe x双曲余弦 : chx2双曲正切 : thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xlim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxx三角函数公式：·诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°

4、;-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22sinsin2cossintg ()tgtg1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2sinsin22·倍角公式：sin 22 sincoscos22cos211 2 sin 2cos2sin

5、 2sin33sin4 sin3ctg 2ctg 21cos34cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1 cos1cossin1 cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a 2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函数性质： arcsin x2arccos xarctgx2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：n(uv)( n )Cnku ( n k

6、) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1) u (n2) vn(n1) (nk 1) u( nk) v(k )uv( n )2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b) f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F ( a)F ()当F( x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；：M M弧长。KssM 点的曲率： Klimdy.sds2s 0(1 y)3直线： K0;半径为 的圆：1aK.a定积分的近似计算：b

7、ba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 n( y0a2bba ( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn2 ) 4( y1y3yn 1 )a3n定积分应用相关公式：功： WF s水压力： Fp A引力： Fk m1m2,k为引力系数r 2函数的平均值：1bf (x)dxyba a1b均方根：f 2 (t) dtb a a空间解析几何和向量代数：空间 点的距离：d M 1M 2(x2x1)2( y2y1 )2( z2 z1 )22向量在轴上的投影：Pr j u ABAB cos ,是 与 轴的夹角。ABuPr

8、j u (a1a2 )Pr ja1Pr j a2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosaxbx ay byazbz2ay22222axazbxbybzijkc a baxayaz , cab sin.例：线速度： vw r .bxbybzaxa yaz向量的混合积：(ab ) cbxbybza bc cos,为锐角时， ab ccxcycz代表平行六面体的体积 。平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03

9、、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： d空间直线的方程： x x0y y0z z0mnp二次曲面：Ax0By0Cz0DA2B2C2xx0mtt,其中 s m, n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y2z21a2b2c2、抛物面： x2y 2（同号）22qz,p, q2 p3、双曲面：单叶双曲面： x2y2z21a2b2c2双叶双曲面： x2y2z2（马鞍面）a2b2c 21多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：z dzf x ( x, y)xf y (x, y)y多元复合函数的

10、求导法：zf u(t ), v(t)dzzuzdtutvzf u(x, y), v( x, y)zzuxux当 uu( x, y)， vv( x, y)时，duuudvvdxdydxxyx隐函数的求导公式：隐函数 F ( x, y)0，dyFx ，dxFy隐函数 F ( x, y, z)0， zFx ，xFzvtzvvdyyd 2 y dx 2zyvx(Fx )(Fx ) dyxFyyFydxFyFzF (x, y,u, v)0(F,G)FFFuFvuv隐函数方程组：0JGGGuGvG(x, y,u, v)(u,v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,

11、G)v1(F ,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t )处的切线方程：x x0y y0zz0空间曲线y(t )在点M (x0, y0, z0 )(t0 )(t0 )z(t)(t 0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( x x0 )(t0 )( y y0 )(t 0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx,则切向量 T,G( x, y, z) 0GyG z GzG x Gx曲面F ( x, y, z) 0上一点M ( x0, y0，则：, z0 )、过此点的法向量：n Fx(x0 , y0 , z0 ), Fy (

12、x0, y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 )1、过此点的切平面方程 ：Fx ( x0, y0 , z0 )( x x0 ) Fy( x0 , y0 , z0 )( y y0 )2、过此点的法线方程：xx0yy0zz03Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：Fy G yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0函数zf ( x, y)在一点沿任一方向的方向导数为： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 为 轴到方向的转角。xl函数zf ( x, y)在一点的梯

13、度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它与方向导数的关系是 ：f，其中e cosisin j，为方向上的grad f (x, y) ell单位向量。f 是 gradf ( x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0, y 0 )f y ( x0 , y0 )，令：f xx ( x0, y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y 0 ) C0ACB2时， A0 , ( x0 , y 0 )为极大值00 , ( x0 , y0 )为极小值B 2A则： AC0时，无极值ACB2时不确定0 ,重积分及其应用：f (

14、 x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDDz2z2曲面 zf ( x, y)的面积 A1dxdyxyDM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：xD,yDM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy 2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), ( a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fx f( x, y) xd3 ，Fyf( x, y) ydFzfa( x, y) xd3，3D ( x2y2a 2 ) 2D

15、( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z)rdrddz,zz其中： F (r , , z)f (r cos, r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos)r 2 sin2r ( , )r 2 sinf (x, y, z)dxdydzF ( r , ,drddddF (r , ,dr000重心：x1x dv,1ydv,z1，其中MxdvyMz dvMM转动惯量：I x( y22，I y(

16、x22，I z( x2y2) dvz) dvz) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：设f (x, y)在L上连续， L的参数方程为： x(t) ,(t),则：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t)2 (t )2 (t )dt()特殊情况：xty(t )L第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 L 的参数方程为x( t ) ，则：y( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P ( t ),( t )( t )Q (t ),( t )( t ) dtL两类曲线积分之间的关系： PdxQdy( P cosQ cos ) ds，其中和分别为LLL

17、上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL当 Py , Qx ，即：QP2 时，得到D 的面积：Adxdy1xdyydxxy2 LD平面上曲线积分与路径无关的条件：·1、 G 是一个单连通区域；2、 P ( x , y )， Q ( x , y )在 G 内具有一阶连续偏导数，且Q P 。注意奇点，如( 0,0)，应xy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：·在Q P 时， PdxQdy 才是二元函数u ( x , y )的全微分，其中：xy( x , y )u (

18、x , y )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy，通常设x 0y 00。( x 0 , y 0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsf x, y , z( x, y )1zx2 ( x, y )zy2 ( x , y) dxdyD xy对坐标的曲面积分：P ( x, y, z) dydzQ ( x, y , z)dzdx，其中：R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正号；R x, y , z( x, y) dxdyD xyP( x, y, z) dydz，取曲面的前侧时取正号；P x ( y, z), y

19、 , zdydzD yzQ( x, y, z) dzdx，取曲面的右侧时取正号。Q x, y( z, x ), zdzdxD zx两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) ds高斯公式：( PQR ) dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos ) dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： divPQR ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0, 则为消失 .xyz通量： AndsAn ds(P cosQ cosR cos)ds，因此，高斯公式又可写成：div AdvAn ds斯托克斯公式曲线积分与曲面积

20、分的关系：( RQ )dydz( PR )dzdx( QP ) dxdyPdxQdy Rdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件： RQ ， PR ， QPyzzxxyijk旋度： rotAyzxPQR向量场沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzA t dsA常数项级数：等比数列：1qq 2q n11q n1q等差数列：123n( n1)n2调和级数：1111 是发散的23n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛1设：limn u n ，则1时，级数发散n时，不确定12、

21、比值审敛法：时，级数收敛U n 11设：lim，则时，级数发散U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u 2u n; limsn 存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4或u1 u2 u3的审敛法 莱布尼兹定理：(,un 0)如果交错级数满足unun1 ，那么级数收敛且其和 su1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。lim un0n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u 2u n，其中 un 为任意实数；(2) u1u 2u 3u n如果收敛，则肯定收敛，且称为绝对收敛级数；( 2)(1)如果发散，而(1)收敛，则称为条件收敛级数。( 2)(1)调和级数：1( 1) n收敛；发散

22、，而nn级数：1收敛；n 2p级数：1 时发散npp时收敛1幂级数：x1时，收敛于11 x23xn1xx xx1时，发散对于级数 ( 3) a0a1 xa2 x 2an xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使xR时发散 ，其中 R称为收敛半径。xR时不定10时， R求收敛半径的方法：设lim an 1，其中 an， an1是 (3)的系数，则0时， Rnan时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x )f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f ( n ) ( x 0 ) ( xx0 ) nf ( n1)( )

23、2!n!余项：Rnx0 )n 1可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn0( x, f ( x )(n1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f ( x)f (0)f ( 0) xf( 0) x 2f( n ) ( 0) x n2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1m xm( m1) x 2m(m1)(mn1) x n(1 x 1)2!n!sin x xx3x 5( 1) n 1x 2 n 1(x)3!5!(2 n1)!欧拉公式：eixeeixcos x i sin xcos x2或eeixsin x2ixix三角级数：f (t ) A0An sin( nta 0( a n cos nxb n sin nx )n )n 12n 1其中， a0aA 0， a nAn sinn， b nAn cos n ，t x。正交性： 1,sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 xsin nx , cos nx任意两个不同项的乘积在 ,上的积分。0傅立叶级数：f ( x )a0( a ncos nx b n sin，周期22n 1nx )a n1f ( x ) cos nxdx( n0,1,2)其中1b nf ( x )sin nxdx(n 1,2 ,3)11211121