【2020-2021自招】浙江省杭州学军中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

1、共4套试卷，含150分的模拟数学试卷占4套，对参加自主招 生的学生有一定的指导意义和辅助作用.但不是决定性的作用，祝大家考试顺利.第一套：满分150分2020-2021 年浙江省杭州学军中学初升高自主招生数学模拟卷小题，满分 ABC中，Dk ECM MA=1 2,）BDx的一元二次方DE EC=3m有实数根一.选择题（共81. （6分）如图，2: 1, M在AC边上,则 BH HG GM=（A. 3: 2: 1C. 25: 12: 52. （6分）若关于8分）吉BC边上白点，BDBg AQ AE 于 H,.5: 3: 1.51: 24: 101 （ x-2） （x-3）X1,X2,且 X1#X

2、2,有下列结论：X1=2, X2=3； m> 1;4二次函数y= （x-xO （x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2,0）和（3, 0）.其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33. （6分）已知长方形的面积为20cmt设该长方形一边长为ycm, 另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是（）4. （6分）如图，在平面直角坐标系中，O O的半径为1,则直线y x/与。的位置关系是（）A.相离B.相切C .相交D .以上三种情况都有可能5. （6分）若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径是r,则内切圆的面积与三角形面积之比是（）6. （6分）如图，RtAABC, BC

3、=6, / ACB=90 , / A=30 ,D是斜边AB的中点，过D作DEiAC于Ei,连结BE交CD于D;过作DEAC于巳连结BE交CD于C3;过D3作RELAC于曰，,如此继续，可以依次得到点 巳、E、巳。13,分别记ABCE、 BC区 zBCE、BCE013的面积为 S、3、&、S2013,则46718。13的大小为（）A. 3 43B. 6 .3C. 3 .3D.100201310077. （6分）抛物线y=ax2与直线x=1, x=2, y=1, y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）D-ba<2A.看WaW1B. _WaW2 C . hwaw 18.

4、（6分）如图，矩形ABCD勺面积为5,它的两cC：形ABQO,平行四边形ABCO的对角线交BD于点02,同样以AR AO条对角线交于点O,以AB, AO为两邻边作平行四边为两邻边作平行四边形ABO.，依此类推，则平行四边形ABG09Q009的面积为（）5_2_1_A.25nB.1C.31nD.二.填空题：（每题7分，满分42分）9. （7分）方程组百+将五二2的解是.Ix+v=2610. （7分）若对任意实数x不等式ax> b都成立，那么a, b的取值范围为11. （7分）如图，圆锥的母线长是3,底面半径是 是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到 的最短的路线长是.12. （7分

5、）有一张矩形纸片 ABCD AD=9 AB=1Z将纸片折叠使 AC两点重合，那么折痕长是.13. （7分）设-1WxW2,则|x - 2| -幼x|+|x+2|的最大值与最小 值之差为14. （7分）两个反比例函数y", y=|在第一象限内的图象如图所下.点R, P2, P3、P2007在反比伤J函数yf 上，它们的横坐标分别为X1、X2、X3、X2007 ,纵坐标分别是1, 3, 5共2007个连续奇数，过P1,的图象交点依次为QP2,P3、P2007分别作y轴的平行线，与(Xi' , yi )、Q (X2' , y )、Q2(X20O7' ,y2007 &

6、#39;),则|P 2007Q0071三.解答题：(每天12分，满分60分)15. (12分).已知正实数x, y,z满足：xy yz zx 1，且(x2 i)(y2 i) (y2 i)(z2 1) (z2 i)(x2 1) 4xyyzzx求工工的值.xy yz zx(2)证明：9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).16. （12分）如图， ABC是等腰直角三角形，CA CB,点N在线段AB上（与A、B不重合），点M 在射线BA上，且 NCM 45。求证：22_2MN AM BN 。17. (12分)在。与21之间插入n个正整数切，a2,，为，使其 满足0 ai a2

7、 L % 21。若1, 2, 3,，21这21个正整数都可以 表示为0,为，a2,，%, 21这n 2个数中某两个数的差。求n的 最小值。18. (12分)如图，已知BC是半圆。的直径，BC=8过线段BO上 一动点D,彳ADL BC交半圆。于点A,联结AQ过点B作BHL AQ 垂足为点H, BH的延长线交半圆O于点F.(1)求证：AH=BD(2)设BD=x BE? BF=y,求y关于x的函数关系式；(3)如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G当FAE与 FBGt目似时，求BD的长度.国1割19. (12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A (3,0)、B (0, m) (r

8、r>0), tan / BAO=2(1)求直线AB的表达式；(2)反比例函数y上的图象与直线AB交于第一象限内的C D两点(BD： B。，当 AD=2DB寸，求 ki 的值；(3)设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点 M,交反比例函数y上的图象于点F,分别联结OE OF当OE%AOBE x时，请直接写出满足条件的所有 k2的值.Q 2 x第一套：满分150分2020-2021年浙江省杭州学军中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1 .【解答】解：连接EMCE CD=CMCA=1 3 EMff行于 AD .BHABME ACEIVbACDA.HD ME=BDBE=3

9、 5, ME AD=CMAC=1 3 .AH=(3-§) ME 5.AH ME=12 5 .HG GM=AHEM=12 5设 GM=5k GH=12k BH HM=3 2=BH 17k . BH=-K, BH HG G吟k: 12k: 5k=51: 24: 10故选D.2.【答案】Co解答：一元二次方程实数根分别为 XI、X2, .Xi=2, X2=3,只有在m=0时才能成立，故结论错误。一元二次方程(x-2) (x 3) =m化为一般形式得：x2-5x + 6 m=0方程有两个不相等的实数根 XI、X2 =b24ac= ( 5) 2 4 (6m) =4m 1>0,解得：m&g

10、t; -故结论正确。二一元二次方程x25x+6 m=0实数根分别为Xi、X2,.Xi + X2=5, xiX2=6 m/二次函数 y= (x x-)(x X2) +m=X一 (x +、22X2) x + xiX2 + m=x5x+ (6 n) +m=x5x + 6= (x 2) (x 3)。令 y=0,即(x 2) (x3) =0,解得：x=2 或 3。.抛物线与x轴的交点为(2, 0)或(3, 0),故结论正确。综上所述，正确的结论有2个：。故选G3 .【答案】B。【分析】:根据题意，得xy=20, y=20 x>0, y>0 。故选Bo4 .【答案】B。【分析】如图，在y x隹

11、中，令x=0,则y=- V2 ；令y=0,则x=.A(0,0)，B( 72,0)。OA=OB=.AO提等腰直角三角形。AB=2过点。作 ODLAB,贝U OD=BD=AB=1 X2=1。22又。的半径为1, 圆心到直线的距离等于半径。直线y=x- 2与。相切。故选B。5 .【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条 直角边是a, b.则直角三角形的面积是 凡产工；又直角三角形内切 圆的半径=己+丁,则a+b=2r+c,所以直角三角形的面积是r (r+c); 因为内切圆的面积是兀r2,则它们的比是三.c+r【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a, b,则有：e-a+b+c2工,

12、又二叱_/,. a+b=2r+c,将 a+b=2r+c 代入 S=,+、得:S=r2c r=r (r+c).又内切圆的面积是兀r2, .它们的比是早.故选B.CTE【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键.6 .解 解：.RtzABC中，BC=代 A ACB=90 , / A=30 , 答: ACqiBC=6 SaABc=fAC? BC=61；， .DEAG . DEi/ BG .BDEi与ACDEi同底同高，面积相等，.D是斜边AB的中点,DEi=1BG CEfQSi=-bc? ceb

13、o，ac=x Jac? bc=Saabc；2222 22在4ACB中，D2为其重心,DEiTBE,3，ABC)DEBG CE-AC； &具xlx AC? BC=Sa ：； J.QE/BG CE=-AC S3S"bc.Sn=一$ ABC；n41.03=6"f :.故选C.7 .【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A (1, 2), B (2, 1),8 .解 解：矩形ABCD勺对角线互相平分，面积为5, 答：.平行四边形ABCO的面积为兴平行四边形ABCO的对角线互相平分，平行四边形ABC的面积为白净，依此类推，平行四边形

14、ABG09Q009的面积为f盆.故选B.q 二 W U V二、填空题9 .【分析】根据式子特点，设 x+1=a, y-1=b,然后利用换元法 将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组 解答.【解答】解：设x+1=a, y-1=b,则原方程可变为我十五二2，I a+b=2&<2）由式又可变化为：；"'''=26,把式代入得（皆让+/）=13,这又可以变形为（V+/b）2-313，再代入又得-3-1=9,解得 ab=- 27,又因为a+b=26,所以解这个方程组得或卜7 ,于是（1）尸/，解得富干；Lv-1=-1（V=C尸：解得

15、卜丁.厂1 : 271y=28Xn=-2y2=2S .【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成 有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握.10 .【分析】分a=0, a# 0两种情况分析.【解答】解：.如果a?0,不论a大于还是小于0,对任意实数x不 等式ax >b都成立是不可能的,a=0,贝U左边式子ax=0,b<0 一定成立, .a, b的取值范围为a=0, b<0.【点评】本题是利用了反证法的思想11 .【分析】先根据-1WxW2,确定x-2与x+2的符号，在对x的 符号进行讨论即可.【解答】解：. 1<x<2, /.x-2<0,

16、x+2>0,x+x+2=4-yx;x+x+2=4+xL-l当 2AxA0 时，|x - 2| -x+x+2=2当一iwx<0 时，|x -2| x+x+2=2当x=0时，取得最大值为4, x=2时取得最小值，最小值为3,则最大值与最小值之差为1.故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值.解此类题的关再根据绝对键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性, 值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解.12 .【分析】要求出|P 2007Q2007的值，就要先求Qy2007 - P驴007|的值,因为纵坐标分别是1, 3, 5，共2007个连续奇数，其中第20

17、07个奇数是2X2007 1=4013,所以已007的坐标是(PX2007, 4013),那么可根据P点都在反比例函数y坐上，可求出此时Px2007的值，那么就能 得出R°07的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=!中即可求出Qy°°7的工值.那么|P 2007Q007| = |Qy 2007 - Py2007| ,由此可得出结果.【解答】解：由题意可知：B007的坐标是(PX2007, 4013) 又 Ro。？在 y=-上，二 PX2007='4013而 QX007 （即 Px2007）在 y二上，所以 Q乎007=-一 |P2007Q2007|=|P

18、y 2007 Qy2007|=|4013 40131|=40131 340132007故答案为:【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求 出P2007的横坐标，进而求出Q007的值，从而可得出所求的结果.13.【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从 A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题.【解答】解：二.图中扇形的弧长是2兀，根据弧长公式得到2兀_3兀口180n=120°即扇形的圆心角是120°.弧所对的弦长是2X3sin600 =3坞【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，

19、理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是 扇形的弧长.14.【分析】首先由勾股定理求出 AC的长，设AC的中点为E,折线 与AB交于F.然后求证 AEMABC出EF的长.【解答】解：如图，由勾股定理易得 AC=15设AC的中点为E,折线FG与AB交于F,（折线垂直平分对角线 AQ, AE=7.5./ AEF之 B=90 , / EAF是公共角，.AEM A ABC.里力归. AE AB 12.EF=2JL.折线长=2EF野.故答案为号.【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识八、三、解答题15.【解析】(i)解：由等式(x2 1)(y2 1)(y2 1)(z2 1)

20、 (z2 1)(x2 1) 4,xyyzzx去分母得 z(x2 1)( y2 1) x(y2 1(z2 1) y(z2 1)(x2 1) 4xyz ,2 222222 222222、x y z xy z x yzx(y z )y(z x )z(xy ) 3xyz(xyz)xyz0,xyz(xy yz zx) (xy z)(xyyz zx)(xy z) xyz0 ,xyz (x y z)(xyyz zx1) 0 , Qxyyz zx 1,xyyz zx10,xyz (x y z) 0, xyz x y z , 原式 =x-y-z 1. xyz(2)证明：由(1)得计算过程知xyz x y z,又

21、Qx,y,z为正实数，9(xy)( yz)(zx)8xyz(xy yz zx)9(xy)(yz)(zx)8(x y z)(xy yzzx)x( y2 z2) y(z2 x2) z(x2 y2) 6xyzx(y z)2 y(z x)2 z(x y)2 0. 9(x y)( y z)(z x) 8xyz(xy yz zx). 222_2 _2_ 2(x y)( yz)(zx) x yxyy z yzz xzx 2xyzx(y2z2)y(z2x2)z(x2y2) 2xyz222222(x yz)(xy yzzx)x y xyyz yz z xzx3xyz2222x(y z ) y(z x ),22、

22、z(x y ) 3xyz 116.【答案】如图，作点A关于直线MC的对 称点D ,连结DA、DM、DC , DN ,则 MDC 9A MAC 。ABC 是等腰直角三角形，CA CB ，且 NCM 45DCN DCM MCA ACN DCM 45 ,BCN BCA NCA 90(45 MCA) 45 MCA 45 DCM 。DCNBCN 。又 CD CACB ， CNCN 。ADCNBCN oND NB , CDN CBN 45 。又由 AMDCMAC ,知CDM CAM 180CAB 180 45 135 。MDN MDCNDC 135 45 90 o MD DN。又 MD MA,. MN 2

23、 DM 2 DN 2 AM 2 BN 2 o另解：如图， CBN沿CN翻折得 ACDN ,贝U ADCNBCN。BCN 。CD CB CA ， DN BN ， CDN CBN 45 ， DCNNCM 45 ，DCM DCN MCN BCN 4590 ACN 4545 ACN ACM 。又 CD CA ， CM CM 。/. ADCM ACM 。MA MD ， CDMCAM 135 ， MDNCDM NDC 90 。MN 2 DM 2 DN 2 AM 2 BN 2 。17.【 解 答 】n2个数至多可以表示(n 1) n (n 1) L 2 1 (n 1, 2)个不同的且为正数的差。 依题意有，

24、(n 1：n 2) 21,即(n 5)(n 8) 0。n 5。下面证明n 5不符合要求。若n 5符合要求，则由n 5时，(n 1/ 2) 21知，由0, a1 , a2, a3, a4，as, 21这7个数两两之差(大数减去小数)所得的下列 21个数:a，,a1, a3a1 , a，a1 , a5 a1 , 21a3a2 ,a，a2?a5a2 521a2,a4a3,a5a3, 21a3,a5a，21a，21a5互不相同。于是它们是1, 2, 3,，21的一个排列。记这21个数的和为S ,则S (s1 5a1) (2a2 4a2) (3a3 3a3) a，2a，)(5a5 a5) 6 214al

25、 2a2 2a，4a5 6 21。可见 S为偶数。另一方面，S 1 2 3 L 21红卢 231为奇数，与S为偶数矛 盾。 n 5不符合要求。n 6符合要求。如插入2, 5, 8, 12, 19, 20。(不唯一)可以验证：用0, 2, 5, 8, 12, 19, 20, 21这8个数中某两个数的差可以表示1, 2, 3,，21中任意一个数。5 5 0,6 8 2,19 8, 12 20 8 ,18 20 2 ,(1 21 20 , 2 21 19, 3 8 5 ,，12 8,7 19 12 , 8 20 12 , 9 21 12 , 10 12 2 , 1113 21 8, 14 19 5,

26、 15 20 5 , 1619 19 0, 20 20 0, 2121 0。)可见n的最小值为6。18.【分析】(1)由ADL BG BH AQ利用垂直的定义得到一对直角 相等，再由一对公共角，且半径相等，利用 AAS导至后角形ADOW三 角形BH集等，利用全等三角形对应边相等得到 OH=OD利用等式的 性质化简即可得证；(2)连接AR AF,如图1所示，利用HL得到直角三角形ADBW直 角三角形BHAr等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等， 再 由公共角相等得到三角形 ABEW三角形AFBt目似，由相似得比例即可 确定出y与x的函数解析式；(3)连接0石如图2所示，利用两对角相等的三角

27、形相似得到三角 形AFg三角形FOG目似，由相似得比例求出BD的长即可.【解答】(1)证明：: ADL BC BHHL AQ. / ADO= BHO=90 ,在 AADOW BHOKrZ AD0=ZBH0，Zaod=Zboh, t OA=OB.ADO2 ABH(O (AAS,OH=O D又. OAuOBAH=Blp(2)解：连接AB AF,如图1所示，.AO半径，AOL弦 BF, AB=AF/ABF之 AFB在 RtAADBW RtBHA中，产BD'心EA，/. RtAADBRtABH/A(HD, / ABF之 BAD/ BADh AFB又/ ABFh EBA/.A BEM ABA5

28、' -：.邺盥.BA即' .BA=BB bf,. BE? BF=y, y=BA, . /ADO= ADB=90 , .aD=aO- DO, AE2=A戌-B* . aO- DO=A百-Bfj, 直径 BC=8 BD=x . AB=8x,贝U y=8x (0<x<4);方法二：: BE? BF=y, BF=2BH BB BH*y，riL-a.BE A BOH.型也.OB BHOQB BD=BE BH, 4x=y,y=8x (0<x<4);(3)解：连接OF如图2所示,/GFBM公共角，/ FAE> /G./FA8 4FBG时，/AEF之 G,/ BH

29、Ah ADO=90 , / AEF吆 DAO=90 , / AOD + DAO=90 ,/AEF之 AOD/ G=/ AOD/. AG=AO=4/ AOD = AOF/ G=/AOF又/ GF系公共角，.FAS zFOG.眸OF FG '. AB=8x, AB=AF .AF=2 x,.今=,| 44+2V2i解得：x=3 士 e, 3+V5>4,舍去, .BD=3-V119.【分析】(1)先通过解直角三角形求得 A的坐标，然后根据待定 系数法即可求得直线AB的解析式；(2)作DE/ OA根据题意得出 界吗求得DE即D的横坐标, OA AB |3代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据

30、反比例函数图象上点的坐标 特征即可求得匕；(3)根据勾股定理求得AB OE进一步求得BE然后根据相似三角 形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据 反比例函数图象上点的坐标特征即可求得 k2.【解答】解：(1) . A (3, 0)、B (0, m) (m>0),.OA=3 OB=m. tan/BA盛=2, OAm=6设直线AB的解析式为y=kx+b,代入 A (3, 0)、B (0, 6)得：解得：解6, k=- 2直线AB的解析式为y=-2x+6;(2)如图 1, v AD=2DB四AB 3 '作 DE/ OA三二OA AB 3DE=OA=1.D的横坐标

31、为1,代入 y= - 2x+6 得,y=4,D (1, 4),ki=ix 4=4;(3)如图 2, v A (3, 0), B (0, 6),.上(丁，3), AB= ；丁|、- 一二3 二，.OE是RtzOAEM边上的中线,. OE=AB2二通，BE二%'1 5.EMLx 轴，.F的横坐标为三IOEM A OBE.里口BE OB '法一 3 厂二 6，e EF=8 ，1 £ qFM=3-月-胃.8 o第二套：满分150分2020-2021年浙江省杭州学军中学初升高自主招生数学模拟卷一.选择题（每小题 6分，满分48分）1. （6分）如图，在锐角 ABC, AB=66

32、 /BAC=45 , / BAC勺平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动 点，则BM+MIN）最小值是（）A. 6 2B.6 C.3 2D.32. （6分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支， 练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购车&笔4支，练习本8本， 圆珠笔2支共需4.2元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A. 1.2 元 B . 1.05 元 C . 0.95 元 D . 0.9 元3. （6 分） 已知 mn<0 且 1-m>1-n> 0> m+n+1 ,那么 n , m, - , n+1 n m的大小关系是（）A

33、111 1A. m<<n+< nB . m< n+< 一 <nnmm nC.n+ < m< n< D.11m< n+ < n< mn4. （6分）如图，在 ABC中/A=60° , BMLAC于点M CNL AB于点N, P为BC边的中点，连接PMPN,则下列2论：PM=PN二黎嘲；PMNfe等边三角形；当/ ABC=45时，BN= - PC其中正确的个数是（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5. （6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABOC）顶 点。在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，/ BOC

34、60 , 顶点C的坐标为（m 3向），反比例函数y K的图像与菱形对 x角线AO交于D点，连接BD当BDL x轴时，k的值是（）A. 6、3 B. 6 3 C. 12.3 D. 12 36. （6 分）如图，RtAABO, /ACB= 90o , AC= 3, BC= 4,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将 边BC& CF翻折，使点B落在CD勺延长线上的点B' 处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B' F的长为（）A.B.C.a+3x>07. （6分）已知关于X的不等式组2a 2xF恰有3个整数解，则a的取值范围是（A.2.332324&

35、lt;a<3328. （6分）正方形 ABCD正方形BEFCJ口正方形RKPF位置如图所示，点G在线段DK±,正方形BEFG1长为4,则 DEK勺面积为（）A.10B.12C.14D.16.填空题（每小题 7分，满分42分）9. （7分）若直线y = mi （m为常数）与函数y =x2 （x<2）4的图像恒有三个不同的交点，则常数m一（x>2） x的取值范围是。10. （7分）如图，四边形ABC虚矩形，A, B两点在x轴的正半轴上，C, D两点在抛物线y x2 6x上，设OA=m0< m< 3）, 矩形ABCD勺周长为l ,则l与m的函数解析式为 11.

36、 （7分）已知3, a, 4, b, 5这五个数据，其中a, b是方程x2 -3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是 .12. （7分）若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为13. （7分）有五张正面分别标有数0, 1, 2, 3, 4, 5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a则使关于x的方程工+2=5有正整数解的概率为14. (7 分)已知：对于正整数 n ,(n + 1)'' n + njn+ 1 Vn w' n+ 1，若某个正整数k满足:. -,贝1J k二

37、2-1 + 1、2 3.2+2 3 4,3+3 4(k+1)k + k. k+1 3.解答题(每题12分，满分60分)15. (12分)如图，在等腰 ABC中，AB AC 店D为BC边上异于 中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.16. (12分)已知抛物线y x2与动直线y (2t 1)x c有公共点(x/), (X2,y2),且 Xi2 X2 t2 2t 3.(1)求实数t的取值范围；(2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.17. (12分)如图，在每一个四边形 ABCB, 士有AD/ BQ CDhBQ /ABC=60

38、 , AD=8 BC=12(1)如图，点M是四边形ABCDa AD上的一点，则 BMC勺面积(2)如图，点N是四边形ABCDi AD上的任意一点，请你求出BNCW长的最小值；(3)如图，在四边形ABCD勺边AD上，是否存在一点P,使得cos /BPC的值最小？若存在，求出此时 cos/BPC的值；若不存在，请 说明理由.图圈图18. (12分)已知：半圆 O的直径AB=4点C在半圆。上，且tanZ ABC=22，点D为弧AC上一点，联结 DC (如图)(1)求BC的长；(2)若射线DC交射线AB于点M且MBCfMOC!似，求CD的长；(3)联结OD当OD/ BC时，作/ DOB勺平分线交线段D

39、C于点N,19. (12分)如图，已知二次函数 y=x2+bx+c (b, c为常数)的图象经过点A (3, - 1),点C (0, -4),顶点为点M过点A作AB/ x 轴，交y轴与点D,交该二次函数图象于点 B,连结BC(1)求该二次函数的解析式及点 M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移 m (m>0)个单位，使平移后得 到的二次函数图象的顶点落在 ABC的内部(不包含 ABC的边界)， 求m的取值范围；(3)点P时直线AC上的动点，若点 巳点C,点M所构成的三角形 与BCD®似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写第二套：满分150分2020-2021年浙

40、江省杭州学军中学初升高 自主招生数学模拟卷答案解析一、选择题1.解解：如图，作BHLAQ垂足为H,交AD于M点，过M点作Mf N' XAB,答： 为N； 则BM +M N'为所求的最小值. .AD是/ BAC勺平分线， .M' H=M N', .BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段 . AB=4 /BAC=45 ,. BH=AB sin45 =6X g=3/j. BM+MN）最小值是 BM +M N' =BM +M H=BH=3s.故选C2 .【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x,v,z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x

41、+y+z的值.【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x, y, z 元,根据题意得,-得 x+y+z=1.05 （元）.故选：B.【点评】解答此题关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想.3 .解：. miK 0, . nrj n 异号，由 1 - m> 1 - n>0>n+m+1,可知 m< n, m+n< - 1, m<0, 0c n<1,|m| >|n| , |m| >2,n+- =0.2 = m420假设符合条件的m=- 4, n=0.2则1=5, n则-4< -2 <0.2 <5 故 m&l

42、t; n+-<n< .故选：D. 20m n4 .解 解：; B皿AC于点M ChLAB于点N, P为BC边的中点,二 BQ答：.PM=BQ PN .PM=PN 正确；在 ABMW ACN4 . /A=/ A, /AMB=ANC=90 , .ABMT AACN正确;. /A=60 , BMLAC于点 M CNL AB于点 N, /ABMN ACN=30 ,在 AABC 中，/ BCN廿 CBW180 - 60 - 30 X 2=60 ,.点 P是 BC的中点，BML AC C2AB, . PM=PN=PB=PC . / BPN=Z BCIN / CPM=2 CBIM /BPN吆 C

43、PM=2（/BCN+CBM =2X60 =120 , ./ MPN=60 , .PMf等边三角形，正确；当/ ABC=45 时，: CNL AB于点 N, . / BNC=90 , / BCN=45 , . BN=CN .P为BC边的中点， PNL BQ BPNfe等腰直角三角形 . BN= :?PB=PG 正确.故选D5 .【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值 【分析】如答图，A仅y轴于点H,则CHLp轴./ BOC60 , ./ COH30 ,点C的坐标为（切3万） 一：.3J3四边形 ABOCI菱形，" =6 ,

44、 Z BOD30Ji . . BDLx 轴，. RD二CR7C'D" 二 6"S .二点D的坐标为(-6. 275).丁点D在反比例函数y的图像上，.(_6)6 = -12& .故选D.【考点】翻折变换(折叠问题)；折叠的性质；等腰直角三角形的 判定和性质；勾股定理.6.【分析】根据折叠的性质可知O)=/IC=i 斤=*=4 Z/CE=ZfXE ZHCF5(F 0期，"1一：-.，水 ； m 41CB 二 901ZECF = 45° . . VECF 是等腰 直角三 角形.：.-二:二. Z5EC = NZ?FC = 135*./*口 =

45、 90，/ S. ilti.=- AC-BC = - AH CE , J. AC AB CE .在取V相U中，根据勾股定理，得AB=5, . 3V = 5CE =E = ? . .5在4VIET中，根据勾股定理，得二4, ：.ED = AE = -.55丁； -，。一：.在放守尸。中，根据勾股定理，得二胸涔二淳=.故 选B.7解：由于不等式组有解，则得“要必定有整数解0 > -养.三个整数解不可能是-2, 1, 0.若三个整数解为-1, 0, 1,则不等式组无解;2<ya<3若三个整数解为0, 1, 2,则 9;1 1C -匕<0解得4waw3.故选：B. 328 .解

46、 解：如图，连 DR GE FK,贝U DB/ GE/ FK,答： 在梯形GDB叶，SJadg=SJageb （同底等高的两三角形面积相等），同理 S>agkE=& gfe,二S阴影 =&dg+Sx gke,=Sx ge+Sx GEF)=S正方形GBEF=4X4=16故选D.AS £二、填空题9 .【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】求l与m的函数解析式就是把 m当作已知量，求l ,先求AR 它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求 C点横 坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段 CD1勺长，用l=2 (AD+AB

47、,建立函数关系式:把x=m代入抛物线y x2 6x中，得AD= m2 6m ,把y= m2 6m代入抛物线y x2 6x中，得m2 6m x2 6x ,解得 xi=nrj x2=6mb .C的横坐标是 6m . . AB=6- m- m=6- 2m矩形的周长是 l 2 ( m2 6m) 2(6 2m)2m2 8m 12。10.【答案】0<m<2【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。m的取值x2 (x<2)【分析】分段函数y= 4 (的图象如右图 x,X )所示：故要使直线 y = m ( m为常数)与函数 y =x2 (x<2)4 /°、的图象恒有三个不同

48、的交点，常数一(x>211 .【分析】先解方程得到a, b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差.【解答】解：由方程x2 - 3x+2=0解方程的两个根是1, 2,即a=1, b=2故这组数据是3, 1, 4, 2, 5其平均数与(3+1+4+2+9 =35方差 S2=L (3 3) 2+ (1-3) 2+ (4 3) 2+ (23) 2+ (5 3) 2=2 5故五个数据的标准差是S=:二二故本题答案为：爽.【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：(1)计算数据的平均数M；(2)计算偏差，即每个数据与平均数的差；(3)计算偏差的平方和；(4)偏差的平

49、方和除以数据个数.标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数.12 .【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为。时，不管p取何 值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标.【解答】解：y=2x2- p x+4p+1 可化为 y=2x2p (x 4) +1,分析可得：当x=4时，y=33;且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点(4, 33).【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断.13.解:1+1+1+ +121 + 1,2 3.2+ 2.3 4.3+3 4 (k+1). k + k

50、. k+1.+!+，3,二，即1-3，4 22 22 33 33 + 瓶析 3 '<k+1 3 '.=1,解得k=8.故答案为：8. k + 1314.解：解分式方程得：x=2 , 2-a 分式方程的解为正整数， 二 2 - a > 0,a<2,. .a=0, 1, 分式方程的解为正整数，当a=1时，x=2不合题意，a=0, 使关于x的分式方程有正整数解的概率为1,6故答案为：1.6三、解答题15.【解析】如图，连接AE,ED,CF ,则Q AB AC, ABD ACBQ点C关于直线AD的对称点为点EBED BCF, AED ACD ACBABD AED, A

51、, E, B,D四点共圆， BEDBAD （同弧所对得圆周角相等）BAD BCF, A, B,F,C 四点共圆,AFB ACB ABDAB AF2 2AFB s abd, 一 一， AD AF AB 屈 5. AD AB（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）16.解：（1）联立y x2与y（2t l）x c,消去y得二次方程x2 (2t1)x c 0有实数根Xi ,x2,则Xix22t 1,X1X2c .所以12,2cX1X2- (X1X2)(X1221_22_x2)=-(2t 1

52、) (t 2t212=(3t2 6t 4). 23)把式代入方程得212x (2t 1)x (3t 6t 4)2t的取值应满足t2 2t 3Xi2x|>0,且方程有实数根，即22(2t 1)22(3t2 6t 4)=22t 8t 7 A 0,解不等式得t w -3或t n 1 ,解不等式得2 I2i2乌1.2段时是递增的,所以，t的取值范围为(2)由式知 c -(3t2 6t 4) -(t 1)2 22由于 c -(t 1)2 1在 2 <t< 2222所以，当 t 2，寸,Cmin 3(2 t 1)Y口. 2222417.【分析】(1)如图，过A作An BQ可得出四边形AE

53、CM矩 形，得到EC=AD BE=BG EG在直角三角形 ABE中，求出AE的长， 即为三角形BMC勺高，求出三角形BMC®积即可；(2)如图，作点C关于直线AD的对称点C',连接C' N, C' D, C B交 A叶点 N'，连接 CN ，贝U BN+NC=BN+NC BC =BN +CN , 可得出 BNC周长的最小值为 BN' C的周长=BN +CN +BC=BC +BG求出即可；(3)如图所示，存在点 巳 使得cos/BPC的值最小，作BC的中 垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR彳zBPC勺外接圆 O,圆O与直线PQ交于点N则PB=PC圆心O在PN上，根据AD与 BC平行，得至U圆O与AD相切，根据PQ=DC判断得至U PQ大于BQ 可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P',连接P' B, P' C, P' B交圆O于点M,连接M