数学史知识在初中数学教学中的初探

1、目 录1.赤字和负数22.话说有理数33.沾满鲜血的一个数34.“化圆为方”问题55.代数式历史发展的三步曲66.“一元一次方程”小史77.未知数与方程的解 88.自然数89.古人测量太阳高度的方法910.巧用等腰三角形知识，测金字塔的高1011.概率中的故事与故事中的概率1212.数学史中的二元一次方程式1413.中国的半符号代数-天元术和四元术1714.函数小史1815.“一元二次方程”小史2016.一元三次方程的故事2117.不定方程和韩信点兵2318.方程的历史2519.黄金分割2720.坐标系的由来2921.数学神童维纳的年龄3122.哥德巴赫猜想3223.韦达与根的判别式3424.

2、小欧拉智改羊圈3625.可用于与外星人交流的语言：勾股定理3826.数学世界三大难题4227.三次数学危机4428.数学之美4829.由博弈产生的概率5130. 不会考试的数学家埃尔米特52编者：吴志明 供学生阅读1.赤字和负数一个会计的会计簿中，有时会发现用红笔写的数字，这叫“赤字”，表示是会计付出的钱。一个国家，如果支出大于收入，那么也称为出现“赤字”。这种用不同颜色的数字来区别正数和负数的做法，最早是源于古代中国的。中国古代用算筹进行计算，称为筹算，这种算筹最初是用竹子制成的，长度大约1316cm，径约0.3cm，后来发现也有木、骨或金属制的算筹。用筹排出数码有纵横两种式样（如图所示）：

3、这与老式钟表上的西方常用的罗马数字的原理是一致的。多位数的排法是：个位、百位、万位上的数用纵式，十位、千位上的数字用横线，间隔着写，在最后一数上加一斜杠表示负数，如873190783和-873190783表示成如下图所示。这种筹算制度，早在秦汉以前就已形成，到了西汉末年（公元前1世纪），我国数学家们对先秦时期的数学成就就作了总结，写成了九章算术这篇数学古典名著。九章算术中的数学成就很多，其中的一项重要成就是肯定负数的存在，并且阐明了正负数加、减运算性质。九章算术中的“正负术”是这样的：“同名相符，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相符，同名相益，正无入正之，负无入负之。”如果用今天的符号

4、来表示，就是：正负数减法法则 （异名相益） （正无入负之） （负无入正之）正负数加法法则： （同名相益） （正无入正之） （负无入负之）至于正负数减法如何进行，三国时期的平民数学家刘徽在注九章算术时说：“今算得失相反，要令正负以名之，正酸赤，负算黑。否则以邪正为异。”这里明确指出：正数与负数是“得失相反”性质不同的数，和正数可以进行运算。运算时，用不同颜色的算筹来区别正、负数（虽然这里用红色表示正数），这在世界上是关于负数的最早记录。公元5世纪，东方另一个文明古国印度的早期数学家也承认“负数”是一种新的数，并在数字上加一个点来表示它。但当印度数学通过阿拉伯传入欧洲后，负数反而被当作“伪数”、“

5、假想数”、“不可能数”而排斥在数的家族之外。一直到了16世纪，著名数学家代数之父韦达存在负数的合法地位，甚至17世纪数学大师、哲学家解析几何的奠基人笛卡尔也没有认识负数的本质。欧洲直到1655年，英国数学家沃利斯在原来只有正轴的坐标系里引进了负的横、纵坐标轴，把负数与负轴上的点一一对应，这样才使负数取得了与正数的平等地位。纵观负数的历史，不能不钦佩中国古代数学家的远见卓识。2.话说有理数同学们对“有理数”这一名称有什么看法吗？它是不是比别的数更有理？事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国

6、在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。有理数的概念，相信起源于史前时期。古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，古希腊，古印度都有有理数理论研究的记载，中国九童算术中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。有理数概念的确立有两个重要的阶段：除法的建立，边长为1的正方形对角线不是有理数，前者标志着有理数正式的建立，后者标志

7、着人们终于明白了千万年以来研究的数据有的本质特征：两个整数的比。除法运算可以看作求解方程px=q（p0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。关于有理数系的严格理论，一切有理数所成之集记为Q。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。边长为1的正方形对角线的长是什么数？这对古希腊毕达格拉斯学派的人来说意味着什么吗？这意味着亵渎神灵，被驱逐出学派，经年被追杀和最后被扔进大海喂鱼。就因为这条对角线的长不能表示为两个整数的商。这使人类意识到有理数只是数的一部分。3.沾满鲜血的一个数西方理论数学的巨人鼻祖毕达哥拉斯，生于公元前560年爱琴海靠近小亚细亚

8、的萨摩斯岛（今土耳其西岸一个小岛），与中国的先圣孔子处于同一时代，他在哲学、数学、天文学、音乐理论方面有很深的造诣，更是西方理论数学的创始人，深得人们的崇敬。据说连浪花碰到老先生都会亲切地问候数学巨人：毕达哥拉斯，你好！从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯对人类作出最大贡献的莫过于直角三角形中的勾股定理（西方称之为毕达哥拉斯定理）：即以直角三角形两直角边为边长的正方形面积和等于斜边为边长的正方形面积。毕达哥拉斯最得意的弟子希巴斯正是在应用老师发现的最伟大的数学定理时发现，正方形的边长是1，它的对角线为，根据毕达哥拉斯定理，这

9、个与两条边之间的表示，应该有等式：，那么是多少呢？记为。是什么数呢？希巴斯用了很多时间，发现不是整数，也不是两个整数之比。这与老师倡导的万物皆数（这里的数指的是整数或整数比）的理论相抵触。于是他就登门向毕达哥拉斯请教。“什么？”毕达哥拉斯大吃一惊，“竟然有不是整数又不是整数之比的东西？”“是的！”希巴斯说，“我已经证明了这一点！”希巴斯证明不是两个整数的比的过程采用的是反证法。假设可以用两个整数之比来表示，虽然，那么必有一个不可约分数，使=，（为质的正整数），则，所以是偶数，也是偶数，设（为正整数）， ,所以，是偶数，也是偶数，这和、E矛盾。既不可约分数矛盾。因此假设不成立。所以不是两个整数的

10、比，那是什么数。希巴斯的论证极富逻辑性，无懈可击。毕达哥拉斯看过希巴斯的证明后，闷声不响，双手颤抖，额面上冒出汉珠。希巴斯连忙问：“怎么了老师，我做错了吗？”“你没有错！你你给我出去！”毕达哥拉斯神态异常，挥手让希巴斯出去。希巴斯不解地看着老师，迈步出门。刚要关上门，毕达哥拉斯又突然喊到：“回来！” 希巴斯又走回来。毕达哥拉斯口气十分严肃地说：“你给我保证！这事不许外传，除了你除了我，不许让第三个人知道！”“为什么？”“不为什么！这是我的规矩，懂吗？”希巴斯狐疑地点点头，告辞走了。出现一个小小的，毕达哥拉斯为什么令他惊恐不安呢？我们知道，是无理数，是不能表示为分数的数，尽管当时毕达哥拉斯大名鼎

11、鼎，但对无理数也一无所知。他早就宣布世界上只有整数或整数之比，却偏偏出现一个像这样的既不是整数又不是整数之比的数，他怎么能不感到为难呢？为了维护自己尊敬的信仰，也为了保住自己的脸面，数学巨人毕达哥拉斯对这类新的数采取“不承认主义”，他威生又叫人驾船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。希巴斯据理争辩，被毕氏的其它门徒拳打脚踢，打得遍体鳞伤，最后被扔进了大海。逼希巴斯保密，不要把事情说出去。还在他的弟子中宣布：“谁泄密的话埋谁！” 毕达哥拉斯惟恐事情张扬，会动摇他们整个毕氏学派的基础。但希巴斯是一个很有思想，敢于坚持真理的人。他没有被权威吓倒，也没有放弃对的探求，一有机会仍然要宣传客观存在。希巴斯的观

12、点和毕达哥拉斯大权威的观点针锋相对。对此，毕达哥拉斯恨之入骨，以为希巴斯反叛，也是拆他的台，便指使人把希巴斯当叛徒者处死。希巴斯闻讯，连忙跳上一只刚启航的海船逃离。毕达哥拉斯为了掩盖小小的带来的矛盾，惨忍杀害了一个有才华的青年。公元500年毕学派经历的这场数学思想的矛盾冲突表明：几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大

13、革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得几何原本的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。另外说明了一些新的数学知识、内容、理论、学科的发现不仅要付出自己的聪明才智，甚至要付出生命的代价，所以先辈说是一个充满着血腥味的数。4.“化圆为方”问题公元前5世纪，

14、古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，被判犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱，判处死刑。在监狱的夜晚，安那萨哥拉斯睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。” 安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获。 经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这

15、个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段的问题。设圆半径为r,正方形边长为a,则有r2=a2,a=r.关键求作长为的线段。直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的答案。德国数学家林德曼（Lindemann,18521939)在这一年成功地证明了圆周率=3.1415926.是超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的“穷竭法”，是近代极限

16、论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、边形，他相信“最后”的正多边形必与圆周重合，这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米得计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家达芬奇（14521519）用已知圆为底，圆半径的为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，如图， 所以所得矩形的面积 ，然后再将矩形化为等积的正方形即可。注古代数学史上有世界三大难题（倍立方体、化圆

17、为方、三分角）。1、“立方倍积”要求用尺规法作一立方体，使其体积为原立方体体积的两倍。2、“三分角” 要求用尺规法三等分任意角。3、“化圆为方”要求用尺规法作出一个正方形，其面积与一已知圆的面积相等。5.代数式历史发展的三步曲 数学与算术最显着的区别，是以字母表示数，代数式,中的字母a、b、x表示数，但都是可以取不同值的数。 字母代数的历史发展经历了三个阶段，这就是言语代数简字代数（半符号代数）符号代数。 公元三世纪以前，无论是东方还是西方，都是言语代数，即用普通语言来叙述的代数，例如：对于代数式说成是：一个数的三次方，减去这个数平方的5倍，加上这个数的8倍，减去1。 这种方式叙述的代数式，十

18、分繁琐，又不便计算。 首先设法简化这种语言代数的，是希腊数学家丢番图，他被后人称为代数学之父。丢番图对数学有两大贡献,其一是采用缩写方式简化数学表达,人称缩写代数,推进了数学符号的采用;其二是求解不定方程,人称丢番图方程,开辟了数论研究的一个重要领域,这个领域后来被称为丢番图分析.丢番图曾写过三部书,其中13卷本的算术最为出色,后失传.大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷,1560年,帕茨发现了这部书原稿抄本,1621年出版了算术的拉丁文,希腊文版本.算术中大部分问题是求解不定方程的,其解法非常巧妙,很少给出一般法则,即使性质相近的题,其解法也会大不相同.著名数学家汉克尔说:&quo

19、t;研究丢番图100道题后,去解第101道,仍然感到困难重重."这些问题曾经引起所有欧洲数学家的兴趣。例如，法国数学家费马就曾经仔细研究过算术的拉丁译本，并在书中空白出写下了著名的“费马定理”，这个没有证明的定理（因此又称“费马猜想”）困惑人们达350年之久，直到1993年，才有英国数学家怀而斯予以逻辑论证。 丢番图在算术中的创造性成就，是用语头的字母作为缩写符号，来简化代数式。例如，他用希腊文“幂”的头两个字母来表示未知数的平方，用希腊文“立方”的头两个字母表示未知数的立方；用希腊文“缺少”中的头一个字母表示减号等等。于是他把前面所说的那个代数式子，写成了： 其中希腊字母分别表示字

20、母1，8，5；表示未知数，M表示常数。相比之下，这种表示比完全用语言来表示，简单多了。 简字代数迈向代数的决定性一步，是16实际的法国数学家韦达，他在分析术入门一书中创设了大量的代数符号，是早期符号代数的专着，他用拉丁字母中的元音表示未知数，用字音表示已知数。用Aguad,Acub分别表示和，并采用加，减号（但没有符号）。就这样，代数式就变成了 BsinAguad-Cplano2inA+AcubaeguaturDsolido 其中数C写成“平面”的，D写成“立体”的，这是为了遵循古希腊同彼数的数才能相加减的传统规定。 后来，法国另一个数学大师笛卡儿改用拉丁字母表示最后几个字母x,y,z等表示未

21、知数，用前面字母a,b,c等表示已知数；还将x的立方、平方号写成，这种符号一直用到了今天。 等号“”是雷科德在1557年出版的砺智石一书中首先提出来的。他解释说：“没有任何别的东西比这两短横更相等了。但直到17世纪末，等号才被人们普遍接受。英国数学家沃利斯在1693年正式在代数中使用符号。此后，就实现代数式的完全符号化了。 6.“一元一次方程”小史 一元一次方程Linear Equation of One Variable是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一的整式方程，它的标准形式为。     一元一次方程最早出现在莱因特草纸书中，现收

22、藏在伦敦博物馆里，是由古埃及僧人阿默士所著的，全书共有85个题目。有些题目是属于一元一次方程的，如第11题是：“一个数的，加上这个数的，再加上它的，再加上这个数本身等于37，求这个数。”相当于解 += 37。     方程是我国九章算术中的第八章，它除了给出一次联立方程组的解法外，还使用了负数，这在数学史上具有重要的意义。   被誉为希腊代数学鼻祖的丢番图公元246330年，在代数方程理论方面远远超出了他同时代的人。他曾在一本大约于4世纪时写的希腊文诗集上作了一首关于他生平的短诗有的说是墓志铭：“丢番图的一生，幼年占，青少年占，又过了才结婚，婚

23、后5年之后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半”。求丢番图究竟活了多少年岁，列出方程后得： + + + 5 + + 4 = ， 可知 = 84。 有关方程的历史名题很多，如哲人聚会，女神分果，遗产分配， ，有兴趣的同学不妨在网上找一些做一做，和古人比试一下。7.未知数与方程的解未知数（unknown number）是在解方程中，有待确定的值。 我国古代并不用符号来表示未知数，而是用筹算来解方程。13世纪，高次方程的数值解法是数学难题之一。当时许多数学家都致力于这个问题。用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高

24、次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。具体方法：用“立天元”表示未知数，并在相应的系数旁写一个元字以为记号。至元朝朱世杰（约13 世纪）用天、地、人、物表示四个未知数，建立了四元高次方程组理论。 古希腊的丢番图（约246-330）用字母来表示未知数，但以后进展很慢。过去不同未知数会用同一个符号来表示，容易混淆，所以 1559年法国数学家彪特（1485至1492-1560至 1572）开始用A、B、C表示不同的未知数。 1591年韦达用A、E、I等元音字母表示未知数。 1637年笛卡儿（1596-1650）在几何学 中始用x、y、z表示正数的未知数。直至1657 年约翰哈德才用字母

25、表示正数和负数的未知数。方程的解Solution of Equation是指使方程两边相等的未知数的值。     九世纪，中亚细亚著名的数学家、天文学家阿尔花拉子米着代数学，书中把未知数叫根jidr，是树根、基础或事物根本的意思，译成拉丁文是radix，既可以指一个方程的解，又可指一个数的方根，一直沿用到现在。8.自然数自然数（natural number）用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法

26、或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代易·系辞中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。 集合的基数具有元素"个数

27、"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术） 为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。9.古人测量太阳高度的方法汉代天文学家采用下面的方法来测量太阳的高度：如图1，选定夏至这一天，在南北相隔1000里的两个地方A和B，各立一根8尺长的标竿AM和BN，同时测出它们在太阳下的影子A

28、E和BC的长度的差为1寸，从而应用公式算出了太阳的高度。这种测量方法称为重（重复）差（日影的相差）术，最早记载于约公元前一世纪的周髀算经。大数学家刘徽（魏晋之际的数学家）系统地总结了这种方法，流传至今就是著名的海岛算经。这个测太阳的公式是怎样的，又是怎样推导出来的呢？这就要应用相似三角形的知识。现在我们来看“古人测量太阳高度”的公式。如图1中，设AB,AD,AE,BC,AMBNDP,OP,由MAOD得EAMEDO即,同理,由比例性质得即OD。汉代天文学家就是把1000里, 8尺,1寸,代入这个公式求得太阳的高度约为80000里。只是刘徽在推导这个公式时应用的是面积方法,比应用相似三角形的方法要

29、复杂。你能用同样的方法求海岛算经第一题吗？ 今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何？ 答：岛高7530尺，海岛与前表3075步。10.巧用等腰三角形知识，测金字塔的高埃及的金字塔是古埃及国王的坟墓，那些古老雄伟的建筑物，是古埃及劳动人民智慧的结晶。据传二千六百多年前，埃及一个国王想知道已修好的胡夫大金字塔有多高，可谁也不知道怎样去测量。因为塔身是斜的，爬上去测量很危险，事实上曾有过爬塔丧生的故事。但真要是有人爬上去了，又用什么方法测量呢？这

30、个问题的确困惑了人们许多年。后来，有一个叫泰勒斯（Thales，公元前624-前547）的学者说他能试试。便选择了一个特定的日子，在国王、祭司的亲自主持下，举行了测塔仪式，人们拥挤着、议论看，连千里之外都有不少人赶来观看，这可是当时当地的一件大事、奇事呢！时辰已到，祭司开坛拍板，泰勒斯果然不负众望，在助手的帮助下测出了大金字塔的高度。那么，泰勒斯是怎样解决这一难题的呢？原来是用了等腰三角形的有关知识。现在我们来看泰勒斯是怎样测算大金字塔高度的。这一天，泰勒斯站在金字塔一边的中点D、看到自己的身影与边垂直。当他的身影恰好等于自己的身高时，测量开始。此时阳光正好以45°的角度射向地面（如

31、图1）。于是，ACB90°,CBACAB45°.由金字塔的顶点A，塔底的中心点C和阴影的端点B所组成的三角形是等腰直角三角形。ACBC。而塔的底边长度是早已测量好的，它的一半正好等于CD的长（因为塔的底面是个正方形），DB的长当场测出，所以泰勒斯只把CD与DB的长相加即得到了胡夫大金字塔的高度约为146.6米。今天我们用初中知识就可以有多种方法求金字塔的高。1. 还是用太阳光，可以用相似三角形知识在任何时候求得金字塔的高，如图2；2. 在白天只要有小木杆和皮带尺的帮助，如图3。3. 在没有太阳光的时候，可以用面小镜子帮助，如图4；11.概率中的故事与故事中的概率研读数学史我

32、们可以发现，在概率的起源和发展过程中有许多生动有趣的故事，相信大家会在故事中得到启发。一、赌金风波。公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡尔（B.Pascal，16231662），在旅途中偶然遇到了赌徒梅累，梅累是一个贵族公子哥儿，他对帕斯卡尔大谈“赌经”，以消磨旅途时光。梅累还向帕斯卡尔请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次梅累和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，梅累若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，梅累已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，梅累奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么

33、分这64个金币的赌金呢？赌友说，梅累要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是梅累的一半，即得64个金币的三分之一，而梅累得三分之二。梅累争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自已还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一。公说公有理，婆说婆有理。梅累的问题居然把帕斯卡尔给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马（Fermat，16011665），两人对此展开热烈的讨论。后来荷兰

34、数学家惠更斯（C.Huygens，16291695）也加入了他们的探讨行列。最后，他们一致认为，梅累的分法是对的！惠更斯还把他们讨论的结果，载入1657年出版的一本叫论赌博中的计算的书中。这本书至今被公认为概率论的第一部著述。梅累的分法为什么是对的？帕斯卡尔和费尔马他们又是怎么想的？这一连串的疑团要等今后大家学到更多概率论知识的时候，才能一一解开。赌金风波终于以概率论的诞生命宣告平息。二、布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon17071788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致

35、勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了

36、停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本或然算术试验的书。在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相

37、距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：，便是著名的布丰公式。概率虽然起源于欧洲，但在我国古代的许多成语故事中，我们仍会发现概率的萌芽和应用的影子。三、著名的生日悖论 很多人喜欢用缘分来解释一些事，其实你有没有想过很多时候是概率在起作用呢，让我们来看看有名的生日悖论：23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？ 居然有50% ！问题是这样的： 如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于9

38、9%。 不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么 第一个人的生日是 365选365 第二个人的生日是 365选364 第三个人的生日是 365选363 : : : 第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是： 那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 1所以当n=23的时候，概率为0.507 当n=100的时候，概率为0.9999996。这个结论现在你是否还感到不可思议呢？四、轮盘在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛

39、者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。如果他不改变主意，则他赢得汽车的概率为，而改变后的概率为，他第一次选好后，有的可能性在另两扇门后，主持人把一扇有山羊的去掉了，但概率没变。所以开始时这三扇门后汽车的概率相同，但你选了一扇，主持人打开一扇后，这两扇门后汽车的概率不一样了，这才是问题的关键啊！12.数学史中的二元一次方程式 二元一次方程式在数

40、学中是十分基本且重要的概念，下面将对中国、巴比伦和印度数学史中的二元一次方程式做一简介。由于笔者才疏学浅，数据来源又以中文为主，所以自觉这篇文章有三点不足之处：一、未考虑时代背景与数学发展背景。二、未述及解析几何中的二元一次方程式。三、未述及西方数学对二元一次方程式和二元一次联立方程式解法的发展。 此外，在收集资料的过程中，发现关于二元一次方程式的资料很少，论及二元一次联立方程式的更少，猜测这或许与绝大多数的二元一次联立方程式题目都可以用一元一次方程式来解决有关。 中国九章算术     九章算术成书于汉代，集之前数学知识之大成，是中国最重要的一本算书；刘徽为其作注

41、时，全面的证明其中的公式与解法(注一)，不但对中国后世的数学发展，甚至邻近地区的数学发展都有深远的影响。     九章算术第八章方程中共有十八个问题，都是关于一次联立方程的问题，其中二元的问题有八个，三元的问题有六个，四元的问题有二个，五元的问题有一个，属于不定方程(六个未知数五个方程)的有一个(注二)。属于二元的是第二、四、五、六、七、九、十、十一问，其中第二问是： 今有上禾七秉，损实一斗，异之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗， 与上禾二秉，而实一十斗；问上、下禾一秉个几何？ 答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一 术曰：如

42、方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗 者，其实不满一十斗也。术曰就是解法。如方程便是列出方程式，用现今之符号(上禾一秉x斗，下禾一秉y斗)列出： (7x-1)+2y=10 2x+(8y+1)=10 损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。就是指常数项的移项，原方程式变成： 7x+2y=11-(1) 2x+8y=9-(2) 至于接下来的算法便是利用方程术，由于方程术是在第一问(三元一次)后所提出的，所以第二问中就没有再写出计算过程，下面是我用现在的符号改写方程术的计算过程： (2)乘以(1)的x项系数7，得14x+56y=63-(3

43、) 用(3)去减(1)，直到(3)之x项系数为0，得52y=41-(4) (1)乘以(4)的y项系数52后，再一直减去(4)，到y项系数为0止，得364x=490，再除以原x项之系数7(即(1) x项之系数)，得52x=70-(5) 由(4)、(5)可知上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。其实方程术相当于利用系数列出一增广矩阵后再做运算，也就是将上述的过程写成： 由于这只是二元的问题，并不能全盘看出方程术的法则，有兴趣的读者不妨看郭书春所著古代世界数学泰斗刘徽书中第42页，在那清楚的演示用方程术解第一问。   方程章在第二问已经有了常数项的移项；第四问中不

44、但有常数项的移项，还有未知数项的移项；而第六问中更出现了负数的情形，熟知负数发展历史的读者必定会明了此为一重大之突破；到了第十问更是出现分数系数的情形，而其解法与我们现今相同，将其化成整系数方程式后再求解。     方程术是九章算术最高的数学成就(注三)，刘徽亦在此基础上创立了方程新术，使中国数学成为这一领域中的佼佼者。   九章算术在第七章盈不足中虽然不是用方程式的方式来解，但许多问题亦可划归于二元一次方程式的范畴，若能适当的引入课堂之中，必能启发学生更多的兴趣与共鸣。     典型的盈不足问题是共买物问题：各人所出A，盈

45、a；所出B，不足b，求人数、物价(注四)。九章算术给出了一般公式： 每人应出的钱=(Ab+aB)/(a+b) 物价=(Ab+aB)/(A-B) 人数=(a+b)/(A-B)九章算术还给出了两盈(或两不足)的公式，并利用这两组公式解决了大量的一般二元一次的算术问题(含分配问题、混合分配问题等等)，因为在这类问题中，任意代入两个数，必定是上述两种情形之一。举第十三问为例： 今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问醇酒、行酒各得几何？ 答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。 术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。 解法意思是若买醇酒五

46、升，行酒一斗五升，则(较三十钱)盈十钱；若买醇酒二升，行酒一斗八升，则(较三十钱)不足二钱。所以就可以利用先前的公式得： 醇酒升数(5*2+10*2)/(10+2)=2.5升 行酒升数(15*2+10?18)/(10+2)           17.5升 从中可以看出，中国古人是先把一些实例归类，得出相应公式，后人只要代入求值即可。这让我们想到所谓的“秘籍”。优点是简单易操作，只要背出各种类型，套进去即可；缺点它只是帮助人们应用解决生活问题，而不是为了传播知识本身。同样作为古代的教科书，与古希腊的欧几里德

47、几何原本相比较，我们会发现其差异是非常大的。巴比伦     巴比伦人在解决二元及三元问题时有两种方法(注五)，第一种很类似于我们现在的代入消元法；第二种今日称为丢番图法(Diophantine)，但这并不是丢番图(Diophantus,约A.D.250)所创，而是他学习了巴比伦人的方法，这种方法特别适合于解决有一个方程式为x+y=s(s为已知)，此时令x=s/2+w，y=s/2-w，代入另一个方程式中便可解出w，如便可以求得x与y了。下面举的例子是出自于汉摩拉比王朝时代(B.C.17921750)的一块泥板上，虽然是二元二次的题目，但可以看出此方法的运用： 有一长

48、方形，将其面积加上长，减去宽得183；长、宽之和为27，求长、宽及面积。 解： 假设长为x，宽为y，依题意列式， 令y'=y+2，则y=y'-2代入，可得到新的二元一次方程组：把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)其解为：即 ，所以.在泥板上并未出现类似未知数列式的符号算式，只有叙述计算的过程，而且是六十进制制的，有兴趣的读者可参看梁宗巨著的数学历史典故。读者不难发现，丢番图法运用时需要较高的技巧，也就是要先把其中一个方程式化成x+y=s的形式才可，不过不论是丢番图法或是第一种方法，在推广到多元一次联立方程式的问题时就显得十分繁杂，不

49、如九章算术方程术来的简便，但巴比伦人的方法在解决非线性的问题时便可以看出其优越性，由此可以反映出巴比伦人的泥板上有许多的非线性问题，而九章算术几乎没有非线性问题的情形。 古印度    古印度在数学方面有相当大的成就，在世界数学史上有重要地位。 印度人在二元一次方程式方面的成就当首推阿扬巴哈一世(Aryabhata I,A.D.476?)，他在所写的Aryabhatiya中不但清楚的描述出当时印度数学的现况，更给了印度数学继续发展的动力(注六)，关于二元一次方程式方面的成就也记载于此书中。阿扬巴哈一世他首先给出不定方程式ax+by=c的所有整数解，其方法经传人改进后

50、十分类似于现今的方法(注七)，概说如下： 不妨只考虑a，b互质的情形，则存在两整数p、q使得 ap+bq=1 ax+by=c(ap+bq) (x-cp)/b=(cq-y)/a，令之等于t，t为整数 x= cp+bt，y=cq-at丢番图也曾经讨论过二元一次不定方程式的情形，不过他都只给出一组正的有理数解。至于在中国，清朝李锐的求强弱术虽只用以求49x+17y=A的所有整数解，但其算则(algorithm)具有一般性，也就是说可以推广到求ax+by=c的所有整数解(注八)。13.中国的半符号代数-天元术和四元术中国的古典数学，特别是代数学，曾经有学多辉煌的成就，其中“天元术”“和“四元术”代表了

51、13世纪-14世纪的世界数学的最高水平。所谓“天元术”，就是设未知数为“天”，然后列出方程，解方程题，“四元术”就是设多个（最多4个）未知数为“天”、“地”、“人”、“物”，列出多元高次方程组-这实际上是一部半符号代数。“天元术”的创造者是金、元时期的数学家李冶。他原在金朝做小官，元灭金后，隐居湾山，潜心研究学问，于1248年着成测园海镜12卷，以解直角三角形容圆内切圆问题为典型问题，论述“天元术”。他设未知数为“天”元，以常数项为“太”（太极），列出方程。如，方程，他将等号左边的多项式表示成“天元式”：以后，他又把常数项放到最上层，按升幂将系数依次往下排。两个多项式相加，将对应的天元式同层相

52、加，元加元，太加太，等等。元乘天元式，“元”字移下一层。这些天元式的运算法则，与现在的多项式运算是一致的。列出多项式以后，用“增乘开方法”来求它的数值解。元代数学家朱世杰把“天元术“发扬光大，推广到“四元术”，对于一个多元式，用筹式怎么排法呢？他巧妙地将常数项“太”放在中间，四方分别排列四元的系数。如图例如，方程式x3+x3y+2x2y+4xyxy22y2+3xz8u=0，可用如图的等式来表示。一个等式相当于现今的一个方程式，二元方程组列出两个等式，三元方程组列出三个等式，四元方程组则列出四个等式。这是一种多元高次方程的分离系数表示法，对于立方程的步骤和逐步消元，演算过程都十分便利。他还规定了

53、一套四元式运算法则和解法，使中国古典数学发展到顶峰，朱世杰也被史学家萨顿誉为中世纪最伟大的数学家。当时的欧洲正处于黑暗的中世纪，一个德国高人请教一个大学教授：他想把儿子送去学习记帐的数学知识，该到哪儿去学呢？这位大学教授回答说：你的儿子如果只想学习加法和减法的话，那么到国内的大学学习就行了；如果要想学习乘法和除法，那么必须到意大利去留学，可见当时的欧洲数学是多么的落后了，而这时的中国数学却象一座灯塔，放射出万丈光芒。14.函数小史数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用我们学过的函数就是这样的重要概念在笛卡尔引入变量

54、以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。1718年，莱布尼茨的学生、瑞士

55、数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数贝努利所强调的是函数要用公式来表示后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数他认为：“函数

56、是随意画出的一条曲线”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其它各变数叫做函数”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应

57、值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其它形式这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便因此，这个定义曾被比较长期的使用着自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了中文数学书上使用的“函数”一词是转译词是我国清代数学家李善兰在翻译代数学（1895