数学建模的心得体会

1、数学建模的体会思考经过这段时间的学习， 了解了更多的关于这门学科的知识， 可以说是见识了 很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对 了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领 域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。 数学建模给了我很多的感触： 它所教给我们的不单是一些数学方面的知识， 更多 的其实是综合能力的培养、 锻炼与提高。 它培养了我们全面、 多角度考虑问题的 能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。 它还让我 了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。数学模型主要是将现实对象

2、的信息加以翻译， 归纳的产物。 通过对数学模型 的假设、求解、验证，得到数学上的解答， 再经过翻译回到现实对象， 给出分析、 决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生， 在我们的日常生活和工作中， 经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线， 以达到既快速又经济的目的； 一些厂长经理为了获得更大的利润， 往往会策划出 一个合理安排生产和销售的最优方案 , 这些问题和建模都有着很大的联系。 而 在学习数学建模训练以前， 我们面对这些问题时， 解决它的方法往往是一种习惯 性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种 陈旧的思考方式己经在被数学

3、建模训练中培养出的多角度、 层次分明、从本质上 区分问题的新颖多维的思考方式所替代。 这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考 方式一旦被你把握， 它就转化成了你自身的素质， 不仅在你以后的学习工作中继 续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题， 它除了要求我们有扎实的数 学知识外， 还需要我们不停地去学习和查阅资料， 除了我们要学习许多数学分支 问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不 是任何专业中都能涉猎得到的。 它能极大地拓宽和丰富我们的内涵， 让我们感到 了知识的重要性， 也领悟到了“学习是不断发现真理的过程” 这句

4、话的真谛所在， 这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看， 我们都是直接受益者。 就拿数学建模比赛写的论文来说。 原本以为这是一件很简 单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。 因为要解决问题， 凭我们现 有的知识根本不够。 于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用， 查阅各种 有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。 在这过程中，对自己眼界的开阔， 知识的扩展无疑大有好处， 各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的 能力。毫不夸张的说， 建模过程挖掘了我们的潜能， 使我们对自己的能力有了新 的认识，特别是自学能力得到了极大的提高， 而且思想的交锋也

5、迸发出了智慧的 火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。 再次， 数学建模也培养 了我们的概括力和想象力， 也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。 我们只有先 对实际问题进行概括归纳， 同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素， 紧紧抓 住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。其实，在我们做论文之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话， 将会花费更 多的时间和精神。因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候， 我就将这 些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。 这就使模型更加合理和理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即

6、进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。下面用一个具体的实例，来介绍建模的具体应用：传染病问题的研究一、模型假设1在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群 动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类： 易感染者(Susceptibles，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类 疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者 (Recovered),其数量比例记为r(t)，表示t时刻

7、已从染病者中移出的人数(这部 分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已 退出该传染系统。)占总人数的比例。2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入日治愈率(每 天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数卩，显然平均传染期为1/卩，传染期接触数为c =/e该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模 型中假设有效接触率传染力是不变的。二、模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：s iI 入 si I_在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为dt£

8、 ( So >0)， io (io不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为 >0)，r°=0.SIR基础模型用微分方程组表示如下:也Asidtdsdts(t) , i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) , i(t)的一般变化规律。三、数值计算在方程(3)中设入=1 卩=0.3 i (0) = 0.02, s (0) =0.98，用 MATLAB 软件编 程：fun cti on y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x (2)-b*x(1);-a*x(1)*x (2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x

9、=ode45('ill',ts,x0);四、相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i (t) ,s (t)的性质。D = (s, i) | s>Q i >0, s + i 任1在方程(3)中消去dt并注意到c的定义，可得dsIs c 丿i Is% 二 i°(5)所以：di二(6)利用积分特性容易求出方程(5)的解为:ln So在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向下面根据,(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t -射它们的极限值分别记作

10、s：,和r：J.1. 不论初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：i°=02. 最终未被感染的健康者的比例是，在(7)式中令i=0得到，是方程so io -s一一 ln 电=0一旺so在(0,1/内)的根.在图形上 是相轨线与s轴在(0,1/内交点的横坐标yd f 13. 若sd >1/ o则开始有丄=-1 > o , i(t)先增加，令 = -1 =0,可得当d s2 c 丿d sIs o 丿s=1/ o时,i(t)达到最大值：1Im F io - 一(11 n ；So)CT然后s<1/ o时，有3- -1：o ,所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至

11、S-，d sIs o 丿如图3中由P1(s0, i0)出发的轨线4. 若s -1/ (则恒有d 1 -1 : 0 , i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s：-,如图3d sis o 丿中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/ o 是一个阈值，当so>1/ o即o >1/sC时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数o即提高阈值1/ o使得so < 1/即( o < 1s。),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值So是一定的，通常可认为s接近1）。并且，即使So>1/ 0从（19）,（20）式可以

12、看出,减小时,s-增加（通过作图分析），im降 低也控制了蔓延的程度我们注意到在o =入中，人们的卫生水平越高，日接触率入 越小;医疗水平越高，日治愈率卩越大，于是o越小，所以提高卫生水平和医疗水平有 助于控制传染病的蔓延从另一方面看，二s=，s*1/._j是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一病人被二s个健康者交换.所以当So1/二即二So < 1时必有 既然交换数不超过1,病人比例i（t）绝不会增加，传染病不会蔓延。五、群体免疫和预防根据对SIR模型的分析,当So空1/二时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提 高卫生和医疗水平，使阈值1/ o变大以外,另一个

13、途径是降低So，这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到忽略病人比例的初始值i0有so=1-ro,于是传染病不会蔓延的条件 兰1/貯 可以 表为1r。-1 -这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例 （即免疫比例）满足（11） 式，就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数o =5由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高ro，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到 1977年才在全世界根除。而有些传染病 的o更高，根除就更加困难。六、模型验证上

14、世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数,即有了出的实际数据，Kermackdt等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程（2）, （3）可以得到 虫=_入si = Ysi =-心5dtdt上式两边同时乘以dt可=1 ds - -：'dr ，两边积分得s二 zdr= lnsSo-m所以:s(t) = See®。(12)drdtdrdt出=叫1 _r s)=叫1 _r _S0eV)(13)<1 时，取（13）式右端Taylor展开式的前3项得:2 2和r(1 _r _S0 ；fr)在初始值ro=O下

15、解高阶常微分方程得：其中2 =（So；-1）2 2和0二2，th二'从而容易由（14）式得出:0（dr _:-2 Jdt2s0；2ch2(-（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图然后取定参数s0,等，画出中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。7 DO600u 515 20 25 30"刷图4引R模型的理论曲线与实际数据七、被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值 So与S：:之差，记作X,即x = Sos：(16)当iO很小，sO接近于1时，由（9）式可得1xx ln(1 ) :0So取对数函数Taylor展开的前两项有x（1-工）：0（18）s° 口 2s° cj丄的部分。当二-时（18）CTCT1记So二丄:.,:.可视为该地区人口比例超过阈值式给出 x：、2s0二 氏-丄、2、：（ 19）I ）这个结果表明，被传染人数比例约为:.的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生1和医疗水平不变，即.不变时，这个比例就不会改变。而当阈值 '提高时，：减a小，于是这个比例就会降低。这是一个关于传染病方面的实例，看起来很复杂的题目，用数学建模就可以 化抽象为具体，简单的利用微分方程，图像，以及必要的数学软件就可以解决问 题，同时把问题细化，分析了各种变量的影响。具体