完整word版,向量方法在高中数学解题中的应用

1、向量方法在高中数学解题中的应用王贤举摘要 ： 向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、 几何的桥梁。 通过向量法使代数问题几何化、 使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例， 体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。关键词：高中数学；向量法；解题；应用Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of

2、algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and

3、 geometry problems in senior high school mathematics.Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application1、向量与高中数学教学向量是既有大小， 又有方向的量【 1】 ， 是数学中的重要概念之一。 向量具有丰富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高 中数学新课程中设置向量的内容，是基于以下几方面原因：1.1 向量是几何的研究对象物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。 向量可以表示物体的位置，

4、也是一种几何图形 （几何里用有向线段表示向量： 所指的方向为向量的方向， 线段的长度表示向量的大小） ，因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。1.2 向量是代数的研究对象运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量 积（点乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量 具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。1.3 向量是代数研究对象和几何研究对象的桥梁。著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬

5、镀，它们的进展就缓 慢.它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的 活力，从而以快捷的步伐走向完美”。我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形 时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。高中数学中引入向量后121,通过在代 数、几何中应用，改善教材结构、简化解题方法，也可通过在几何中的应用，加 深对向量内容的理解。数学新大纲引入向量后学习这部分内容既可了解向 量的实际应用，又可加深对该部分内容的理解。本文通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何 问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作 用和优点。从而让学生学会使用向量法来解决

6、高中数学问题， 提高数学解题能力。2、向量方法在高中数学解题中的应用2.1、 向量法使代数问题几何化向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为几何问题【4】，从而使问题简化|b| |a b| |a| |b|例1、证明：对于任意两个向量a,b ,都有|a|证明：若a,b中有一个为0 ,则不等式显见 成；若a, b都不是0时，作OA a, AB b贝（1）当a,b不共线时，如图1所示，则 |OA| |AB| |OB| |OA| |OB|,即 l|a| |b| |a b| |a| |b|.（2）当a,b共线时，若a,b同向，如图2所示,|OB| |OA | |

7、AB| 即 |a b| g |b|.若a,b反向，如图3所示，|OA| |AB | |OB|,则 |a| |b| |a b|综上可知：|a| |b| |a b| |a| |b|.BOA图3评注：该命题的证明方法有多种，但应用向量工具把代数问题几何化， 使其理解 更容易和具体化。通过向量具有数形结合的性质，当两个向量不共线时，利用向 量的三角形法则，转化为几何中三角形的性质进行讨论，得出 伯|ib111a bi iai向.当两向量共线时，转化为对线段的讨论，从而可得到 11aLibii ia bi 向 ib|02.2、 向量法使几何问题代数化通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对

8、大量的几何问 题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算 【5】。例1、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。证明：如图4所示，在Rt ABC中， C Rt ,D是AB边上的中点。由向量加法的平行四边形法则CD1 -(CA CB)1 CD CD (CA CB)(CA CB) 4CA CB 0,212212|CD |(| CA |2 |CB|2)| AB |244-1评注：向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁,它可以使图形量化，使图形问|CD | 11 AB |.16的关系代数化。本题将直角三角形的各边及斜边上的中线用向量

9、表示出来，利用平面向量的平行四边形法则和两向量垂直时数量积为0,转化为向量的代数运CD !AB.算，得2 ,即证得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例2、设抛物线y2 2px p 0的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点c在抛物线的准线上，且2证明：如图5所示，设A上，%2pBC/ x轴.求证:由题设可知F2 pAF 一故2P2 yi,yiAB2 2y2 yi2p，V2yi（图5）由三点共线，知AF / AB ,22pyi2pY2yi2 2y2 yi2pyi0,y2yiyy20.yiy2,2yi y2p , y22 pyiAO2y2p, yiAC2 yi 2p,y2yi2yi

10、 2p2yi yi2yi2p2yi yi2p2p2yiyi 0,且直线AO与直线AC有公共点A,A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O.评注：用向量方法去解传统的立体几何题也是有优势的， 能使问题很清晰，本题 通过建立平面直角坐标，可得到向量AF,AB,AO,AC。根据三点共线得AF,AB是共线的向量，从而可求得 aO,aC也是共线向量。由平面上共线的两向量有公共点时，那么这三点在同一直线上，所以直线 AC经过原点Q例3、如图6,在直三棱柱ABC AB1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90o,侧棱AAi 2, D,E分别是CC1与A1B 的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心

11、G。(1)求AB与平面ABD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求点A到平面AED的距离。解：以C为原点，CA,CB,CCi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设CA a则 A (a,0,2), B (0, a,0) , D (0,0,1) , A(aQ,2), 从 而d .Ge a - 2E a,a,1 , G 9,a,1 , AD ( a,0,1),6,6,3 ,由 GE” AD 得2 23 3 3a22GE AD 0,即 a- f 0 a 2.63uuu uuurBE.BG 7 cos : | BE | | BG |3设AB与平面ABD所成的角，即BE与BG所成的角为，一

12、 2 4 1一BG (-)BE (1, 1,1),(3, 3,3),7 arccos 3 设点Ai在平面AED上的射影为H p,s,t ,则A1H AH,AH EH,A1H DH,即 A1H AH 0,AH EH 0,AiH DH 0,代入运算得22p 2 s2 t t 20,p 2 p 1 s s 1 t 2 t 10,p p 2s2t 1 t 20.43,2,或32.3p 2,s 0, （舍去）4 2 23,3,3从而AH2.63t 2.沿基底，分解向量BB',评注：向量解决问题的直接好处体现得异常充分，学生比较容易找到落脚点，把空 问的问题转化为代数问题，从向量的角度切入,可以有

13、效地避开很多难点。本题通 过建立空间直角坐标系，设 CA a，得到向量aD，GE , BE,BG o根据空间直线与平面间的定理可得GE AD,算出ca的长，在由BE,BG之间的数量积、火角和模的关系，可求出BE,BG的夹角，即为设AB与平面ABD所成的角。设点a在平面AED上的射影为H (p,s,t)，可得到向量A?h AH,AH EH,AH DH由两向量垂直 时其数量积为 0得A?h Ah 0,A?H EH 0,AH DH 0可算出ah的长度，也就是点a到平面 AED的距离。2.3、向量法使几何与代数问题相互转化在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。建 立适当的直角坐

14、标，通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合 起来【7】，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用 解析法”来解决实际问题。例1、已知直线AA'，平面a ,直线BB'，平面a ,垂足 分别为A, B。求证：AA' / BB'证明 如图1,在平面a内，过点 A作互相垂直向量一、 . > 一 一 、AC, AD ,以AC, AD,AA二个不共面的向量作为基底，由空间向量基本定理可设BB AC xAC AC yAD AC zAA AC ,(图1)(1)BB AD xAC AD yAD AD zAA AD(2)由 BB'，a ,得 BB'

15、;AC, BB'XAR 又 AC ±AR同理 AA'AC, AA'XAD.AC AD 0,BB AC 0,BB AD0, AA AC 0, AA AD且AD0, AC0 ,分别代入(1)、(2)得 x 0, y 0.AA' / BB'.利用不共评注：本题根据空间的任一向量都可以用不共面的一组基底线性表示,线向量基本定理及两向量垂直时的数量积为 0,证得BB'AA'(BB / AA o例2、如图2,给出定点A(a,0)(a 0)和直线l :x 1B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C,求C点的轨迹方程 并讨论方程表示的曲

16、线类型a值的关系。解 设 OA (a,0), BC(1,b),OC (x,y),0 x a,则AC (x a,y),BC(x 1,y b),由OC平分 BOA , 当b Qy知 cos AOC cos BOC0,0 x a,.OA OCOB OCOA OCby x x -,1 b2OB OC1又AC与BC共线,有(x a)(y b) y(x 1) Q.1a一b y.a x将代入得:(1 a)x2 2ax (1(2)当 b 0 时，AOBa)y20(0 x a)(，点C (0, 0)适合。综上(1)、(2)得C的轨迹方程为：22(1 a)x即江4p 2ax (1 a)y2 0(0 x a).评注

17、：本题通过数形结合，建立平面坐标，设出相应的向量 oA、bC、oC ，可得到向量AC,BC ,根据角平分线定理得向量OA,OC和OB,OC的夹角相等，找出等量关系式c点的OA OC OB OC 、7,T ；T ,进而求出轨迹方程。O.OCOB OC例3、设点A和B为抛物线y2 4px(p 0)知原点以外的两个动点，已知 OA OB,OM AB,求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解：如图32y24P,y2), M (x, y),MB则OA2 yi4p,yi),OB (2y24p, y2 ).OM(x,y),AB22(y2 yi4p,y2yi),(图3)AM(x2 yi4p,yyi). O

18、AOB, OAOB0,2 y24pyi y202y216P又OM垂直 AB,OM AB 0.即Xy化简得yi- x (y2 y1) y 0,4p化简得：yLl x y 0.4P 222又AM / AB, . . （x 幺）（丫2 yj （近 九）（y yj 0.4p4p 4p即（x 比上）y 生 0.将代入得：x2 y2 4px 0. 4p4pA、B是异于原点的点，故x 0,所以点M的轨迹方程为 x2 y2 4px 0（x 0）它表示（2p,0）为圆心，以2P为半径的圆（除去圆点）.评注：本题通过建立平面直角坐标，将 OA, OB,OM, AB, AM转化为向量，根据OA OB,OMAB,由两

19、向量垂直，它们的数量积为 0,得OA OB 0.OM- AB 0.又AM. / AB,由共线向量的基本定理进行代数运算，从 而求出点M的轨迹方程。例4、如图4,在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形,ABC -, OA 底面 ABCD, OA 2,M 为 OA 的中点, 4（I ）证明：直线MN |平面OCD ；（n）求异面直线 人8与乂丽成角的大小；（m）求点b到平面ocd勺距离。解：方法一（空间定理法）（1）取OB中点E,连接ME NEQ ME | AB AB II CD, ME | CD又Q NE | OC,平面 MNE | 平面 OCDMN | 平面 OCD（2） QCD

20、 | AB, MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP CD于P,连接MPOA 面面B BCD,.,. CD MPADPDP 1 八 cos MDP, MDCMD 2MDMA2 AD2 ,2MDP 3所以AB与MD所成角的大小为一3(3) AB|平面OCD；.点A和点B到平面OCD勺距离相等，连接OP过点A作AQ OP 于点 Q, AP CD,OA CD,： CD 平面 OAP,：AQ CD又V AQ OP,/. AQ 平面OCD ,线段AQ的长就是点A到平面OCD勺距离。尸DP2 .萌ALDP2 J4 1 2 好AP DP2. AQ OA吧 2g" 2 ,所以点B到平面

21、OCD勺距离为2OP3.2 332方法二(向量法)解：作AP!CD于点P,如图，分别以AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐 标系PA(0,0,0),B(1,0,0),.2(0；,0)D2,O(0,0,2),M(0,Q1),22222MN(1 , ,1) OP(0, J2) OD( , ,2)(1) 44,2,22设平面ocd勺法向量为n (x,y,z)，则n op=o, n od =0即取Z 应，解得.MN n (1 , , 1) (Q4,.,2) 0 44 .MM 平面 OCD(2)设人8与乂所成的角为8 ,22AB (1,0,0),MD ( , 1)2 ,2人3与乂的成角的

22、大小为3(3)设点B到平面OCD勺距离为d,则d为OB在向量n Q4，、上的投 影的绝对值，由 OB=(1,0,-2),得 d=|OB n| -n 32所以点B到平面OCD勺距离为3 .评注：本题通过用用常规法和向量法两种方法来解题，可以看出向量法解题的方便，通过作AP,CD于点P,建立空间直角A-xyz坐标系，找出向量MN：OP、OD AB、MD：oB的坐标，设平面0cD勺法向量为n，则n 0P 0,n OD 0,可以得到MN/平面OCD根据AB与MD勺夹角、模和数量积的关系可算出AB与MD9T成角。由向量OB在法向量n上投影的绝对值求得点B到平面OCD 的距离。运用向量法解题，是解决立体几何题得好方法。3、小结与展望向