人教A版高中数学五第二章第三节《等差数列的前n项和》教学设计

1、人教 A 版高中数学五第二章第三节等差数列的前 n 项和教学设计浙江宁海知恩中学王丽亚【一】内容及内容分析本节课教学内容是？普通高中课程标准实验教科书数学5？人教 A 版中第二章第三节等差数列的前n 项和第一课时是数列的基本概念和等差数列知识的延续，该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n 项和及该求和公式的应用,通过等差数列前n 项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法，表达授之于鱼，不如授之于渔的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来表达数学课堂的方法价值、应用价值、类

2、比价值；这些价值的渗透有利于提升学生的数学素养。目标分析知识与技能目标:理解等差数列前n 项和公式的推导过程；掌握并能运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；过程与方法目标学生在教师的引导下，经历从特殊到一般探究得到等差数列前n项和公式，进一步体会特殊与一般、化归与转化、整体与方程组等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，创新意识与应用意识得到发展。情感态度价值观结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性 ,有效激发学习兴趣,并通过对高斯故事的了解,渗透数学史和数学文化，培养善于观察、勇于探索、敢于创新

3、的良好学习态度。学生学情分析学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生 学习的困难.因为首尾配对法还需要分奇数、偶数两种情况讨论，偶数的 情况学生相对较为熟悉，也更容易掌握；奇数的情况时，学生对配对后剩 下的中间项较难处理。教学重点探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决求和问题教学难点等差数列前n项和公式推导思路的获得.重点、难点解决策略为了帮助学生扫清障碍，避免分类讨论而引入倒序相加法，可以设计 以下两个环节。环节一是借助几何图形的直观性，

4、在原来的图形旁边再放 置一个倒置的图形，让学生再来观察图形的特征，从形的角度获得倒序相 加法的思路，该方法形象、直观，学生易于接受。环节二是奇变偶，启发 学生，提出如下问题 我们知道，当项数为偶数时可以直接凑成整数对， 那么对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数呢？ ，给出 充裕的时间交流、讨论后，师生共同探究分析得出结论： 任何一个正整 数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的方法，教师因势利导再问 如 何才能刚好凑对呢？ ，学生自然而然的想到把另外一组和的顺序倒置再 相加，而进一步理解倒序相加法的原理，该方法表达了数学的本质及数学 的严谨。两个环节相辅相成，从数形两个方面很好的诠释

5、了倒序相加法， 既直观又严谨。【四】教学工具多媒体教学：课件、投影仪、白板【五】教学过程设计教学环节教师活动学生活动活动 说明复同学回答以下问题通过对等差习1.等差数列的定义是什么？如何用递推公式描数列相关知提述？识的回顾，问2.等差数列的通项公式有利于课堂3.公差d的计算方法小的顺利4.在等差数列an 中 am anap aq进行。的条件是什么？特别地 a1 a n可以等于什么？情幻灯投影高斯，德国著名数学家，被誉为 数首项与末项的和：学生对高斯学王子。200多年前，高斯的算术教师提出了下1 + 100=101,的算法是熟景面的问题：1 + 2+3+100 = ?第2项与倒数第2项的和：悉的

6、，知道引据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，102+99 =101,米用首尾配岁的高斯却迅速算出了正确答案，你知道他是如何第3项与倒数第3项的和：对的方法来计算的吗？O 1 nod nd.求和，但估入3 十 98 10 1,请一学生将高斯算法再现一下。第50项与倒数第50项的和:计他们对这50+51 =101,种方法的认于是所求的和是：识可能仅限101 X 50=5050。于小学记 记。:教师：高斯的思路有什么特点？学生：首尾配对教师借此渗舁教师：为什么这么做，目的是什么？学生：发现和相等,方便运算透学习态度法教师帮助总结特点：首尾配对教育：高斯思把小同数求和转化为相同数求和从小就善于

7、把加法运算转化为乘法运算思考，敢于考思考，所以 他能从很简 单的事物中 发现和寻找 出某些规律 性的东西。问如图堆放一堆钢管，最上层放了4根，卜面隼一学生思考：即求：偶数个项的层比上一层多放一根，共9层，这堆钢管共有多少4+5+6+7+8+9+10+11+12和能首尾配题根？对，奇数个1探if1怎么办？产l，. 鼠生问题，引究起学生思w考。问教师：图斯办法行吗？学生：不行配对尝试在这个过程教师：为什么不行？原因？学生：剩下一个中间项，因为中让学生发题教师：刚才为什么行？是奇数个。现当项数为教师：如何处理能否对高斯学生：偶数个相加。奇数时，首探?同学们相互探讨下,学生探讨尾配对出现究的思路改进一

8、下？了问题，寻求新的解决 方案，引导奇变偶探怎样求一般等差数列an的前n项和呢？Sna1a2an 1an把这种求和 的本质规律索推广到一般公Swim1 彳an 12Sn|2 n(a1L1 ar的等差数 ）列，获得一式Snn / 2(a1in)般的等差数 列求和思 路。同时让 学生体会了 研究问题是 从特殊到一方动态演示。 图形要求：学生分组讨论后得到将图形 倒置平移得到一平行四边形。法原图平移生成将图形语言转化为数学式子。探旋转显示 倒究补全呈现平行四边形 /HUT 通过把和倒过来再写一次， 上卜对应两数进行配对 相加。进一步提问：这种配对方式对偶数个项相加也适用 吗？尊提问：等差数列1, 2

9、, 3,，n,的前n项1 +2 +n 1+ n法和怎么求？通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解n +n 1+ + 2 + 1启法。(n+1)+(n+1)+ + (n+1)发总结下这种方法的特点，学生总结，师生提出倒序n ( n +1)1+2+3+ +n=-相加法。提问：这种方法可以推广到一般的等差数列求和 吗？2借助几何图 形的直观 性，能启发 思路，让复 杂问题简单 化，并为倒 序相加法的 出现提供了 一个直观的 模型.引出求等差 数列前n项 和的一般方 法：倒序相 加法。这样， 很自然过渡 到一般等差 数列。般的方法。根据以下各题中的条件，求相应的等差数列a n学生求解学生熟悉公公式

10、，同时由式的S :n2引出公式变形应1a=2, an=16, n=8用2a =6)d=3, n=10公公式 1： Sn n(a1an)学生小组讨论后得出结论： 两个公式都含后四个量，只是培养学生思 维的发散式2基本量不同而已：公式 1含性，为用函拓an-a1(n1)da1、n、an、Sn四个量，公数观点解决 数列问题做展教师沁公麻,何的熟?n(n22d式2含a1、n、d、Sn四个 量。铺垫培养学生观 察、比较、 分析、归纳 等能力公式等差数列第n项为an的首项为a1,公差为d,项数为 an,前n项和为Sn,请填写卜表:n,学生练习公式中一共台后五个量， 根据三个公式之间的联系， 由方简单模仿性

11、 练习，让学 生熟悉公巩aidnanSn程的思想，知二可求一。式，培养学生用方程固9220组思想 分析问题、 解决问题的 能力。并建 立知二求一 思想。2122492091519例题例1:S10在等差数列an中，第5项a50,求前20项的和S201,前10项和师生共同完成建立 等差数列前 n项和与解讲分析本例是使用等差数列的求和公式与通项公式方程之间的解求未知兀， 求解。可以米用公式2和通项公式联立方程组联系，让学 生体会方程 的思想。ZSrlo在维万尸In中a12 a0,求 S11 急来处理， :无法求解,学生思考学生不少学生首先对条 件作转化，希望能通过解方程 求出首项和公差，但发现条件

12、不够，不能解出这些基本量。公式的 应用除了 直接代入 的常规解 法及简单 的变用之例 题 讲 解I列2/LL中左奴夕D a(1)已知：a2 a5(2)已知：a6 2(1)用方程的思彳 够导致结算236,求S16但由于方程个数不 与 知二求一的思想产生强烈冲突外，还要注 意整体思(2)基本量 a1 , d表示,3等差性质的发现发现整体代入想在数学 解题中的 应用，培养 学生灵活 运用公式的能力课 堂 练 习1 .在等差数列 an中，d4, an 18,Sn 48,求a1的值2 .已知等差数列an ,其前四项和为21,末四项 和为67,所有项和为286,求项数n.学生课堂练习巩固方 程思想和 整体思想课堂小结1 .等差数列前n项和Sn公式的推导：