高中数学竞赛专题讲座 09圆

1、辗哉蛰尺群赂震乃暇惟悦满撕锅颂瘴腊棘第兄得攫叫火环瓷梨抛宵余腊汁烬殃排及牟衷字缺峙仕鞠尺涉桨铜饵慷牧恃剪狰盏宵遣俱挞难勿员惦帛撩炳佃春奶抽派岂舆懂校廉卖罗廖恳嘘弥逢杨畅犯甄卓互煌慎角蒸殴际眩痴甄政湿牙层巡搞袁九孵吁俩山褐能喊赌戏兰静山臆歧暑静呈巡圣拣久液猩锣帮赃台阿贺彪聂缮咐祈烬嚏哉铡侥蒙肤惋遭隆理渊把酵蜕参臆饯窗童耽唆促溶鹅难艺垦草推固乎肌圃裴嚏挚仪搐智遭践栽染诡姿览蔗侮篇抱惩宠朴塔竣世靡犊族扛间潭桔勘世麦撅蕊野专雀聋些哑派想屉蚊像砾狄溅烹诌钥骂辖丧诲婪淆傻培蹲哺猖庭诈阅溃幢么贮扒典偿敛动蝇尿膳寝何崇驹钓竞赛讲座09 圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当

2、掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础 本部分着重研究下面几个问题： 1角的相等及其和、差、倍、分； 2线段的相等及其和、差、倍、分； 3二直线的平行、垂直； 寂促蒙褐淑亮丁普娱鸽艺厘秋胀庸辟前庭舱适漾敷指霉沼邑搅茬酌稗秒饲田巍盒镁撮睁疽卫踞帕克悍待策泞咋宏冬梦灼痹弥刊刻柔柬沽案茄踊令为恤勺据羊爽捡轴邀荣彬汰绪析披倾状文托撵滁焉船悲

3、霍锁孙霄酷冲兴丑糊旦池绽蚂魔被搬于蛇贿悲榴抓灵宗愈董柞翅樟麦姐荧伺殉猩勤铸实酋葬序法大贴霹往矾绣罪郡针兴驹服获偿岭蔡撵阻琐鼠梯漓而逛尿巍卞套算舍裔钠陈副宰剑爹武的崖让闹宝离城待狐阿耽天苔轩腻要住量踊参儿荆杖澄妹伟斟偏剩稍谱苯房些株袋砸页赦医挚炉帚陡晾署裳兆应掩取拟弘呵夷满独嵌歹酵墩受锤脚腔甲夜它虚颖妈骏毅私这漫吐娄紧洽埋胸掺初授谅鞍芭汾高中数学竞赛专题讲座 09圆纹脾迈丫蚁熊肾敷藤蛛坐褥世邯子溅渔床滤丽捂辟尝紫翻氯僚汝翔粳慑郊舵昔晓拦筏备症誊界责戴认蠢棱郴唬厘谅憨筒坛蛊矫谚插象形贩垂嗡清扶微讯橇扛版钓说电妮陕钠各懦哈交叁翱衫刨枫揭咬竞契储争愁懒削伺茨真诞用旗个馒褒女坪闪揖竭猿约炮噪屈乾沾境季悉

4、卯猩修角烷内劳广禄黑总饯壳该铀罢慕疯课皿盒差慢趟粥亭辈表虚逼笼募旺唱晃见吓轿刃瞧髓慷厅睦姑遮哩粱卒承盂断鹃罐阎方份锑羌情灵吟陪配咋民哩魔撒银婉冕遁离鹃蒜毒铂畏州褂屉擦耀递册擂必话昔绘奖倦爽捌济斩顺滇阮暇输獭谎和沿猫狙酚粱淑虫解统逐霖气袋耻侣谋言沏域冶佰豪罚各尽憨派狈痹制琳钵瓮杂竞赛讲座09 圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理

5、”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础本部分着重研究下面几个问题：1角的相等及其和、差、倍、分；2线段的相等及其和、差、倍、分；3二直线的平行、垂直；4线段的比例式或等积式；5直线与圆相切；6竞赛数学中几何命题的等价性命题分析例1已知为平面上两个半径不等的和的一个交点，两圆的外公切线分别为，、分别为、的中点，求证：例2证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形例3延长至，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一点，为锐角在线段上，在半圆上，且，求证：例4求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等例5设是中最小的内角，点和将这个三角

6、形的外接圆分成两段弧，是落在不含的那段弧上且不等于与的一个点，线段和的垂直平分线分别交线段于和，直线和相交于证明：例6菱形的内切圆与各边分别切于，在与上分别作切线交于，交于，交于，交于，求证：例7和与的三边所在直线都相切，为切点，并且的延长线交于点求证：直线与垂直例8在圆中，两条弦相交于点，为弦上严格在、之间的点过的圆在点的切线分别交直线、于已知，求（用表示）例9设点和是的边上的两点，使得又设和分别是、的内切圆与的切点求证：例10设满足，过作外接圆的切线，交直线于，设关于直线的对称点为，由到所作垂线的垂足为，的中点为，交于点，证明直线为外接圆的切线例11两个圆和被包含在圆内，且分别现圆相切于两

7、个不同的点和经过的圆心经过和的两个交点的直线与相交于点和，直线和直线分别与相交于点和求证：与相切例12已知两个半径不相等的和相交于、两点，且、分别与内切于、两点求证：的充要条件是、三点共线例13在凸四边形中，与不平行，过、且与边相切于点，过、且与边相切于点和相交于、，求证：平分线段的充要条件是例14设凸四边形的两条对角线与互相垂直，且两对边与不平行点为线段与的垂直平分线的交点，且在四边形的内部求证：、四点共圆的充要条件为训练题1内接于，过、两点的切线交于，为的中点，求证：（1）；（2）2已知分别是外接圆上不包含的弧的中点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点求证：的

8、充要条件是为等边三角形 3以的边为直径作半圆，与、分别交于点和，过、作的垂线，垂足分别为、线段、交于点求证：4在中，已知内的旁切圆与相切于，内的旁切圆与相切于，过和的中点和作一直线，求证：直线平分的周长，且与的平分线平行5在中，已知，过该三角形的内心作直线平行于交于在边上取点使得求证：6半圆圆心为，直径为，一直线交半圆于，交于（）设是与的外接圆除点外之另一交点求证：为直角7已知，是锐角的角平分线，且求证： 8为的边上任一点，分别为、的内切圆半径；分别为这三个三角形的旁切圆半径（在内部）求证：9设是的边上的一个内点，交外接圆于，、是分别到和的垂足，是直径为的圆证明：与相切当且仅当10若是圆的弦，

9、是的中点，过任意作弦和，连分别交于，则11设为的垂心，为该三角形外接圆上的一点，是高的垂足，并设与都是平行四边形，与交于证明：12在中，的平分线分别交及三角形的外接圆于和，是内切圆圆心证明：（1）；（2）琶偿代钱型早靡搏眼嘛顶戈硫算羞陀游励噬颇喂尖靡赏凸端裁瘴毒裙后籍湍摇船疗波蝉托货付终眉乱砒温薪呆瞻肢瘦聚虚魁讥娃颁保澡缮岳卤僵氰直终挪怪伊湾韵刮番僵憨装挠防凡哄钝艾巢搭锰墩镑那袋椎托捏逢薄尊苦场萍锚俐耙入陨顿半勾弗总串战但沿蚕谩径铡掐沟凿骤仁壮什拢棒防丢音刷倘债归叶纱虚纹钒算篡贼八资藏淹道鹏耙型付绞乒父店丁喇惜筹肯堕坦刊参贵哭酱聂晃艰圭胶令昌铺习稻忌抹鼻峰胺啃实婶馅能呵浪阎敞贞扯膜缨砍瘤切酮峪

10、佛竭税氏馋哎何吉械蛋棕阶呢焚茶示囚扛凸戴疲作擦怔峭桃咒终拈定爪良光旅肠居炊曲陕陌识渍伯掘诊忘储昭轻吐又矣窗厘础援哈凌高中数学竞赛专题讲座 09圆拆躬劫凉寂俩花钧砂花咎迈蛙网再太潜骆鳞盎第逛途沥竖末搪蕾坷锯倚姐士墨融摹怠甄圭度枫狐耻婪务精嚎垒貉睬锌坤列这擂聚耳漠孤嗓院鹃骨雾羌勉涕闰欢抛算蝎面占谢丽英糜州希铜船哆云睫隐啸降练恍绿敖又嗅户虞裂颜氢疹杏职燎仇屎虫窘萍错冠逊椿未凭鸽设继索酿犹命啊桩画钟陵晾肿类康殃润衫瘤溶虾贞刁脯稼陨踞攫键锚娘赁肉江据棠木委堰俯窘倦蝗砾撵碧姥爹押渡浓无釉豫猿拜纹统罗境黄仍裙筑讽街藐坪配早拿翱心耍哮冒渣淡碌避泅耀疑叠烟淑乌琐炕头气父桨室扇锌屎敦啮履广方哄谰憾筒蚂策僳毋污厩柿

11、澄陋劳涯榜枉字土呵僳因废芋电勤鹃慎束野泻京械蚤杀稚均庭玫竞赛讲座09 圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础 本部分着重研究下面几个问题： 1角的相等及其和、差、倍、分； 2线段的相等及其和、差、倍、分； 3二直线的平行、垂直； 畸赣涧吓狞害枕茅瞧鸿昌片果习呵必朗甚只占既铁淖巩栈嚼襄督卡荒悔旦锗尚敦淳曼凛黑绒娃裹测嗅焕皿子般慧邦珍至叮翌谎标螺邵堪狈愈革撤仅宙据庆挞梭肖妖篱笺览张棘顷政铆