2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答从创新构造入手

1、第三十讲从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过发明性构造转化问题而使问题获解所谓构造法，就是综合运用多种知识和措施，根据问题条件和结论给出信息，把问题作恰当加工解决构造与问题有关数学模式，揭示问题本质，从而沟通解题思路措施构造法是一种发明性思维，是建立在对问题构造特点深刻结识基本上构造法基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新数学形式，初中阶段常用构造解题基本措施有：1构造方程；2构造函数；3构造图形；4对于存在性问题，构造实例；5对于错误命题，构造反例；6构造等价命题等【例题求解】【例1!设ai、a2、bi、b2都为实数，aia2，满足(aibi)(aib

2、2)(a2bi)(a2b2),求证：(a1b1)(a2b1)(a1b2)(a2b2)1思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试仔细观测已知等式特点，ai、a2可看作方程(xbi)(xb?)i两根，则(xbj(xb?)i(xaj(xa?)，通过构造方程揭示题设条件与结论内在规律，解题思路新颖而深刻注：一般说来，构造法涉及下述两层意思：运用抽象普遍性，把实际问题转化为数学模型；运用品体问题特殊性，给所解决问题设计一种框架，强调数学应用数学建模是前一层意思代表，而后一层意思“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等.【例2】求代数式.x22x2.x24x13最小值.思路

3、点拨用一般求最值措施很难求出此代数式最小值.x22x2X24x13(x1)2(01)2(x2)2(03)2，于是问题转化为：在x轴上求一点C(1,0)，使它到两点A(一1,1)和B(2,3)距离和(CA+CB)最小，运用对称性可求出C点坐标这样，通过构造图形而使问题获解.【例3】已知b、c为整数，方程5x2bxc0两根都不不不小于1且不不小于0,求b和c值.思路点拨运用求根公式，解不等式组求出b、c范畴，这是解本例基本思路，解法繁难.由于二次函数与二次方程有深刻内在联系，构造函数，令y5x2bxc,从讨论抛物线与x轴交点在1与0之间所满足约束条件入手.【例4】如图，在矩形ABCD中，AD=a，

4、AB=b，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D连线将此矩形提成三个彼此相似三角形？若能找到，这样E点有几种？若不能找到，请阐明理由.思路点拨假设在AB边上存在点E，使RtADEsRgBECsRtECD，又设AE=x，则有几种实根研究，通过构造方程解决问题【例5】试证：世界上任何6个人，总有3人彼此结识或者彼此不结识思路点拨构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间关系看作染成颜色线段例如2个人彼此结识就把连接2个人相应点线段染成红色；2个人彼此不结识，就把相应线段染成蓝色，这样，有3个人彼此结识就是存在一种3边都是红色三角形，否则就是存在一种3边都是蓝色三角形，这样本题就化作：已

5、知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色三角形注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要思想措施，重要体目前：(1) 几何问题代数化；(2) 运用图形图表解代数问题；(3) 构造函数，借用函数图象探讨方程解运用代数法解几何题，往往是以较少量字母体既有关几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明特别地，证明几何存在性问题可构造方程，运用一元二次方程必然有解代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置也许性有些问题可通过变化形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使

6、问题清晰且易于把握对于存在性问题，可根据问题规定构造出一种满足条件结论对象，即所谓存在性问题“构造性证明”学历训练(1)在梯形对称轴上求作点P,使从点P看两腰视角为直角;1.若有关x方程(1m2)x22mx10所有根都是比1小正实数，则实数m取值范畴是.2. 已知a、b、c、d是四个不同有理数，且(ac)(ad)1,(bc)(bd)1,那么(ac)(bc)值是.3. 代数式,x24.(12x)29最小值为.4. A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则尚未与B队比赛球队是.5. 若实数a、b满足a2abb21，且taba2b2

7、，则t取值范畴是.6. 设实数分别s、t分别满足19s299s10,t299t190,并且st1，求St：s1值.27. 已知实数a、b、c满足(ac)(abc)0，求证：(bc)4a(abc).&写出10个不同自然数，使得它们中每个是这10个数和一种约数，并阐明写出10个自然数符合题设条件理由.9.求所有实数x，使得xi；xx10.若是不全为零且绝对值都不不小于106整数.求证:a,2b.3c1102111. 已知有关x方程x23x1k有四个不同实根，求k取值范畴.12. 设0x,y,z10，求证x(1y)y(1z)z(1x)1.13. 从自然数1,2,3,354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们差为177.14. 已知a、b、c、d、e是满足abcde8,a2b2c2d2e16实数，试拟定e最大值.(2) 求点P到两底边距离；(3) 在什么条件下可作出P点?参照答案風从斷构壇入手【侧甄求篇】例i1.u-是方醴1工+&1"!&_!】一的雋亠白+虽)一*tJfliXfr|IM(d|+4)g十嘉)=卜疋=氛