实际问题与一元二次方程

1、数学思维专题训练实际问题与一元二次方程一、选择题1、某县为执行“两免一补”政策，2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元.设这两年投入教育经费年平均增长率为x，则下列方程正确的是（  ）A. B. C. D.2、某公司2005年缴税60万元，2007年缴税80万元，设该公司这两年缴税的年平均增长率为，则得到方程（  ） A.  B. C. D.3、在一幅长80cm，宽50cm的矩形北京奥运风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【&

2、#160; 】A.x2+130x1400=0B.x2+65x350=0 C.x2130x1400=0   D.x265x350=04、某商店购进一种商品，单价为30元试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=100-2X.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（   ）.A B C  D5、为打造森林重庆，重庆市政府提出2017年我市森林覆盖率达到45%的目标。已知2008年我市森林覆盖率已达到34%，若要在2010年使全市森林覆盖率达到38%，设从

3、2008年起我市森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（    ）A   B C   D二、填空题7、如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm，宽为3km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为     .8、如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，则水渠的宽应挖_m。9、某药品原价每

4、盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是_10、已知直角三角形的两直角边长分别是方程x2-17x+60=0的两根，则此直角三角形的周长为_11、已知x1, x2分别是一元二次方程2x26x =1的两根, 则        。 12、用一块长80cm，宽60cm的长方形薄钢片，在四个角口截去四个相同的边长为xcm的小正方形（如图所示），然后做成底面积为1500cm2的没有盖子的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（  

5、60; ）Ax270x +825=0  Bx 2+70 x825=0 Cx 270 x825=0  Dx 2+70 x +825=013、一个“QQ”群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有72条信息，在这个“QQ”群里有             个好友14、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降

6、价1元，商场平均每天可以多售出2件（1）若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？ 15、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完该公司对第一批产品A上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：其中，图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系，图中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系  (1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式，(2)第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大

7、日销售利润是多少万元?四、简答题16、如图所示，甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为l千米分，乙的速度为2千米分，若正方形广场的周长为40千米，问几分钟后，两人相距2千米? 17、如图，在ABC中，C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8cm2?（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半。若存在，求出运动的时间；若不存在

8、，说明理由。18、萧山汇德隆家电商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？20.将一条长为20cm铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）

9、要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.25、小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你根据各方案帮小明求出图中的x值。方案一         方案二 方案三      方案四26、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若

10、梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？28、永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地. “永定土楼”模型深受游客喜爱. 图中折线（ABCDx轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系.    （1）求当10x20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型  总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？(总金额=数量×

11、;单价)29、为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 30、如图所示，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9？请说明理由（写出证明及计算过程）31、如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形

12、和一个正六边形，其中正五边形的边长为()，正六边形的边长为()cm（其中)，求这两段铁丝的总长五、计算题35、一个两位数：它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数。39、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地   怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?参考答案一、选择题1、B 2、D; 3、 B 4、A 5、C 6、 二、填空题7、4km或5km 8、1 9、20% 10、30 11、40 12、A 13、3014、【解】（1）y（40x ）（

13、2 x20）2 x260 x800（2）当y1200时，2 x260 x8001200，   x110，x220  要尽快减小库存，  x20（3）y2（x15）21250，故每件降价15元时，最多盈利可达1250元15、解：设该厂品的平均年增长率为x,由题意得           400+400（1+x）+ 400（1+x）2=（600+600×+600××）（1+）   整理得 &#

14、160; x2+3x-397=0           （2分）解得  （不合舍去）  30           答：三年内该产品收入的年平均增长率为30。      四、简答题16、解：设分钟后，两人相距2千米，此时     CF=，BE=2在RtCEF中， CF=，CE=102，EF=2

15、由勾股定理，得  CF2+CE=EF2即    2+ (10一2)2=(2)2整理，得   52一40+60=0   解得     1=6，2=2 而当=6时，CE=102<0，不合实际，应舍去          =2答：2分钟后，两人相距2千米17、解：（1）设x秒后，PCQ的面积为8，则（6x）×2x÷2=8，解得X1=2, X2=4，经检验都符合题意；（2

16、）不存在（3分）设x秒后，PCQ的面积为ABC的面积的一半，则（6x）×2x÷2=6×8÷2÷2，（4分）此方程无解，所以不存在。18、（1）y =（24002000x）(8+ )     （2）当利润为4800元时，                       要使百姓得到实惠  

17、60;   每台冰箱应降价200元（3）当=150时，=5000 当每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高为5000元19、解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FGBC于G，过点A作AKBC于K.则可得，FG×4，所以SBEFBE·FGx2+x（7x10）.（2）存在.由（1）得x2+x14，解这个方程，得x17，x25（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE7.（3）不存在.假设存在，显然有SBEFS多边形AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+D

18、C)12.则有x2+x，整理，得3x224x+700，此时的求根公式中的b24ac5768400，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x25时，并不属于7x10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.20、解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20x）cm.则根据题意，得+17，解得x116，x24，当x16时，20x4，当x4时，20x16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成

19、两段后其中一段为ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得+12，整理，得y220y+1040，移项并配方，得(y10)240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定.若b24ac0，方程有两个实数根，若b24ac0，方程没有实数根，本题中的b24ac160即无解.21、 解：设矩形广场四角的小正方形的边长为米，根据题意，得： （1分）           （4分）整理，得：   

20、;           （5分）解之，得： x=35(舍去) x=10             （7分）答：矩形广场四角的小正方形的边长为10米.  （8分）22、解都能.（1）设小路宽为x，则18x+16xx2×18×15，即x234x+1800，解这个方程，得x，即x6.6.（2）设扇形半径为r，则3.14r2×18×15，

21、即r257.32，所以r7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.23、 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×252500027000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解这个方程，得x145，x230.当x45时，100020(x25)600700，故舍去x1；当x230时，100020(x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.24、解：25人的费用为2500元&l

22、t;2800元，参加这次春游活动的人数超过25人 设该班参加这次春游活动的人数为x名 根据题意，得 分    整理，得         解得 ，当时，不合题意，舍去.当时，符合题意  答：该班参加这次春游活动的人数为35名 25、解：据题意，得        解得：x112，x2=2          x1不合题意，舍去 

23、60;      x226、解依题意，梯子的顶端距墙角8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86

24、m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解这个方程，得x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.27、解：（1）5,2.5 28、解：（1）当10 x 20时，设y = kxb（k0）        依题意，得          解得&#

25、160; 当10 x 20时，y =5x250     （2）10 × 200 < 2625 < 20 × 15010 < x < 20 依题意，得xy = x（5x250）= 2625         即x250x525 = 0解得x1 = 15， x2 = 35（舍去）只取x = 15.          答：该旅游团共购买这种土楼模型15个 29、30、 &

26、#160;  解：          在正方形ABCD中，ABBCCDDA1，    ABCD90°                          四边形A1B1C1D1为正方形         

27、                     31、解：由已知得正五边形周长为，正六边形周长为因为正五边形和正六边形的周长相等所以整理得，配方得解得，（舍去）故正五边形的周长为又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm32、解：（1）（人）（人）所以，本次共调查了500人，有12人参加合作医疗得到报销款（2）参加合作医疗的百分率为，所以该镇参加合作医疗的村民有（人）设年增长率为，由题意：得解得，（

28、舍去），即年增长率为五、计算题33、解：（1）当每件商品售价为170元时，比每双鞋售价130元高出40元，即170130=40（元），则每天可销售鞋30双，即7040=30（双） 商场可获日盈利为（170120）×30=1500（元）  （2）设商场日盈利达到l600元时，每双售价元则每双鞋比130元高出（元），每双可盈利（），每日销售鞋为双。依题意，得整理得，解得所以每双鞋售价为l60元时，商场日盈利可达到1600元。34、解：设小正方形的边长为  由题意得，  解得，. 经检验，符合题意，不符合题意舍去. .答：截去的小正方形的边长为.35、解：设十位数字为，则个位数字为，由题意，得