微积分第五节 极限存在性定理与两个重要极限

1、1定理定理 1010( (夹逼定理夹逼定理) ) 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 00()()(1)( )( )( ),(2) lim( ),lim( ),xxxxxxg xf xh xg xah xa 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于 a. . 第五节第五节 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限一、极限存在定理一、极限存在定理2注注 数列也有类似的夹逼定理数列也有类似的夹逼定理如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : 那末数列那末数列ny的极限存在的极限存在, , 且且lim

2、nnya. . (1)(1,2,3)nnnxyzn(2) lim,lim,nnnnxaza证略。证略。3单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx称单调增加称单调增加,121 nnxxxx称单调减少称单调减少单调数列单调数列定理定理 11 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。4例例2-242-24).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn2limnnnn又, 1 2lim1nnn, 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)1211

3、1(lim222 nnnnn5D)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆sin, tan,xACxABxAD于是有弧oAOBD过 作切线交于,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形ACOB作下面利用夹逼准则证明一个重要的极限下面利用夹逼准则证明一个重要的极限: : 1sinlim0 xxx,tansinxxx BxAC6,tansinxxx , 1sincos xxx,20时时当当 x1 cosx2sin22x 2)2(2x ,22x 2sin1cos12xxxx即上上式式三三者者均均为为偶偶函函数数, ,故故当当02 x 时时, ,上上式式也也成成立立. . 即即,1coslim

4、0 xx)0( sin xxx即即7思考：思考：?sinlim xxx1sinlim 某某过过程程就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上, 1sinlim0 xxx x特征:1分母 是无穷小2 正弦角与分母一致00作用:计算型未定式含三角函数表达式的极限 x特征:1分母 是无穷小2 正弦角与分母一致8解解xxxxcos1sinlim0 所以所以0limsinuuu原式1.例例2-25(1)2-25(1)xxxtanlim0 xxxxxcos1limsinlim00 .1 )0( tanxxx例例2-25(2)2-25(2)xxxarcsinlim0)0( arcsin

5、xxx9解解所以所以0limtanuuu原式1.例例2-25(3)2-25(3)0arctanlimxxxarctan (0)xxx 10例例2-25(4)2-25(4).cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式2022sin2lim4( )2xxx.21 )0( 21cos12 xxx11,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等价无穷小常用等价无穷小: :,ln1axax xx 1)1 ( 运用运用P36P36性质性质6 6无穷小等价替换定理无穷小等价替换定理, ,可以简化可以简

6、化某些极限的求解过程某些极限的求解过程12例例2-26(1)2-26(1)0sinlim.sinxaxbx解解0limxaxbx原式.absin(0)xx x 13例例2-26(2)2-26(2)01 cos2lim.sinxxxx解解201(2 )2limxxx x原式2.211 cos(0)2xxxsin(0)xx x 14例例2-26(3)2-26(3)0lim cot .xxx解解0limtanxxx原式1tan(0)xx x 15例例2-26(4)2-26(4)21sin(1)lim.1xxx解解1sin(1)lim(1)(1)xxxx原式11lim(1)(1)xxxxsin(0)x

7、x x 11lim1xx1216例例2-26(5)2-26(5)sinlim.xxx解解sin()limxxx原式sin(0)xx x 117例例2-26(6)2-26(6)0sin2lim.sin2xxxxx解解0sin222limsin222xxxxxxxxx原式11211213 18例例2-26(7)2-26(7)0tansinlim.xxxx解解00tansinlimlimxxxxxx原式1 10 注注0lim0 xxxx原式0lim0 xxxx原式注注0lim0 xxxx原式19例例2-26(8)2-26(8)30tansinlim.xxxx解解30tan (1 cos )limxx

8、xx原式23012limxxxx12注注30lim0 xxxx原式20e)11(lim nnn下面利用定理下面利用定理1111证明另一个重要的极限证明另一个重要的极限: : 1(1)nnxn先证单增1(1)nnxn231(1)1(1)(2)1(1)(1)111!2!3!nnn nn nnn nnnnnnnn 1111211211 11111112!3!nnnnnnnn 211111121 11112!13!11nxnnn 又1121111!111nnnnn112111(1)!111nnnnn比较 、 展开式的各项可知，除前两项相等外，从第三项起， 的各项都大于 的各对应项，而且 还多了最后一个

9、正项，因而nx1nxnx1nx1nx1nnxxnx即为单增数列22nx再证有界如果 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得nx211111111 11 12!3!222nnxn 111121331212nn nx故有上界23综综上上所所述述，nx单单调调增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn 11lim存存在在, ,记记为为e. . 无理数无理数597182818284. 2e 以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数， .ln logexx记记作作e)1(lim10 xxx可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 e)11(lim xxx或或1 24e)11(lim xxx1作用: 型未定式幂指函数的极限1 = 特征:1 底数无穷小2 指数 无穷大，且与底数的无穷小互为倒数25例例2-272-271(1)lim(1) .xxx求解解 1