平面问题的极坐标解答-2

1、4 4-4 -4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 直角坐标下的应力分量x、y、xy和极坐标下的应力分量r、r可以通过坐标变换相互求得，这种表示两个坐标系中应力分量的关系式，称为坐标变换式已知 x、y、xy ，如何求r、j、rj？abab沿沿y y方向，方向，acac沿沿x x方向，方向，bcbc沿沿j方向，长度为ds，各边应力分量如图所示xxyyyxrrjAxyoacbjj从物体取小三角板A，包含x面、y面和r面，如图所示，其厚度为1。ab=dscosj ac=dssinj建立平衡方程：0Fr1cos1cossin1sincos1sinsin1cos0 xyxyyxdsdsdsdsd

2、srjjjjjjjj 22cossin2sincosxyxyrjjjj(a)同理，由平衡方程：0Fj22)(sincos(cossin)yxxyrjjjjj(b)为求j，另取微单元B，包含x面、y面和j面,各面上的应力分量如图所示，板厚为1xBxyojjyyxxyjrj由平衡方程 得： 0Fr22sincos2sincosxyxyjjjjj(c)由平衡方程：0Fjrjjr应力分量由直角坐标向极坐标的坐标变换式：22cossin2sin cosxyxyrj jjj22()sincos(cossin)yxxyrjjjjj22sincos2sincosxyxyjjjjj(4-7)应力分量由极坐标向直

3、角坐标的坐标变换式：22cossin2sincosxrjrjjjjj22()sin cos(cossin)xyrjrjjj jj22sincos2sincosyrjrjjjjj(4-8)4 4-5 -5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移一、轴对称问题的应力分量一、轴对称问题的应力分量 应力绕z轴是对称的，则在任一环线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z轴，所以，应力分量也是轴对称的。应力分量在极坐标中只是r的函数，不随j而变化；切应力rj为零。轴对称应力状态下的应力函数为：轴对称：轴对称：物体的形状或某一物理量绕一轴是对称的，凡通过对称轴的任何面均为对称面。 r 将应力函数代

4、入相容方程得：2221()0ddddrrr 该方程为高阶微分方程（欧拉方程），其通解为：相应的应力分量为：1 ddrrr22ddjr0rjjr(4-9)432432232110ddddddddrrrrrrr即22lnlnABCDrrrr(4-10)其中，A、B、C、D是待定常数相应的轴对称应力分量由此可以看出，应力分量只是r得函数，不随j而变化，且只有正应力，无剪应力2(12ln)2ABCrrr2(32ln)2ABCjrr 0rjjr(4-11)二、轴对称问题的应变和位移二、轴对称问题的应变和位移1 1、应变分量、应变分量21(1)(13)2(1)ln2(1)ABEBCrrr21 (1)(3)

5、2(1)ln2(1) ABEBCjrr0rj 由此可见，应变分量也只是r的函数，与j无关，即应变绕z轴对称2 2、位移分量、位移分量21(1)(1 3 )2(1) ln2(1) uABBCErrrrr211 (1)(3)2(1) ln2(1) uuABBCErjjrrr jr 10uuurjjrjrrr(a)积分第一式得：1 (1)(1 3 )2(1)(ln1)2(1)( )AuBBCfErrrrrjr(b)将(b)、(c)代入(a)式中第三式，有11( )1( )11( )( )0dfdffdfddrjjjrrjrrr积分第二式并结合(b)式得：14( )()BufdfEjrjjjr(c)整

6、理后得：11()( )()( )dfdfffdddrjrrjjrj此式左边是r的函数，右边是j的函数，要使左边与右边保持相等，只可能等于同一常数F，即11()()dffFdrrrr(d)(e)( )( )dffdFdjjjj由（d）式求得：1( )fHFrr(f)由（e）式求得：( )cossinfIKjjj(g)将以上各式代入位移分量得表达式，可得轴对称应力状态下得位移分量：( )sincosfdFIKjjjj(h)上式中A、B、C、H、F、I、K是待定常数，且H、I、K 为刚体位移1 (1)(13)2(1)(ln1)2(1)cossinAuBEBCIKrrrrrrjj4sincosBuHI

7、KEjrjrjj(4-12)将上述变形公式中的E E/（1-2）； /（1- ），就得平面应变问题中轴对称问题的变形和位移公式4 4-6 -6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q1 q2 rR例例1.1. 图示圆环或圆筒，内半径为r，外半径为R，受均布内压q1和均布外压q2作用利用边界条件求待定常数A、B、C 由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式2(12ln)2ABCrrr2(32ln)2ABCjrr 0rjjr(4-11)0rrjr0Rrjr恒满足1rqrr2Rqrr边界条件：qa qb 12(12 ln)2ABrCqr 22(12 ln)2ABRCqR

8、(b)由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件考察环向位移4sincosBuHIKEjrjrjj4BErj 是多值项，对于同一r，当j不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的根据位移单值条件，可知：B=0上述边界条件变为：122ACqr 222ACqR 222122()r R qqARr2212222q rq RCRr则圆筒受均布压力的拉梅解答如下：22221222221111RrqqRrrRrrr 22221222221111RrqqRrrRjrr(4-13)讨论只有内压或只有外压单独作用的情况1、只有内压力的作用：q2=02212211RqRrrr 2

9、212211RqRrjr结论：r总为压应力，j为拉应力，应力分布如图所示。rjq1 当圆环或圆筒的外半径R时，它就成为具有圆孔的无限大薄板，或具有孔道的无限大弹性体，应力分量为212rqrr212rqjr应力与r2/r2成正比，当rr时(即距圆孔或圆孔道较远之处)，应力分量很小，可不计。这也证实了圣维南原理2222211rqrRrr 2222211rqrRjr 2、只有外压力的作用：q1=0r 和j 都是压应力,应力分布如图所示：rjq24-7 4-7 压力隧洞压力隧洞 埋在无限大弹性体中的圆筒受有均布压力q，如压力隧洞。材料性质不同，不符合均匀性假定，不可用同一个解答。rjrjrrRqOE,

10、 E, 接触问题（边界接触）必须考虑界面上的接触条件。无限大弹性体可视为内半径为R，而外半径为无限大的圆筒。与圆筒都是轴对称问题，可引用轴对称应力（4-11）和位移解答（4-12）圆筒解答中的系数为A、B和C，无限大的弹性体为A、B和C。由位移单值条件可知B=B=0。圆筒的应力表达式为：22ACrr22ACjr (c)无限大弹性体的应力表达式为：22ACrr22ACjr (d)利用边界条件求解常数A、B、A和B1）圆筒内侧，边界条件为 (r)r=r=-q，则有：22ACqr (e)2) 远离圆筒处，依圣维南原理，应力0，则有0rr0jr则有：20C(f)3) 在圆筒和无限大弹性体的接触面上，有

11、：RRrrrr于是有：2222AACCRR(g)4) 接触边界上，圆筒和无限大弹性体有相同位移，即RRuurrrr经整理，圆筒和无限大体的径向位移表达式分别为：12 1 2cossinAuCIKErrjjr12 1 2cossinAuCIKErrjjr(h)使二者相等应有：12 1 2cossin12 1 2cossinACIKEACIKErjjrrjjr由于此式在接触面上任一点均成立，则两端的自由项必相等，于是有：112 1 22 1 2AACRC RERER经简化并结合式(f)，得：222 120AAnCRRR(i)其中，11EnE(4-15)利用(e)、(f)、(g)、(i)求得各系数后，得圆筒的应力分量表达式为：222211211121RnnqRnnrrr 222211 2111 21RnnqRnnrjr无限大体的应力分量表达式为：22222 11121RnqRnnrrjr 当n1时，应力分布大致如图所示。rjrjrrRqOE, E, 由于轴对称，切应力为0的边界条件，和接触面上的环向应力和位移的接触条件均自然满足。了解接触：完全接触：两弹性体在接触面上的正应力和