学而思初三数学暑假班第5讲相似三角形的简单模型提高班教师版

1、暑期班第四讲林|你写的嘱这篇作文售疗占小龙岫蛀界5相似三角形的简单模型花满分晋级一三角形14级锐角三角函数领先中考培优堞程初三暑期第5讲提高班教师版*一!4三角形12级暑期班第五讲抄作业风波相似三角形的性质与判定漫画释义三角形13级相似三角形的简单模型这不奇怪中考内容中考要求ABC图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两

2、个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题rJIK中考考点分析三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。知识互联网估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。年份2010年2011年2012年题号34,2011,20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；

3、三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合初三暑期第5讲提高班教师版领先中考培优课程*4位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形.位似中心：对应顶点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心.位似比：相似比叫做位似比.位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.如图所示，已知4ABC与4ABC是位似图形，点O为位似中心，那么OAOBOCABACBC一一kOAOBOCABACBC（k为位似比）ADB方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（【例1】如图，正方

4、形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=3J2,若点A的坐标为（1,2）,则正（2012广西玉林）A.-B.1C.1D.26323三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示若OA20cm,OA50cm,则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A.5：2B.2：5C.4：25D.25：4如图，ABC与AiBiCi为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1:2,已知ABC的面积为3,那么A1B1cl的面积是.（2012辽宁阜新）（2013西城期末）【解析】BB12模块二相似三

5、角形的两种基本模型知识导航图形重要结论AbH1人人ADAEDEDE/BCADEABCABACBC大D乙、cAB/CDAOBsCODCDOCODADECBAD18AAB2DE(2012贵州遵义B10D13CB9D为BC中点FB的值FECBD构造基本相似模型作平行线EEEAFCCBDBBDEEAFS四边形bced如图，在ABC中C.12AF:FB=A.91:4DEBBCAD2BD，DE6DEBBC如图，在ABC则BC=DMCEMSABC的面积为EF:FD=2:3,试求.AFdM,.AF,AF.AFMCCCBDDBDMB能力提升【例4】如图，AD和BC相交于点E,AB/CD/EF.求证：ABCsFE

6、C,ACDsAFE.求证:111ABCDEF【解析】ABIICD/EFBACEFC,ABCFECACDAFE,ADCAEF.AABCAFEC,ACDAFE由可知ABCsFEC,ACDsAFE.旦AB.耳AB即EFCFEF,ACCDEFCFCDAC11ABCDAFACAFACCFAFAC111ABCDEF【例5】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面.甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.（2013大兴期末）【解析】甲同学的加工方法好3.AB=

7、-,5AC=ABBC=-.2如图甲二.四边形DBFE是正方形，.DE/AB.1.ACDEACBA.,DECD.ABCBx3.x=设DE=x，则CD=2-x,2x如图乙过B点作BMAC于点M交DE于点N,由Saabc=-ABBC=ACBM,可得BM=.DE/AC,.BNIDE.BDEABAC.DE型ACBM设DE=y,733=yy-523037甲同学的正方形面积大【例6】在4ABC中，BDCE,DE的延长线交BC的延长线于P,过C作CM/AB交DP于M,求证:ADBPAECP.【解析】:CMIIAB,PCMspbd,CMBDPCPB.CM/AB,.CEMsMED,CMCEADAE初三暑期第5讲提

8、高班教师版,CMCMce-bdPCAD.PCAD,.ADBPAECPPBAE探索创新【例7】如图，n1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上C3B3证明：AC2D2sAC3B3,并写出设BaDiCi的面积为Si,4B3D2c2的面积为&,，BniDnCn的面积为Sn,则S2；Sn（用含n的式子表示）.【解析】C1C2B2和AC2c3B3都是等边三角形C1C2B2C2c3B360又C2AD2C3AB3.AC2D2sAC3B3,c2d2ac2CKAo!2、33n,.3n171下列说法正确的是.有两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形

9、相似.【解析】.初三暑期第5讲提高班教师版领先中考培优课程第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究;三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，正方形有4个顶点，而即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，RtAABC(Z0=90)中有三个内接正方形,米，猜想第三个正方形的边长PQ的长.【解析】GFEFEG963,设PQx,GK/PQ,.FKG=/KQP.又/FGK=/KPQ=90；FGKAKPQ.FGGK一.KPPQ36,6xx解得x4.答：第三个正方形的边长为4厘米.DF=9厘米，GK=6厘【变式3】如图所

10、示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形,ADXBC,垂足为D,BC=21cm,AD=14cm,EF:FG=1:2,求矩形EFGH的面积.【解析】如图，设矩形的边长EF=x,则FG=2x,四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形,.EH/BC,EH=FG,AEHAABC,又.“口，30,则ID=x,AIADID,EHAI,BC=21cm,AD=14cm,BCAD2x14x2114解得，x=6cm,即2x=12cm,.S矩形EFGH=EFXFG=62=72cm2.答：矢I形EFGH的面积为72cm2.【变式4】四边形ABCD为正方形，D,E在线段AC,BC上，F,G在AB上，如果SADFSCDE

11、1,SBEG3,求ABC的面积.【解析】辅助线同变式2.设正方形边长为x,则22.6AF,CI-,BG.xxx,/日CIDE由CDEsCAB，得,CHAB领先中考培优堞程初三暑期第5讲提高班教师版x2-xx-，解得x2,8-xxAB6,CH3,1一SABCABCH92【变式5】如图，在AABC中，AB=5,BC=3,AC=4,动点E（与点A、C不重合）在AC边上，EF/AB交BC于F点.试问在AB上是否存在点P,使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长.【解析】如图过E（或F）,分别作AB垂线，垂足为P（或P2）,当EFFPi（或EFFP2）时，,（或EFP

12、2）为等腰直角三角形.过C作CHAB于H,交EF于Q,则EFQH,设EFQHx,ABCHACBC,得CH2.4ABCsEFCEFCQ口nx2.4x一,即ABCH52.46060x,.EFx3737作EF的中垂线DP,交AB于P,当2DPEF时EFP为等腰直角三角形.设EFx,则DP0.5x.ABCsEFCEFABCQPl_lCH即-52.40.5x2.4120120解得x即EFx.4949【变式6】如图，在4ABC中，/C=90,AC=4,BC=3,四边形DEFG为AABC的内接正方形,若设正方形的边长为x,容易算出x的长为60.37探究与计算：(1)如图132,若三角形内有并排的两个全等的正

13、方形，它们组成的矩形内接于ABC,则正方形的边长为(2)如图133,若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于则正方形的边长为.猜想与证明：如图134,若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明.ABC,ABC,请你【解析】探究与计算:60.猜想与证明：若61三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC,正方形的边长是60.证明如下:2512n如图2,过点C作CNXAB,垂足为N,交GF于点M.设小正方形的边长为x.四边形GDEF为矩形,.GF/AB.CMLGF.容易算出12CD一5CMGFCNAB12x即

14、5一125nx560二x=2512n即小正方形的边长是602512n初三暑期第5讲提高班教师版11思维拓展训练（选讲）训练1.如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N、交CB延长线于点P使PBBC,若MN1,PN3,则DM的长为.【解析】2.训练2.三个边长分别为2、3、5的正方形，则Sekmg【解析】154训练3.如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G,若BE5,EF2,则FG的长是.【解析】10.5训练4.D,E在线段AC,BC上，F,G在AB3,求4ABC的面积.如图，已知4ABC中，四边形DEGF为正方形,上，

15、如果SaadfSacde1,Sabegx一2-xxSaabc【解析】过点C作CHAB于点H,交DE于I.226设正方形边长为x,则AF,CI,BG.xxx由CDEsXCAB，得红生，CHAB2解得x2,8-xx1cABCH9.2A23E二,MD；12知识模块一位似课后演练【演练1】如图，在119的正方形网格中，4TAB的顶点坐标分别为T1,1,A2,3,AB4,2.以点T1,1为位似中心，按TA:TA3:1在位似中心的同侧将4TAB4,一领先中考培优座程初三暑期第5讲提高班教师版13放大为TAB,放大后点AB的对应点分别为A、B.画出TAB,并写出点A、B的坐标.【解析】如图所示，点A、B的坐

16、标分别为4,7、10,4BPBD.PBDspCM,CPCMA4,14,CMCEABOBACM/AB,1又ADAE,223T二目O【解析】如图，过C作CM/AB交DP于M,DECM/ABBCPBCPT知识模块二相似三角形的两种基本模型课后演练【演练2】已知:如图，直线DE和BC的延长线相交于P,ADAE.求证:BPBDCPCE.BPCPBDCE【演练3】如图，【解析】DEII已知DE/AB,AB,OA2OCOE,求证：ADIIBC.AAOBAEOD,OEOA一_2_又OAOCOE,OEOAOAOCODOBOAOCAODCOB,AAODACOB,DAOBCO,ADIIBC1中正【演练4】如图1,图

17、2,两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形.如果图方形的面积是81,求图2中正方形的面积.【解析】正方形AEDF的面积为81,所以正方形又ABC为等腰直角三角形ZB/C45AEDF的边长为故4BDE和4CDF是等腰直角三角形BEDEDFCFABAC18/A/BDG90，/AGF/B45故AAGF和ABDG都是等腰直角三角形18x设AGx,则BG18x,FG&x,DG初三暑期第5讲提高班教师版领先中考培怵课程2.一一短x18x,解得x62.FG62图2中正方形的面积为72.【演练5】ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上,BC15,BC边上的

18、高AD10,求S正方形EFGH.【解析】设正方形AM则有ADEFGHHGBC的边长为x,AD、HG的交点为M,即10x21015解得，x36课后测训练1.如图，矩形ABCD中，BEAC于点F，点E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）C.D.EFAFCFAC1212EFB.CFd.CFAF训练2.如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G,若BE5,EF2,则FG的长是.10.5训练3.如图，把4PQR沿着它们重叠部分的面积是则此三角形移动的距离PQ的方向平移到4PQR的位置,PQR面积的一半，若PQJ2PP是（）C.1D.我1雷妮与DOB第十七种品格:美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。在艰难的生活之中，雷妮也曾绝望，也曾丧失信心，甚至还有过轻生的念头。但她终于坚持了下来，她下定决心，以后一定要干出一番事业，让自己的子女不再过这种艰