相似三角形A字模型含详细答案-经典

1、教师辅导教案授课课时：课时授课日期：年月日学员姓名年级辅导科目数学学科教师班主任授课时间教学课题教学目标教学重难点课前检查作业完成情况：优口良口中口差口建议：教学内容、相似三角形的性质1 .相似三角形的对应角相等ABC与ABC'相似，则有/A=/A1/B=/B'，/C=/C'.2 .相似三角形的对应边成比例ABC与AABC，相似，则有空=里=半=女（k为相似比）ABBCAC3 .相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.ABC与ABC相似，AM是ABC中BC边上的中线，AM'是A'B'C中B。边上的中线，则有ABBCA

2、CAM/=*=k=b（k为相似比）.ABBCACAM ABC与AABC相似，AH是AABC中BC边上的高线，A'HAA'b'CBC'边上的高线，则有ABBCAC,AH=k=一；（k为相似比）.ABBCACAH ABC与ABC相似，AD是AABC中/BAC的角平分线，AD'是A'BC'中/BAC'的角平分线,ABBCAC.AD,则有一=一=;=k=一;一；（k为相似比）.ABBCACAD4 .相似三角形周长的比等于相似比.ABC与ABC'相似，则有AB-t=BC-i=-AC-p=k（k为相似比）.应用比例的等比性质有ABBC

3、ACAB=B=AC=AB+BC+AC=kABBCACABBCAC5 .相似三角形面积的比等于相似比的平方.ABC与ABC，相似，AH是ABC中BC边上的高线，AH'是A，BC'中BC,边上的高线，则有ABBCACAH=k=ABBCACAHk为相似比）.进而可得S»AABCSaaBC1BCAH211BCAH2BCAHBCAH、相似三角形的判定1 .平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等，两个三角形相似.3 .如果一个三

4、角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4 .如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例，两个三角形相似.5 .如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似.6 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 .如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.那么三、相似证明中的基本模型A字形图A字型，DE/BC;结论:AD

5、AEDEABACBC'【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（已知：如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，且DE/BC,DF/AC,求证：ADEsDBF.证明：又:DF/AC,:DE/BC,./A=ZBDF,./ADE=ZB,.AD®DBF.A.B.C.D.【解答】证明：:DE/BC,./ADE=ZB,又.DF/AC,./A=ZBDF,.AD®DBF.故选：B.所以,CBCA所以,CP_CQCA-CB1216解得t=患.综上所述，当t=4.8或超时，CPQ与CBA相似.故答案

6、为4.8或需.、.AFADDF图反A字型，/ADEWB或/1=ZB结论：-AE=-ACABBC【例2】如同，在ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，下列条件中不能判断ABCAED的是（）A.ADABAEACB.ADAC=杷ABC./ADE=ZCD./AED=/B【解答】解：/DAE=/CAB,当/AED=/B或/ADE=/C时，AB8AED;当患普即胃噌时ABCsAED.【练1】如图，在ABC中，/ACB=90,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为与ABC相似.【解答】解：CP和CB是对应

7、边时，CPgCBA1612解得t=4.8;CP和CA是对应边时，CPgCAB,故选：A.【例3】如图，P是4ABC的边AB上的一点.（不与A、B重合）当/ACP=Z_上时，4APC与4ABC是否相似；当ACAP、AB满足世时，ACP与ABC相似./ACABA.APAC,/A=ZA,【解答】解：/A=ZA,AACP=ZB,.ACWABC;ACAB.ACP与ABC;故答案为：b；ACAB【练习1】如图，D、E为ABC的边AC、AB上的点，当/ADE=/B时，AD®ABC.其中D、E分别对应B、C.（填一个条件）.【解答】解：当/ADE=ZB,/EAD=ZCAB,.AD®ABC.

8、故答案为/ADE=ZB.【练习2】如图，在ABC中，DE分别在AB与AC上，且AD=5,DB=7,AE=6,EC=4.求证：ADEsACB.【解答】证明：AD=5,DB=7,AE=6,EC=4,AB=5+7=12,AC=6+4=10,仙-5_L杷-/AC102AB122/V三二皇ACAB'又,一/A=/A,.AD®ACB.【练习3】如图，AB=AC,/A=36,BD是/ABC的角平分线，求证：ABCBCD.【解答】证明：.AB=AC,/A=36°,/ABC=ZC=72,BD是角平分线，/ABD=ZDBC=36,-/A=ZCBD,又./C=/C,.ABCBCD.【练习

9、4已知：如图，ABC中，ZACD=ZB,求证：AB8ACD.【解答】证明：.一/ACD=ZB,/A=/A,.ABCACD.【练习5】如图，已知AD?AC=AB?AE求证：AD&ABC.【角军答】证明：AD?AC=AE?ABABAC在ABCAADE中.=工ABAC/A=/A,.ABCADE.【练习6】已知：如图，在4ABC中，D,E分别为AB、AC边上的点,且ADWAE,连接DE.若AC=4,AB=5.求证：AD&ACB【解答】证明：AC=3,AB=5,AD旦5整星AD-皿，/A=ZA,.AD®ACB.图双A字型【例4】如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，/

10、AED=ZABC,/BAC的平分线AF交DE于点G,交BC于点F.(1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由AG3GF2器的值.BC【解答】解：（1）ZAED=ZABC,/EAD=/BAC,.ABCAED./AED=ZABC,/EAG=ZBAF,.AE8ABF./EDG=/ACF,/DAG=ZCAF,.ADGsACF.（2）二妪旦GF2,一虹5.ADGsACF,.迈塞=3.BCGF5【练习1】如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4,AB=6,AD:AC=2:3,4ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F.(1)请你直接写出图中所有的相似三角形;(2)求AG与GF的比.

11、【解答】解：（1）ADGACFAGaAFB,ADEsACB;（2）幽-4=g-=-,AB63AC3ABAC'又./DAE=ZCAB,.AD®ACB,/ADG=ZC,.AF为角平分线，.ZDAG=ZFAE.ADGsACF,AGAT2=一AFAC3AGGF=2.四1图内含正方形A字形，结论"二a=；(a为正方形边长)AHBC'【例5】如图，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC,AB上，AD与HG的交点为M.(1)求

12、证:ADBC试求出a;右不存在,当HE=a,则30-aHG3040，HG=-S矩形HEFG=a(一a+30)=-a2+30a,当a=一302X(-4)1,1454即当HE=cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大.(2)求这个矩形EFGH的周长;(3)是否存在一个实数a,当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在,请说明理由.【解答】(1)证明：二四边形HEFG为矩形,HG/EF,而ADXBC,AMXBC,.AHGsABC,，幽ADBC'(2)解：设HE=x,HG=2x,贝U啮二嗡，解得x=12,.,这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72(cm);(3)存在.【练习

13、1】如图，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm,AD=60cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它白一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.（1）试说明：细=里的理由；ADBC（2）求这个矩形EFGH的面积.【解答】（1）证明：二四边形EFGH为矩形,EF/GH,/AHG=ZABC,又./HAG=ZBAC,.AHGsABC,，&L吗ADBC(2)解：设HE=xcm,MD=HE=xcm,AD=60cm,AM=(60-x)cm,HG=2HE,HG=2xcm,AD-BC可得=.,60SOAC_EFBC-D

14、F解得，x=24,故HE=24,HG=2x=48,贝U矩形EFGH的面积=24X12=1152cm2.【例6】如图，在ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且求证：AD=EB【解答】证明：过D点作DH/BC交AB于H,如图,DH/BC,AHDAABC,.AD_DH0nADAC.=,即=,ACBC'DHBC'DH/BE,.BEDHDF,HDDF'而上二三ECDF-BE=ADHDDHAD=EB.【例71如图，在ABC中，/BAC=90,BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证：AE2=EF?ED【解答】解：.一/BAC=90,/B+/C

15、=90,/D+/C=90,./B=ZD,.BC的垂直平分线交BC于点E,/BAC=90.BE=EA/B=ZBAE,/D=ZBAE,./FEA=ZAED,.FEQAED,EP-AEAE2=EF?ED旋转型”相似三角形，如图.若图中/1=72,/B=/D（或/C=ZE）,则ADEiAABC,该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋转某一角度而形成的.例8如图，在ABC与4ADE中，/BAC=ZD,要使ABC与4ADE相似，还需满足下列条件中的（）MAB-MBC配AB.ACBC=-B=C=_D=-AD皿&DEADDEADAE【解答】解：.一/BAC=/D,二二三ADDE'.ABCADE

16、.故选：C.【练习1】如图所示，在4ABC与4ADE中，AB?ED=AE?BC要使ABC与ADE相似，还需要添加一个条件,这个条件是/B=/E（答案不唯一）（只加一个即可）并证明.4【解答】解：条件，/B=/E.证明：:AB?ED=AE?BC'、，胆=些.1AEEC /B=ZE, .ABCAED.条件，=2;.ACAB证明：AB?ED=AE?BC,研二BU1AEEC L"=,=,ACAE.AB_BC_AC=.AEECAD .ABCAED.故答案为：/B=ZE（答案不唯一）.【练习2】如图，已知：/BAC=ZEAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.求证：ABCAED.-【解答】证明：.AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.AE=20.=1.2AC=.1S=1.2,/AE17AD40/.迪41EAEAD /BAC=ZEAD, .ABCAED.【练习3】如图，在ABC和AADE中，已知/B=ZD,/BAD=/CAE,求证：即/DAE=ZBAC.又/B=/D, .ABCADE.【练习4】如图，ABCDEP是两个全等的等腰直角三角形，/BAC=ZPDE=90.(1)若将DEP的顶点P放在BC上(如图1),PD>PE分另1J与AC、AB相交于点F、G.求证：PB3FCP(2)若使DEP的顶点P与顶