空间向量及其运算经典

1、8.5空间向量及其运算基础知识,自主学习知识回成理清我材I要点梳理i.空间向量的有关概念名称概念表小零向量模为0_的向量0单位向量长度G莫)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a/b共向向量平仃于同个平囿的向重2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理推论如图所示，点P在l上的充要条件是对空间任意两个向量a,b(bw0),a/b的充要条件是存在实数使得a=bOP=OA+ta其中a叫直线l的方向向量，tCR,在l上取AB=a,则可化为OP=6A+tAB或OP=

2、（it）OA+tOB.(2)共面向量定理的向量表达式：p=xa+yb,其中x,yCR,a,b为不共线向量，推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空间任意一点O,有斡=疝+*疝+丫诵或和=*加1+y（5A+zOB,其中x+y+z=1(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc,把a,b,c叫做空间的一个基底.3 .空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作6A=a,OB=b,则/AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b,其范围是0wa,bw兀，右a,b=万，则

3、称a与b互相垂亶，记作aXb.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积，记作ab,即ab=|a|b|cosa,b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(治)b=?(ab);交换律：ab=ba;分配律：a(b+c)=ab+ac.4 .空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3),贝Uab=aj_bi+azb?+a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a=(ai,az,a3),b=(bi,b2,b3),则a/b?a=不？ai=入i,昵=入2,a3=入3(入CR),aXb?ab=0?aib+a2b2+

4、a3b3=0士,b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a=(a1，a2,a3),b=(bi,b2,b3),则|a|=a%=7a彳+a2+a3,ab_aibi+a2b2+a3b3cosa,b|a|b|a.判断下面结论是否正确(请在括号中打或x”)(i)空间中任意两非零向量a,b共面.(2)在向量的数量积运算中(ab)c=a(bc).+a2+a2Vb2+b2+b3.设A(ai,bi,ci),B(a2,b2,，则dAB=|AB|=a2-ai2+b2-bi2+c2-ci2.I夯基释疑-实一制乘(3)对于非零向量b,由ab=bc,则a=c.(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同ft一若

5、A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=Q.(6)|a|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件.2.如图所示，在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，M为AiCi与BiDi的交点.若AB=a,Ab=b,aAi=c,则下列向量中与bM相等的向量是.1.1.A.2a+,b+cB.2a+gb+cC.ab+cD.2a-；b+c答案A解析BM=BBi+BiM=一i一AAi+2(AD-AB)_,1,.、11.=c+2(b-a)=-2a+2b+c.3 .已知正方体ABCDAiBiCiDi中，点E为上底面AiCi的中心，若人=人4+*人8+丫人口，则x,y的值分别为A.x=i,y=iB.x=

6、i,iy=2-I1C.x=2，y=2_1D.x=2,y=i答案C解析如图，AE=aAi+AiE=AA,ii+2AiCi=aaifi+2(AB+AD).4 .同时垂直于a=(2,2,i)和b=(4,5,3)的单位向量是“i22i22答案.0或一1,-333333解析设与a=(2,2,i)和b=(4,5,3)同时垂直的单位向量是c=(p,q,r),则p2+q2+r2=i,2P+2q+r=Q,4P+5q+3r=Q,解得ip=32q=一32r=31P=一3即同时垂直于a,b的单位向量为i22f33，3或一i22一一一一333.5 .如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点

7、，E为AD的中点，则OE=（用a,b,c表不）.答案2a+-b+题型一空间向量的线性运算例1三棱锥OABC中，M,N分别是OA,BC的中点，G是ABC的重心，用基向量OA,Ob,OC表示MG,Og.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可解mg=ma+ag=1oA+2aN23=1oa+2（oN-oa）121八一=-OA+-（OB+OC）-OA232H,1丁,1Z/L=6OA+3OB+3OC.1111OG=OM+MG=-OA-OA+-OB+-OC2633=1OA+1（OB+100.333思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘

8、运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.跟踪训练1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.11（1）化间AO2AB2AD=；（2）用aB,Ad,aA1表示oC1,则oC=.“_1-1-答案（1）A1A（2）2AB+QAD+AA11717如717解析（1）AO2AB2AD=A1O-2ACc解析Oe=1OA+1（5d=20A+1Ob+lC111=2a+4b+4c题型分类深度剖析=AiQAO=AiA.(2)OCi=OC+CCi=2AB+1AD+AAi.题型二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E

9、、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD/平面EFGH;一一一一、.1jrt.L设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O,有OM=4(OA+OB+OC+OD).思维启迪对于(i)只要证出向量EG=EF+EH即可；对于(2)只要证出BD与EH共线即可;对于(3),易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM可由向量OG和OE表示，再将OG与OE分别用向量Oc,OD和向量OA,OB表示.证明(1)连接BG,则EG=EB+BGzzL1=eb+2(bc+bd)=EB+BF+EH=EF+E

10、H,由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.一,-一.(2)因为EH=AHAE11121=2AD2AB=2(ADAB)=2BD,所以EH/BD.又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,所以BD/平面EFGH.(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.,_，17._，一一17由(2)知EH=&BD,同理FG=2BD,所以EH=FG,即EH触FG,所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG,FH交于一点M且被M平分.故加=1(oE+OG)=；6l+触=12qa+ob+21oc+(5d1=4(oa+ob+OC+OD).思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化

11、为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明AB,/共线，亦即证明AB=?AC(斤0).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明PA=xPB+yPC或对空间任一点O,有OA=OP+xPB+yPC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件雨踪训炼2如图，正方体ABCDAiBiCiDi中，E是AiB上的点,F是AC上的点，且AiE=2EB,CF=2AF,贝UEF与平面AiBiCD的位置关系为答案平行解析取AB=a,AD=b,AA1=c为基底，易得EF=2(a

12、b+c),而D?i=ab+c,IPEF/DBi,故EF/DBi,且EF?平面AiBiCD,DBi?平面AiBiCD,所以EF/平面AiBiCD.题型三空间向量数量积的应用【例31如图所示，已知空间四边形AB-CD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.(i)求证：MNLAB,MNLCD;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用Bai2=aa可以求线段长；利用cos0=-a-b，可求两条直线所成的角|a|b|、_f(i)证明设AB=p,AC=q,AD=r.由题意可知，|p|=|q|=|r|=a,且

13、p、q、r三向量两两夹角均为60.iriLiiMN=AN-AM=2(AC+AD)-AB=2(q+r-p),MNAB=2(q+r-p)p=；(qp+rp-p向量AN与Mc的夹角的余弦值为2,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为)1222=2(a2cos60+a2cos60a2)=0.mnxAbjpMN，AB.同理可证MNLCD._“一,1(2)解由(1)可知MN=2(q+r-p),lMN|2=4(q+rp)21，=q2+r2+p2+2(qr-pq-rp)41222a2a2a2=41a+a+a+2(y-y-y)12a2=-x2a2=一42.|mN|=a.,.MN的长为当a.(3)解设向量AN与M

14、C的夹角为0.;AN=；(AC+AD)=2(q+r),f2士.MC=ACAM=一1q2p，.ANMC=1(q+r)(q-2p)=1(q2-1qp+rq2rp)1o1Oo1o=2(a2-a2cos60:a2cos60Qa2cos60)=2-%N=12.又|AN|=|IMC|=思维升华(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为“时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角易错分析将a,b同向和a/b混淆，没有搞清a/b的意义：ab方向相同或相反.方法与技巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明

15、一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题失误与防范1.向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立，(ab)c=a(bc)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.a,一一一一V3V3a2ANMC=|AN|MC|cos0=方-ax卞axcos9=.八2cos0=一23.0来进行计算3.|ab).|a|b|a|=a2转化为向量求解.应该注息的是(

16、0,R,0,兀所以COSa=|COS0|=(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据跟踪训炼3已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=届，b=AC(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka2b互相垂直，求实数k的值.解.2=(1,1,0),b=(-1,0,2), .ab=(1,1,0)(-1,0,2)=1,又|a|=7仔+12+02=事,|b|=y1-12+02+22=巾,ab1yrp .cosa,b=j=J,|a|b|1010即向量a与向量b的夹角的余弦值为一曙.(2)方法一.ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k

17、+2,k,-4),且ka+b与ka2b互相垂直,(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,.k=2或k=I，5当ka+b与ka-2b互相垂直时，实数k的值为2或一5.方法二由(1)知|a|=V2,|b|=乖,ab=-1,(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2=2k2+k10=0,得k=2或k=-52易错等示系列”“两向量同向”意义不清致误解析由题意知a/b,所以，x2+y2y23典例：(5分)已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向，则x,y的值分别为y=3x即=2x把代入得x2+x2=0,(x+2)(x-1)=0

18、,解得x=-2,或x=1当x=-2时，y=-6;当x=1时，y=3.x=一2一一一当时，b=(-2,4,-6)=-2a,y=一6两向量a,b反向，不符合题意，所以舍去x=1x=1当时，b=(1,2,3)=a,a与b同向，所以y=3y=3.答案1,3温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a,b满足a=；b(bw0)且Q0则a,b同向；在a,b的坐标都是非零的条件下，a,b的坐标对应成比例.思想方法感悟提高练出高分A组专项基础训练（时间：40分钟）、选

19、择题1.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案B解析由题意得，AB=(3,3,3),CD=(1,1,1),AB=-3CD,AB与CD共线，又AB与CD没有公共点.AB/CD.2.已知O,A,B,C为空间四个点，又OA,OB,OC为空间的一个基底，则（）A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面，但不共线C.O,A,B,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面答案D解析Oa,Ob,OC为空间的一个基底，所以Oa,Ob,OC不共面，但a,b,c三种情况

20、都有可能使Oa,Ob,OC共面.3.已知a=（计1,0,2）,A.2,彳C.3,2答案A解析由题意知：b=（6,2厂1,2九若a/b,则入与科的值可以是（）11B.-32D.2,212上2,入=3,6=2入解得1或2口1=0,尸2尸2.4.空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系是A.共线B.共面C.不共面D.无法确定答案C解析-.AB=(2,0,-4),AC=(-2,3,5),AD=(0,3,-4).假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x,v,2x-2y=0,(1使AD=xAB+yAC,即-3y=-3,4x5y=4,由得x=y=1,代入式不

21、成立，矛盾.，假设不成立，故四点不共面.5.如图所示，已知空间四边形OABC,OB=OC,OA,BC的值为1c32A.0B.2C.2D.2答案A解析设OA=a,OB=b,Oo=c,则|b|=|c|,a,b=a,c=BC=cb,35aBC=a(cb)=acab兀兀_=|a|c|cos3一|a|b|cos-=0,.-OaxBc,cos=0.二、填空题6.已知2a+b=(0,5,10),c=(1,-2,-2),ac=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为.答案60解析由题意得，(2a+b)c=0+1020=10.即2ac+bc=10,又ac=4,bc=18,/.、bc一181cosb

22、,c=-,=171blic112XV1+4+42=120,两直线的夹角为60.7.已知a=(11,1t,t),b=(2,t,t),则|ba|的最小值为答案3/5解析b-a=(1+t,2t-1,0),|b-a|=，1+t2+2t12当t=：时，|ba隈得最小值芈.558 .如图所示，已知PAL平面ABC,/ABC=120,PA=AB=BC=6,于.答案12解析因为PC=R+AB+BC,所以PC2=pA2+Ab2+Bc2+2ABbc=36+36+36+2X36cos60=144.所以|PC|=12.三、解答题9 .已知向量a=(1,3,2),b=(2,1,1),点A(3,1,4),B(-2,(1)

23、求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OEb(O为原点)?解(1)a=(1,3,2),b=(2,1,1),.2a+b=(0,5,5),.|2a+b|=那十5旺52=5在(2)假设存在点E,其坐标为E(x,y,z),则AE=AB,即(x+3,y+1,z4)=。1,1,-2),x=卜3y=一X1,E(入3,1,24),z=2入+4PC等P2,2).OE=(13,J1,2计4).又.=(2,1,1),OEb,一OEb=-2(入-3)+(入一1)+(一2入+4)=5入+9=0,142T5)，61427，在直线AB上存在点E(-,-)使OEb.55510.如图所示，四棱柱ABCDAiBi

24、CiDi中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解记AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60,1.ab=bc=ca=-2,(1)|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)/c,111=1+1+1+2X(2+2+2)=6,，尼1|=乖,即AC1的长为。6.(2)BD1=b+c-a,AC=a+b,，|曲=/，|AC|=V3,TT，一、，.、BD1AC=(b+ca)(a+b)=b2a2+ac+bc=1.cosBD1,AC=bd1aC=乖|B1|aC|6.AC与BD1夹角的余弦值为兴B组专项能力提升(时间：30分钟)1 .若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=后十由(入代R,且入西0),则()A.c/dB.cdC.c不平彳T于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能答案B解析由题意得，c垂直于由a,b确定的平面d=？a+pb,，d与a,b共面