相似三角形模型分析大全

1、CO第一部分相似三角形模型分析大全三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）CAA（二）8字型、反8字型BC（不平行）（四）一线三等角型:DEDEBAD（蝴蝶型）ABCABCDABJ（不平行）DCD中竽土廿尸我展牌（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型.旋转型：由A字型旋转得到。拓展一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，ABC中，点E在中线AD上，DEBABC.求证：（1）DB2DEDA；DCEDAC.证明：（1）在即E和中

2、9;'ZDEB=ZAEC）ZBDE-ZADE./.AbdeAdab）（1分）口匕昵f1钿''6D=AD）/.BD£=AP'PE.（1分）（公二就是中线,CDg.cd2=ad*le,，赛二音一曲又/ADC=NCDE,1分）,'.decsdc%（1分）/.ZDCE=ZDJUC.（1分）例2、已知：如图，等腰ABC中，AB=AC,ADZBC于D,CGZAB,BG分别交AD、AC于E、F.求证：BE2EFEG.解答:证明：隹接CEn如右图所示=£B=M.AD±EC,二是re定的角平分统J.EEKE,ZEBC=ZEC0J又ZABC=Z

3、ACB,.".ZABC-ZEBC=ZJUCB-ZECB,即/如E二ZACEi/.ZABE=/CGF.二ZCGFZFCE.又/F£C=/OE&/.Acef<Agec,-CE;E户EG:CEi目Pc/=EFEG又C艮=RR,-BE£=EF'EG.点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质.关键是能根据所证连接CE相关练习:1、如图，梯形ABCD中，ADZBC,对角线AC、BD交于点O,BECD交CA延长线于E.答案：证明:-皿"BC.二会-二OCQB又EE#CD,二-°匚OB

4、QE,§Poc£=oa-oe.2.32、如图，已知AD为ZABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2FBFC.证明,连接AF.丁仙是角平分线，/.ZEAD=ZCAD,又EF为处的垂直平分统，乐EhZDAF=ZJiDF./.ZDAC-ZCAFZB4-ZBAD,/.ZCAfZB,Z£FC=ZJiFC-/.AACFiBAF,即匚F一至AFEF,岭=CF5F,即FD2=CF叩F.3、已知：如图，在RtABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PD±AB,(第4题图)交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射

5、线DC上一点，且ZEPD=ZA.设A、P两点的距离为x,BEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当BEP与4ABC相似时，求BEP的面积.1.ZDAP=ZO90&，Za=ZA三角形APDs三角形a。FD：AF=BC：AC=2：4=1：2/EPg/ZAEP=ZDEP三角形EPDs三角形hapPE：AEPD：AP=1；2他=2PE口.过EfFEF-LAEF为垂足因为P口-Lae故IEFIFD故rNFEP=2EPr=2A故rtanA=B:/AC=2/d=EF/AF=tanZRE?=PF/EFSPtBF/AF=PF/EF-l/2故：AF

6、-2EFEF-SPF-EfiF-Ar)-(2EF-AF)故：EF=2/3AF-2/3x囚为炉，BC-2MT,微；A3-25帧：PB=AB-G2J5f故：y=l/2PB-EFl/12-2/3i<-(275-k)即：y=l/3也75k，3E与C重合,x取最大值，此时ER=2/3k=2乂4/I276),w=fi75/F即I：定义域为，。<*至EjB而口.因沏故：=CFE-dMC如昊ALEFs缸c，贝hZDEA-ZA)PE/bC-DE/A：K?rAE-CE5iDET二CT4TM1(AC-AE)'+EC1=CZC-BE)1+BC1故：BE=5/2,FE=5/4故；45即的面积=172

7、BEPE=25/16双垂型1、如图，在ABC中，ZA=60°,BD、CE分别是ACAB上的高求证：(1)ABDsACE;(2)AADEsABC;(3)BC=2ED解答：证明：（1）CE1AB于E,BF,AC于F, .ZAFB=ZAEC/A为公共角，ABDACE（两角对应相等的两个三角形相似）.（2）由（1）得AB:AC=ADAE,/A为公共角， .ADEsABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）（3）AADEABC .AD:AB=DEBC又:/A=60°.1.BC=2ED共享型相似三角形1、AB谍等边三角形，D、B、C、E在一条直线上/DA120,已知BD=1,C

8、E=3,，求等边三角形的边长如图,ABC是等边三角形 /ABC4BAC4ACB=60又DBC位一条直线上 /ADB-+ZDAB4CAE吆AEC至ABC=60 ./DAE=120DAB吆CAE4DAE-/BAC=120-60°=60°由上可知/ADB=/CAE/DABhCAE .DABAEC 三角形相似对应边成比例 BDXAC=AB/CE.BD=1,CE=3.AB=AC=/32、已知：如图，在RtzABC中，AB=AC,ZDAE=45°.求证：（1）以BEAACD;（2）BC22BECD.解答：证明：（1）在RtABC中，AB=AC/B=ZC=45°.（1

9、分）/BAE=/BAD+ZDAE/DAE=45,/BAE4BAD+45.（1分）而/ADChBAD+ZB=ZBAD+45,（1分）/BAE4CDA（1分）.AB&4DCA（2分）BE一AC（2）由AB&DC/得初8.（2分）BE?CD=ABAC（1分）而AB=ACBC2=aB?+AC2,BC2=2AB2.（2分）2BC=2BE?CD（1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强,一线三等角型相似三角形例1:如图，等边必BC中，边长为6,D是BC上动点，在DF=60°（1）求证：ZBDEACFD（2）当BD=1,FC=3时，求BEAB

10、C是等边三角形/B=Z0=60°./EDF=60/CDF+ZEDB=180°-ZEDF=120°/BED+ZEDB=180-ZB=120°./CDFNBED.一/B=/C=BDE相彳以CFD2、BD=1.CD=BC-BD=6-1=5BDE相彳以CFD.BE/CD=BD/CF中学生廿匹我蠲。品牌BE/5=1/3BE=5/3例2、已知在梯形ABCD中，AD旭C,ADVBC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如图8,P为AD上的一点，满足也PC=".求证；ZABPADPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足ZBPE

11、=必，PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;当CE=1时，写出AP的长.解答：解：(1)ABC虚梯形，AD/BCAB=DC/ABP吆APB叱A=180°,/APB叱DPC吆BPC=180,/BPC4A/ABP土DPC.ABWDPCAPAP_2，历一历，即：口解得：AP=1或AP=4.(2)由(1)可知：ABWDPQ(1VXV4).当CE=1时，AP=2或3一，点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键.例3：如图，在梯形ABCD

12、中，ADABC,ABCDBC6,AD3.点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.(1)求证：zWIEFAZBEM;(2)若ABEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长;(3)若EFCD,求BE的长1 .证明:AB=CD. 梯形ABC阴等腰梯形,/B=/C;又/EMF=/B,则：/CMF=18Qg-/EMF-ZBME=18Qg-/B-ZBME=BEM.CMQBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. MF/EM=BM/BEZEMF=B. .MESBEM.2 .解：当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1则MF=ME.EF/BC;

13、又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线，EF=(AD+BC)/2=9/2;当ME=BM=3f:/MEB=B=ZC=ZFMC.连接DM.BM=BC/2=3=ADKBMFRTBM则四边形ABMM平行四边形./DMC=B=ZFMC即F与D重合，此时EF=CD=6.3 .解：;EF±CD;/CFMWBMEWEFM./EFM=45=/BME.作EG!BMTG,则EG=GMfAHLBMTH.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=V(AB2-BH2)=3V15/2.设EG=GM=X,UBG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3，15/2),X=(45-3V15)/

14、14.BE/BA=EG/AH即BE/6=(45-3V15)/14/(3，15/2),BE=(6，15-6)/7.练习:昂工智立方如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1,点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M，N,(1)写出图中与BEF相似的三角形;(2)证明其中一对三角形相似;(3)E备用图一ABEF<AANEi(1分)产CFC备用图二设BEx,MNy,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;若AE1,试求GMN的面积.SB：(1)ABEF«AAMEACFNMAGMNJ证明：(2)在8蹉与AME中，.

15、"Z8=A=60?，,iEM+2AME=l20°，(1分)，.=GEF=6(T，人EM十/5EF=1201Z3EF=ZAME"(1分)前：(3)(i：当点E在虢段处上，臣NUM在线段AC上时，如图，丁ABEFsZME，申孝上廿沪，感品，-BE：AH=BF：&E，即：k：AM=2；(3-k)2同理可证BEFsdCFW0E：CF=0F：CNj肌if：1-2!QUCN)xJAC=RM+MM+CN，XCii)当点E在线收加上，点G在EEC内时，如备用图一，同上可得；AM二±之，Cg二，2xVAC=AM+MH+CNf二一工*十3工工上3=+y+-2工产士上

16、士ine彳(ii)当点E在线段且5上，点G在&ABC内时，如曾用图一，同上可售：AM=JE_,CMt-，1*JAC=AMyN-MN，知一工工-尸,2x.工T/FT，2x(111>当点E在线段E2的直长线上时，加备用图二,产312A>1=_»CN=-21'/kCMNKN-AM,，3J十工日至，x2.y=？-3-6x-4u>3)f2xlx综上面迪汁2.37，备用图综上斫述：y二包三变巴2x或二产及;FTu>1);2x<4)(i)当AE=1时，AGMN是边长犬H等边三房形,，SGMN"1父1"曰="<1分22

17、4(li)当以E:1时.也6皿是有一个角为3(TWRtAj413皿Ofng=fc-F2巨L怎巫13JT927JT上2上H一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP,交边AB于点E设PDx,AEy,(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。(2)如果PCD勺面积是AEP面积的4倍，求CE的长；是否存在点P,使APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论。BC中字上廿沪也展牌(2)解：当PCD勺面积是AEP面积的4倍,AE_AP_1则：相似比为2：1,，FD3-,.CD=2.1.AP=1,PD=2，PE

18、&,PC=2(,.EC抠(3)不存在.作AUPE,交PE于O,BC于F,连接EF.AFXPE,CP±PE若OA=AF3x2-6x+4=0_2=6-4X4X3=-12x无解因此，不存在.点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方._._31、(2009虹口二模)如图，在ABC中，C90,AC6,tanB-,D是BC边4的中点，E为AB边上的一个动点，作DEF90,EF交射线BC于点F.设BEx,BED的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.申景土廿沪，<1):在必将匚中.ZC='OO&q