电磁场与电磁波复习资料

1、电磁场与电磁波期末复习资料第一章一、在直线坐标系中，过空间任意一点P(X。,Y0,Zo)的三个互相正交的坐标单位矢量ex>ey,ez分别是x,y,和z增加的方向，且遵循右手螺旋法则：exxey=ez-eyxez=ex,ezxex=ey一、A与B的点积为：A,B=(exAx+eYAy+ezAz),(exBx+eyBy+ezBz)=AxBx+AyBy+AzBz三、A与B的叉积为：AXB=(eAx+eyAy+ezAz)X(aEx+eyBy+ezBz)=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBY-AyBx)/eye、AAyAz=iBxByBzJ四、场的一个重要属性是他

2、占有一个空间，他把物理状态作为空间和时间的函数来描述，而且，在此空间区域中，除了有限个点或某些表面外，该函数是处处连续的。若物理状态与时间无关，则为静态场；反之，则为动态场或时变场。五、直角坐标系中梯度的表达式为：gradu=ex+ey+ez；xjyFy六、哈密顿算符“”，在直角坐标系中：二exeyez；z七、哈密顿算符表示标量场的梯度u:gradu=(0ey-e-)u=、:x二y二z例1.3.1已知R=q(xx')+ey(yy')+ez(zz'),r=R|o证明:(1).1R(2)()=3;(3)Vf(R)=-7'f(R)oRRLir-r-r-仃i其中：=ex

3、+ev一+ez-表示对x、y、z的运算，V'=ex+e+ez-xyzxyz二x二y二z二x'二y'二z表示对x'、y'、z的运算。解：将R=!i?l=，（工-工"*+（丫-了）+（之二上/代入式（L3.7）,3R,3R3R石+%石+金石VJ?eT(.r-x)+">)+z)r=-=iq(工一工)工(尸-y')2+(21?')23RV/(R)=%3f(R)(3)根据梯度的运算公式(L3.7),得到.df(R)dRd/(R)BRdf(R)HR'dR行"%di，而十”,及dR"R)=*'

4、;r也KRdRR=d/（J?）-"工一三）%（yy）式e-z）mJ（w-C+-j/y+3-J7_dfCR）RdRR故得.vy（R）=_V了（R）在电磁场中,通常以（/,/,/）表示源点的坐标，以（x,3，片）表示场点的坐豕,因此上述运算结果在电磁场中非常有用口.竭八、散度在直角坐标系中的表达式：-NSFdScFx上序y/FzdivF=lim7二xcy二z利用算符V,可将divF表不为:na公divF(xGyWZ)"(x$xFyeyFz)ezFF；:xZ；:z九、利用哈密顿算符，可将rotF表示为:上式亦可写成:rotF=U“)(exFxeyFyWzA.xFy；zFxFyFz

5、'、(uA)=u。A)。u)A十、Vx(Vu)三0梯度的旋度恒等于0,旋度的散度恒等于0。、飞:A)三0十一、矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的性质，可由他的散度和旋度来说明。而且，可以证明：在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件(即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布)唯一的确定，且表示为：F(r)-1u(r)A(r)十二、亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，其意义是非常重要的。分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和闭合路径的环流着手，得到矢量场

6、的基本方程的积分形式。重要题目：第一章：1、23见附录第二章1、电流是由电荷做定向运动形成的，通常用电流强度来描述其大小，设在某一截面S的电荷量为Aq,则通过该截面S的电流强度定义为：i=lim2q=5J=、j=et0tdtt时间内通过2、_P对旧冲=一的两边取体积分，则有：；。-P-V?EdV=LdV而V71EdV=MSE忖SVV；o，一1一故得：xE"dV=dVS；。V3、微分算符V对场点坐标r求导，与源点坐标r'无关，故可将算符从积分号中移出，即:E(r)=1£(»dV',对左式两边取旋度，即:4二；0VR'、E(r)-Jx14-0”

7、)VRdV'上式左边括号内是一个连续标量函数，而任何一个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0,故上式右边恒等于0,则得：1.E=0此结果表明静电场是无璇场。将上式对任意曲面求积分，并利用斯托克斯定理jsVxE而5二场£1,得：XE'dl=0上式表明，在静电场E中，沿任一闭合路径C的积分恒等于0,其物理含义是将单位正电荷沿静电场的任意一个闭合路径移动一周，电场力不做工。4、利用散度定理11s洋dV=sF：dS,由式亦B(r)=0得：3B(r)而S=V&(r)dV=05、安培环路定理的微分形式：VxB(r)=J(r)两端取积分：、B(r)"dS=0J(r)“

8、dS=0ISS应用斯托克斯定理：pxB(r)idS=JB(r)i%1,上式为：虱B(r闷1=N0I6、电位移矢量和电介质中的高斯定理：电(r)=P7、电介质的本质关系：D(r)=%E(r)+E(r)=(1+/e)%E(r)=1%E(r)=&E(r)8、磁场强度和磁介质中的安培环路定理：将真空中的安培定理推广到磁介质中，得：B=，(JJm)将JmM代入上式，得守义誓M(r)=J引入磁化效应的物理量，磁场强度H：J0BIL、，IH=-M则上上上上式变为乂H(r)=J,磁场强度单位为A/m(安培/米)-0例题：2、4、4见附录、汨'H=J黄D=；E一汨9、麦克斯韦方程组的微分形式：E

9、-<E=结构方程：B=NH代入微分形式得：二tJ=；E、H-；E.壬E-.1H-Ft2t=0%Hz，、eHi=人eEi=010、理想导体表面的上的边界条件：.1s_41=0.“2=%ex(HiH2)=0或HitH2t=0e(E1一E2)=0或E1t一E2t=011、理想介质表面上的边界条件：一.e(B1一B2)=0或B1n一B2n=0G(D1-D2)=0或D1n-D2n=012、表2.7.1电磁场的基本方程和边界条件:基本方程边界条件说明D积分形式：NH31=加JWS+加空MS?CS气笈微分形式：VMH=J+生ct1. 4父(曰-H2)=Js2. enM(H1H2)=0铲(HH2)=Js

10、3. enMH1=Js情况1是边界条件的一般形式_方B积分形式：NE*dl=-N,ds'C、s日微分形式：VxE=自1. /，(£-E2)=02. enM(EE2)=03. enWO情况2是两种煤质都不是理想介质的边界条件积分形式：NBds=0Lc微分形式：VxB=01. -B2)=02. en(BB2)=03. enB1=0情况3是理想导体的边界条件积分形式：RD,ds=1PdVbcV微分形式：V,D=P1.1,(-D2)=Ps2. -D2)=03. 6n)=Ps单位矢量6n离开分界面指向煤质1第三章1、电位和电位差：电场强度矢量E可以表示为标量函数甲的梯度，即：E(r)=

11、J：(r)2、静电位的微分方程：在均匀、线性和各向同性的电介质中，6是一个常数。因此将E(r)=-V(r)代入V即(r)=P(r)中,得：和(r)=V&E(r)=-弱即甲(r)=P(r)故得：12.：0)=_山z即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷分布，即P=0,则邛(r)满足拉布拉斯方程：k2：(r)=011123、静电场能量密度：We=EWdV电场不为零的空间：we=DW=©E2V22例题3.1.6见附录_21.11B21,一24、磁场能重留度：对仝间：Wm=(H通dV，置度为We=-B汨=-=H2V22125、唯一性定理：唯一性定理具有非常重要的意义，首先，它指

12、出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界S上的任一点只需给定平或上一的值，而不能同时给定两者的值。其次,二n唯一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。6、镜像法：镜像法的基本思想，是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷(称为镜像电荷)等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。这样就把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间的问题来求解。镜像电荷确定应遵循以下两条原则：所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界上的边界条件来确定。第四章1、电场和磁场都具有能量，在线性、各向同

13、性的媒介中，电场能量密度We与磁场能量密度1 _V_1一一Wm分力U为：We=E%Wm=H通，在时变磁场中，电磁场能重留度We与磁场能2 21.1重留度Wm分力1J为：w=we+wm=E%+-H地当场随时间变化时，空间个点的电磁场22能量密度也要随时间变化，从而引起电磁能量流动。为了描述能量流动的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面基的能量，能流密度矢量又称为坡印停矢量，用S表示。2、电磁能流密度矢量S:S=EmH3、内外导体之间任意横界面上的坡印廷矢量为：U-I、UIS=EH=e（e）=Qz2：ln（b/a）2二：2二：

14、ln（b/a）一2.2._2_.2_4、亥姆霍兹方程：H+kH=0E+kE=05、平均能流密度矢量（平均坡印廷矢量）Sav2"SlReExHej2+ReE黑H*dt=1ReExH*其中*表示共轲。2二0222第五章1、平面波的定义：所谓的均匀平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向，变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度E和磁场强度H的方向，振幅和相位保持不变。2、理想介质中的均匀平面波传播特点归纳于下：电场E、磁场H和传播方向ez之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）；电场和磁场的振幅不变；波阻抗为实数，电场和磁场同相位；电磁波的相速和频率无关；电场能量密度等于磁场能量

15、密度。3、电磁波极化的概念：电磁波极化是电磁理论中的一个重要概念，他表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。若该轨迹是直线，则成为直线极化；若轨迹是园，则称为圆极化；若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。4、在很多情况下，系统需利用圆极化波才能正常工作，在某些情况下会出现火箭上的天线收不到地面的控制信号而造成失控。在卫星通信系统中，卫星上的天线和地面站上的天线均采用圆极化天线。在电子对抗系统中，大多也采用圆极化天线进行工作。5、电磁波的相速V=是频率的函数，即在同一种导电煤质中，不同频率的电磁波的相速是不同的，这种现象叫做色散媒质。6、导电媒

16、质中的均匀平面波的传播特点归纳为：电场E、磁场H与传播方向ez之间互相垂直，任然是横电磁波（TEM波）；电场和磁场的振幅呈指数衰减；波阻抗为负数，电场与磁场不同相位；电磁波的相速与频率有关；平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。7、工程上常用趋肤深度6（或穿透深度）来表征电磁波的趋肤程度，其定义为电磁波的幅值衰减为表面的1/e（或0.368）时电磁波所传播的距离，按定义有：eT°=1/e对于良导体，u=P,故6也可写为1=1=上2二重要习题：5.105.12例题6.1.16.7见附录第七章1、对波导中传播的电磁波进行如下分类。横电磁波又称TEM波，这种波既无Ez分量又无Hz分量；横磁

17、波又称TM波，这种波包含了非零的Ez分量，但是H=0；横电波又称TE波，这种波包含了非零的Hz分量。但是Ez=0.2、当传播函数尸为零，即kc=k,这是临界情况，矩阵波导中也不能传播相应的波，此时:二Kc2二K2二.Kc2二二二0则k=kc,即波数和截止波数相等，令k=kc=wc眄附录:1.23证明：（1）时=3(2)%r=0(3)RkN)=k其中r=xex+yey+zez,k为一i常矢量。解：（1）:门r=111=3Jez(2)Licc.:yFzyz(3)令k=xexyeyzez,_M.dkN=ax+by+cz,V(k阡)=aex+bey+cez=k例2.4.4内外半径分别为P内=2和外=b

18、的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为J=%J。的传导电流，如图所示，设磁介质的磁导率为求磁化电流分布。解：设圆筒形磁介质为无限长，则其磁场分布具有轴对称性，可利用安培环路定理求各个区域内由传导电流J产生的磁场分布。在P<a的区域内，得：2nPH峰=0故H1=0,B=0在a<P<b的区域，得：2nPH2=J0n（P2-a2）故；J0/-.22J0,-.22.H2-eH2=e(-a)民=H2=e-2T-(：-a)在P>b的区域，得：2nPH3旷J0n(b2-a2)故H3=e<|)H3=e20(b2-a2),B3=0H3=e200(b2a2)磁介质的磁化强度：M=生.H2K；-1）H2=e：0J0（：2.a2）（a：二：:二b）002-0;则磁介质筒内的磁化电流密度为:epPe®ezL、LiLiGCGMpPMMz在磁介质筒表面P=a上,1d不可（"RN0J0J00Jsm=Men=M(逸：:)|三L牝-022J0(a-a)=020a在磁介质筒外表面P=b上，N-NJsm=Men=Me;|=-ez0J0(b2-a2)20b例3.1.6半径为a的球形空间均匀分布着体电荷密度为P的电荷，试求电场能量解：方法一：根据高斯定律求得电场强度31r>a，故：rE1=err:二a3r1 212We0E21dV；0E；dV2 %2M3 21