计算方法习题

1、计算方法练习题一练习题第1套参考答案一、填空题1 .n=3.14159的近似值3.1428,准确数位是(10立)。.一.一f()2 .满足f(a)=c,f(b)=d的插值余项R(x)=(1(xa)(xb)。23 .设R(x)为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x)=(2)。54 .乘哥法是求实方阵(按模最大)特征值与特征向量的迭代法。5 .欧拉法的绝对稳定实区间是(-2,0)。、单选题1 .已知近似数a,b,的误差限8(a),8(b)，则w(ab)=(C)。A.£(a)w(b)b.w(a)+w(b)c.a,(a)+b,(b)d.a8(b)+|bw(a)2 .设f(x)=x2+x,则

2、f1,2,3=(a)。A.lB.2C.3D.43 13.设A=I,则化A为对角阵的平面旋转e=(C).1 3一JIJIJIJIA.lB.一C.D.一23464 .若双点弦法收敛，则双点弦法具有(B)敛速.A.线性B.超线性C.平方D.三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是(C).d.o(h4)23、A.o(h)b.o(h)c.o(h)三、计算题|Xix2=31.求矛盾方程组:仅+2x2=4的最小二乘解。x1-x2=2中(Xi,X2)=(Xi+X2-3)2+(Xi+2x2-4)2+(Xi-X2-2)2,由:=0,：=0得:X1：X23x1+2x2=92xi+6x2=9189斛得Xi=,X2=一。

3、2.用n=4的复化梯形公式计算积分21乂r-dx,并估计误差。1x2dx'7R(x)<M212161963.用列主元消元法解方程组:2x15x23x3=6L._.«2x1+4x2+3x3=5。4x1+6x2+2x3=4364635T124-2244623T224回代得：x=(-1,1,1)T4 .用雅可比迭代法解方程组：(求出x(1)。一4-10丁为1一11-14-1x2卜3.0-dx12.用辛卜生公式计算积分I定(-;=一广,)。01x,1x.x3.设A(")=斜心)第k列主元为a)，则a=(x?=1,)。4.已知A=;则1Al=('(b3a31x1

4、(m*-a32x2m*)-a34x4m),)。_42a335,已知迭代法：xn+=*(xn),(n=0,1，)收敛，则b(x)满足条彳4(f(x0)>0)。二、单选题1.近似数a=0.47820M102的误差限是(C)。A.x10-5B.工父10"C.工父10D.x10"24？3Jj因为A为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。'x严)=1(1+x2m)4雅可比迭代公式为:x2mH=1(3+x1(m)+x3m),m=0,1；'-04x3m+)=1(1+x2m).4取x(0)=(1,1,1),计算得:x(1)=(0.5,1.25,0.5)T。35 .用切线法

5、求x-4x+1=0取小正根(求出xC。因为f(0)=1>0,f(0.5)=-0.875<0,所以x二0,0.5,在0,0.5上，f(x)=3x-4<0,f(x)=6x之0。由f(x0)f"(x)至0,选x0=0,由迭代公式:xn1=xnx3-4xn12,n=0,1,3x2-4计算得：x1=0.25。四、证明题1 .证明：若f"(x)存在，则线性插值余项为：f()R(x)=-(x-X0)(x-Xi),X0<t<%。2!'=-10V.一、«2 .对初值问题：3yy,当0<h40.2时，欧拉法绝对稳定。、y(0)=i1设R(x

6、)=k(x)(xx0)(xx)g(t)=f(t)L(t)k(x)(tx0)(tx1),有f()"X为二个零点。应用罗尔正“至少有一个零点J"二不一12222.矩阵A满足(.D),则存在三角分解A=LR。3)®叱2.由欧拉法公式得:A-JnVn一Vn=1一ohy。-y。当0<h<0.2时，则有VnVnMy00。欧拉法绝对稳定。练习题第2套参考答案一、填空题1一21.e=2.71828具有3位有效数字的近似值是(10,)。b.detAk二0(1三k：二n)c.detA0D.detA：023 .已知x=(-1,3,-5)T,则忸1=(B)。A.9B.5C.3

7、D.54 .已知切线法收敛，则它法具有(.A)敛速.A.线性B.超线性C.平方D.三次5.设Pk(x)为勒让德多项式，则(P3(x),P5(x)=(B)。A.25三、计算题c.29D.2111.已知f(x)数表:x012y204求抛物插值多项式，并求f(0.5)近似值。利用反插值法得11f(0)=N2(0)=-(04)-(04)(02)=1.752.已知数表：x0i2y13.24.8求最小二乘一次式。由方程组:4a。6a1=486a014a1=102a0*3,a=6,所以g(x)=3+6x。3.已知求积公式:111、。f(x)dx定A0f()十人f(0)+A2f(一)。求A),A1,A2,使其

8、具有尽可能高代数精度，并指二22出代数精度。1dx02x|R(f)|E11一82M28881+之0.4062，9101131216768之0.00132。44.用乘哥法求A=101031的按模最大特征值与特征向量。14因为一夜a22二a11=3,a2=1,_|二A424203222001一应1园!T空一22T00140-01=4,X1所以：2=3,X23=2,X3-0)T=(0,1,0)T=45,0)t5.用予估一校正法求初值问题:ry=2X-y在x=0(0.2)0.4处的解。、-y(0)二1应用欧拉法计算公式：yn1=0.2xn1.1yn，n=0,1,y0=1。计算得y1=1.1,y2=1.

9、23。四、证明题1.设P(A)是实方阵A的谱半径，证明：P(A)<|A1 .因为a=(a-b)+b,|a|<|a-b|+|b|,所以网-|B|<|A-B|,又因为B=(B-A)+A,|b|B-A-|A所以|b|网<|b-A|=|a-b|b|-|a|<|a-b|cxna2.证明：计算Ja(a>0)的单点弦法迭代公式为:Xn+=，n=0,1,。cXn因为计算5/a等价求x5-a=0的实根，54将f(x)=x-a,f(x)=5x代入切线法迭代公式得:5.Xn-a1a、xn+xn4(4xn-4)，n=0,1，。5Xn5Xn计算方法练习题二练习题第3套参考答案一、填空

10、题1,近似数a=0.63500父103的误差限是(10立)。2 .设|x|>>1,则变形Jl+x=(P(G)<1)，计算更准确。Xi2X2=3XnXna3 .用列主元消元法解：1,经消兀后的第二个万程是(Xn由一xn4xn.(n=1,2，)，)。2x12x2=4nnJ4 .用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组，则X3m由)=(1.2,)。5 .已知在有根区间a,b上，f'(X),f“(X)连续且大于零，则取X0满足(f(Xn+-,Yn+-k2),则切线法收敛。22二、选择题1 .已知近似数a的耳(a)=10/0,则彳(a3)=(c)。A.10/0B.20/0C.30/0D

11、.40/02 .设TK(X)为切比雪夫多项式，则(T2(X)T2(X)=(b)。冗冗A.0B.C.-D.二41+皿3,对A=直接作二角分解，则22=(d)。：36一A.5B.4C.3D.24.已知A=D-L-U,则雅可比迭代矩阵B=(c)。A.D4(LU)B.D(L-U)C.(D-L)“UD.(D-U)“l5.设双点弦法收敛，则它具有(a)敛速。A.线性B.超线性C.平方D.三次三、计算题1 .已知f(x)数表X012y-4-22用插值法求f(x)=0在0,2的根。.二2,23sin-5100.5828,R()52.已知数表X0123y2.89.215.220.8.2：2N<也0.582

12、父10/。2400求最小二乘一次式。2_2_2-'2 .平(x,y)=(x+y4)+(xy3)+(2x-y-6),由=0,=0；xfy474x=,y=-。1476x-2y=19得/y,解得:2x-3y=51dx3 .用n=4的复化辛卜生公式计算积分，并估计误差。02x,11一八"4 .由2<-X10解得n之3,取n=3,48n22一，一1dx11661复化梯形公式计算得：f-d电11+6+6+1定0.4067。02x62783010的全部特征值与特征向量。3120115 .2312T00-121_02011201-110-0-110121-00111回代得：X=(-1,

13、1,1)丁处的解。y'=2xy6 .用欧拉法求初值问题i在x=0(0.1)0.2.y(0)=15.因为333=an=2,a12=1,1JI一应202-2应"T0金20-12虎：.2-20诋2一30-00101所以t=3,Xi,2n，2、t二(,0,)222233,X2=(0,1,0)T'333,X3,2n2T=(一万,0,3)四、证明题2.证明：计算5/3的切线法迭代公式为:1a、八，Xn1=二(4xn'_4),n=0,1,5xn1设区g=xp,12,则有Zxi<x2n<zi1Xi2，：-x2.因为迭代函数是9(x)=x口f(x)，9'(x

14、)=1口f'(x),、“一2一一一当0<ct<一时则有一1<1一3f'(x)<1,即m1|1-af'(x)|=|5'(x)|<1,所以迭代法收敛。练习题第4套参考答案一、填空题1.已知误差限或a),%b),贝U%ab)=(|b隹(a方a/b()2.用辛卜生公式计算积分1dx73180.T一.一、3 .若A=AT。用改进平方根法解Ax=b，则ljk=（4 .当系数阵A是（严格对角占优）矩阵时，则雅可比法与高斯一赛德尔法都收敛。f（k-2）、工5 .若A=%，且,A,|（i之3）,则用乘哥法计算及之（.上kIxiJ二、单选题101.池=

15、1.41424:则近似值-0的精确数位是（a）。71234A.10B.10C.10D.10122Hl0上”!则有r22=(22A.2B.3C.4D.041-,一3.若A=，则化A为对角阵的平面旋转角日=(c)。114_JJIJIJTA.-B.-C.一D.4 .若切线法收敛，则它具有（bA.三次B.平方5 .改进欧拉法的绝对稳定实区间是（A.-3,0B.-2.78,0三、计算题）敛速。C.超线性D.线性d）。C.2.51,0D.-2,01.已知函数表X12Y-10Y，02f（）22小-1）2）求埃尔米特差值多项式H（x）及其余项。H(x)=(12(x-1)(x-2)2(-1)(x-2)(x-1)

16、22=x2-2x。R(x)=2 .求f（x）=x3在-1,1上的最佳平方逼近一次式。2.设g1(x)=a°p°(x)+a1p1(x),则a1r13,-*-4xdx=0,a131)二一xdx24二3,一一*3所以g1(x)=-xo13 .求积公式：(f(x)dx定Af(0)十Bf(x1)，试求,A,B,使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。24 .设求积公式对f(x)=1,x,X精确得：A+B=1_1_2_3.1«Bx1=,斛倚：x1=一,B=,A=一。234421Bx12=-、3所以求积公式为:11321“*心7"0)+/(1),3再设f(x)=x-12,则左=-0-=右。此公式具有3次代数精度。4934.用双点弦法求x5x+2=0的最小正根(求出&)。因为f(0)f2=0<(0故x=0,0.5，在0,0.5上m1=minf(x)=4.25,M2=m.M23a(x)=3,KR<-m0.5=<1,应用双点弦法迭代公式:2ml19，、，3(xn-xn)(xn_5xn2)(x，5xn2)-(x"-5xn2),n=1,2，计算得:x2:0.421。5.用欧拉法求初值问题:y'=x-y,产在x=0(0.1)0.2处的解。.y(0)=15.yn+=0.1+0.9yn,n=0,1