7-3-定积分的计算(2)---分布积分法

1、第七 章 定积分 1 定积分的概念和可积条件定积分的概念和可积条件 2 定积分的基本性质定积分的基本性质 3 微积分基本定理微积分基本定理 4 定积分的应用定积分的应用 1、给出了定积分的概念和可积条件。给出了定积分的概念和可积条件。2、给出了定积分的基本性质。给出了定积分的基本性质。3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。教学内容：教学内容：4、给出了定积分的应用给出了定积分的应用。教学重点教学重点:变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。要求要求:1、理解变限函数与定积分的定义。理解变限函数与定积分的定义

2、。2、熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决实际问题。实际问题。3、了解达布（了解达布（DarbouxDarboux）和及可积条件。）和及可积条件。本章内容、要求及重点本章内容、要求及重点第三节第三节 定积分的计算（定积分的计算（2） 一、定积分的分部积分法 二、二、小结 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababa

3、vduuvudv一、分部积分公式一、分部积分公式例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx

4、 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin

5、22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0

6、dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv二、小结二、小结（注意与不定积分分部积

7、分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别） 作业：作业：P310 6(10)(14)(15)(18)(19);8(6);20;26. 思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则

8、20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m为自然数）为自然数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)1