运动与变量在中考数学中的运用

1、运动与变量在中考数学中的运用拉萨市第八初级中学：李家强近几年来，随着新课改的不断深入，中考数学题型也在不断地发生变化，不断地推陈出新，越来越贴近生活实际；纵观全国各地近几年的中考数学试题，运动与变量的题型在中考数学中的考查越显突出，成为中考数学的易考点、高频考点，必考点。如何教会学生掌握运动与变量的数学知识点的运用，在中考中取得更优异的分数，已成为当前数学教师十分关注的一个课题。众所周知，静止是相对的，运动是永恒的。客观事物处于运动变化、相互联系、相互转化之中。图形的运动变化，真实地反映了现实世界中数形结合中的变与不变两个方面，以运动为背景（包括点的运动、线的运动、面的运动、体的运动等等），探

2、究变化图形中各几何条件之间的相互关系，是近年各地中考试题中一类典型问题，其基本的解题策略是：运动与静止相结合，数与形相互助。即：动中求静，以静制动。通过对各变化条件在特殊位置、极端位置的考查，把握数学规律，探寻不变量与不变关系。动静转化，数形结合。通过建立运动中两个变量的函数关系，用发展变化的观点研究变化条件的关系，并通过静态的方程解决问题。解运动与变量问题时，一般要用到全等三角形、勾股定理、相似三角形、面积关系、三角函数等知识方法，解题中蕴含数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法。将函数、方程、相似三角形等知识联系起来，用函数关系来描述动态的几何图形变化过程，建立变量之间的关系式是解决

3、这一类问题的关键。由于对象处在运动过程中，在这一过程中，相应图形发生改变，因此，解运动与变量问题常用到分类讨论法，具体体现在：（1）根据几何图形的变化情况，确定自变量的取值范围；（2）根据自变量的取值范围，分段求函数关系式。具体思路是：首先应弄清运动的对象、运动的方式、运动范围以及运动时间和运动速度；其次弄清在这个运动变化过程中什么是不变量、不变性、图形的特殊位置、图形运动的特点和规律，寻求对应的关系式；最后运用相关知识方法对其结论进行说理或论证。下面举出几例来说明这一类题的解题方法：例1（2009年河北中考题）如图1，在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5点P从点C

4、出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）ACBPQED图1（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当DE经

5、过点C 时，请直接写出t的值 思路点拨：由相似三角形性质先建立与的函数关系式AC)BPQD图2E)F解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图2， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED图3，即（3）能 当DEQB时，如图3ACBPQED图4 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90°由APQ ABC，得，即 解得 如图4，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形AC(E)BPQD图5G此时APQ =90°由AQP ABC，得 ，即 解得（4）或【注：点P由C向A运动，DE经过点C方法一、连

6、接QC，作QGBC于点G，如图5AC(E)BPQD图6G，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图6，】例2：(2009年兰州中考题)图正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒 (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1

7、）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由思路点拨：从结论看，是求最大值的代数问题，故把几何问题转化为代数中的函数问题是解本例的关键，设OPQ的面积为（平方单位），运动的时间为t秒，运用与面积相关知识寻找与的函数关系式。解：（1）（1，0）点P运动速度每秒钟1个单位长度（2） 过点作BFy轴于点，轴于点，则8， 在RtAFB中，过点作轴于点，与的延长线交于点 ABFBCH 所求C点的坐标为（14，12）（3） 过点P作PMy轴于点M，PN轴于点N，则

8、APMABF 设OPQ的面积为（平方单位）（010）<0 当时， OPQ的面积最大此时P的坐标为（，） （4） 当 或时， OP与PQ相等例3：（2010年广西桂林中考题）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边DEF，设DEF与BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三

9、角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解（1）C（4，） 的取值范围是：04（2）D点的坐标是（，），E的坐标是（，）DE=-=等边DEF的DE边上的高为： 当点F在BO边上时：=，=3 当0<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-S= 当34时，重叠部分为等边三角形S=（3）存在，P（，0）说明：FO，FP，OP4以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，P（，0）例4：（2010年山东德州中考题）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点

10、P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；xyOABCPQDEGMNFxyOABCPQMN设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值解：(1)二次函数的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2配方得：，所以对称轴为x=1(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点S=，=由=S=又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0<t20 当t=20秒时，面积S有最小