初三数学秋季讲义第1讲.圆中三大基本定理教师版

1、-fl1,圆中三大基本定理7圆4级圆中三大基本定理圆5级圆中三大切线定理暑期班第九讲秋季班第八讲火手班第林娄丽第去世兀是什么?匚大的是如禺-G中考考点分析中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过小在同一直线上的二 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题能运用圆 的性质解 决有关问 题圆周角了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题能综合运 用几何知 识解决与 圆周角有 关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定 理的条

2、件和结论能用垂径定理解决有关问 题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关 系了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过切 点的半径之间的关系；会过圆 上一点圆圆的切线；了解切线 长的概念能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题能解决与 切线有关 的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系 解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关 问题圆锥的侧面积和全 面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单 实际问题，每年的第20题都会考查圆

3、是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算知识互联网 一 回中二人用本定理中林定理卜弧,弦、艮心角、皱心版的美茅定理1战周拓定理垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用暑期知识点回顾：第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质 ，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识 之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条

4、件解决圆 中的动态问题。年份2011 年2012 年2013 年题号20,258,20,258,20,25分值13分17分17分考点圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰二角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 （垂径定理、圆周角 定理），圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系定理示例剖析1 .垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 条弧.2 .平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB是OO的直径，CD是弦A C上B1

5、 .若 AB CD 于 E,则 CE DE ;Ac Ad ； Bc Bd .2 .若 CE DE,则 AB CD;Ac Ad ； Bc Bd .典题精练* *【例1】 如图,BD是O O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形 ABC,点A在圆内，且AC恰好经过点。淇中BC=12,OA=8,则BD的长为（）A. 20B. 19C. 18D. 16（2012通州一模 如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90,AC=3,BC=4,以点 C 为 圆心,CA为半径的圆与 AB交于点D，则AD的长为.（2013黄石）【解析】A;185【例2】 如图，AB是e O直径，弦CD交AB于E, AEC 4

6、5 ,AB 2 .设 AE x,CE2 DE2 y .下列图 如图,圆心在y轴的负半轴上，半径为5的。B与y轴的正半轴交于点 A 0,1，过点P0, 7的直线l与OB相交于C、D两点.则弦CD长的所有可能的整象中，能表示y与x的函数关系的是（）数值有（D.4个A.1个 B.2个 C.3个（2013乐山）【解析】A；: A0,1，圆的半径为5,，B 0, 4 ,又 P 0, 7 , . BP 3,当CD垂直圆的直径 AE时,CD的值最小，连接 BC,在 RtA BCP 中,CP，BC2 BP2 4 ,故 CD 2CP 8,当CD经过圆心时,CD的值最大，此时CD AE 10；综上可得：弦 CD长

7、的所有可能的整数值有：8,9,10，共3个.故选C.【备选1】如图，AB是。的直径，且AB 10,弦MN的长为8若弦MN的 两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为 ' ,h2，则 h1 h21等于.【解析】 解法一：设AB、MN相交于P，过。点作OH MN于H，连结NO .5,.,. OH 3,AEMN ,BFMN , OHMN ,. AEAEAP 一,BF空，即h1”一一OHOPOHOP 3OP 31/ OH-14, NO -AB2BPOP由垂径定理NH 1MN 2/ BF ,. h h2 AP BP2OPOP当P点在。点左侧时，APBP, APBP当P点在O

8、点右侧时，AP BP, AP BPAOOPBOOPAO OPBO OP 2OPh26.解法二：极端假设法当N点运动到与 A点重合时，AE打0, BF h2 BM此时4ABM是直角三角形，BM VAB2 MN 2 6,，几h2 6.当MN与AB垂直时，AE打 AP, BF h? BP,. MN 8,由垂径定理知 MP NP 4,，OP 3, AP 5 3 2, BP 5 3 8,，1% h2 6 .解法三：连接EO并延长交BF于G易证AOEA BOG , BG AE h1,/. FG h2 h1,由解法一可知OH 3,Oh2 GNh2 h1 2OH 6,B9当MN在圆心O的另外一侧时 小 h2

9、6,6.解法四：连接BE,作OH MN易得I是BE的中点，于H，延长HO交BE于I则HIiBF 21 八-h2 ,OI 21 -AE212hlOHHIOI|hl2OH1 h226 .打3,解法五：延长 BF交。O于G，连接AG ,作OHMN于H交AG于J易证 GF AE h1,OJ1 1BG 2OH OJ JH| hi h2| 2OH【点评】此题还有其它解法2 h16 .h21卜h hih2 ,2h1 hhhi h2 h1 ,2，老师在讲解时还可以引导学生拓展思路：弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理思路叫y漱在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分

10、别相等。利用这个定理，我们可以把四组量的相等关系进行相互转化，做到有的放矢。暑期知识点回顾：定理弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量分别相等.A示例剖析""D如图，由定理可知：若 AOB COD，则 AB CD、Ab典题精练/ 若 AB CD，则 AOB若 Ab (?D,则 AB CD、【例3】 如图，AB是半圆，0为AB中点，C、D两点在AB上，且AD/OC,连接 BC、BD,若 CBD 31，则 ABD 的度数为何？（）A.

11、 28B. 29C. 30D. 31cod、AbAOB(?D ；C?D ；COD .11（2013台湾） 已知：如图，MN是。O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是 An的中点 下是MN上一动点，。0的半径为1,则PA PB的最小 值是.（北大附中月考） 如图，半圆O的直径 AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分/ BAC,则AD的长为（）A. 4j5cmB. 3d5cmC. 545cmD. 4cm13（2013内江）如图所示，在。中，AB 2CD,那么（）a. Ab 2Cdb. Ab 2Cdc. Ab 2Cdd. Ab与2Cd的大小关系不能确定【解析】A. 作B点关于MN的对称点B&#

12、39;,连接AB'与MN交于点P , 易证得，此时PA PB取得最小值.根据圆的对称性，B'点在。上,且B n ?N , A是半圆的三等分点， l An 1MAN ,. aon 60 , 3 B是An的中点, 一 1 一-一 BON AON 30 ,. B ON 30 , 2AOB' AON BON 90 ,OO半径为 1,，OA OB' 1,. .AB，720A a , PA PB的最小值为石. 连接 OD,OC,作 DE LAB 于 E,OF，AC 于 F, . Z CAD = Z BAD （角平分线的性质），CD BD , ./ DOB = Z 0AC=2

13、/ BAD,AOFA OED, -1 - . OE AF AC 3cm, 2在 RtA DOE 中，DE v'OD 2 OE 2 4cm在 RtA ADE 中，AD JDE 2 AE 2 4石cm .故选A.如图所示，作De Cd,则Ce 2Cd.在 ACDE 中，CDDE CE ,2CD AB AB Ab 故选A.CE, 2CD , CE , Ce ,即 Ab2CD .例4 （1）如图，在O。中,AD、求证：AB=CD;BC相交于点E,OE平分/AEC. 如果。O的半径为5,AD，CB,DE=1,求AD的长.（2013普陀模拟）【解析】 过点。作OM，AD ,ON ± BC

14、,. OE 平分/AEC,，OM=ON,，ADCB, AD BD CB BD ,即 AB CD ,-.OM±AD,.-.AM=DM, .AB=CD; AD，CB,OE 平分 /AEC,'/ OEM =45° ,.Z OME=45°, ./ OEM=Z EOM,. .OM=ME,在 RtAAOM 中,OA2 OM 2 AM 2 ,即 25 AM 12 AM 2解得：AM 4或AM 3 （舍去），故AD的长为8. 如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是Ac的中点，MN1【解析】MN -AC .2AB于N，试判断MN与AC的数量关系并证明.解法一：

15、连接OM，交AC于D M 是 Ac 的中点，. OM AC ,即 ADO 90 ,AD OA OM , AODMON ,. AAOD MON ,. AD MN ,. MN解法二：补全圆延长由垂径定理可知,EN1 c-AC .2MN交。O于E-1 _MN,即 MN -ME 2.1. Me 2MA,又m 是 Ac 的中点，. Ac 2Ma,Ac Me ,，ac me ,1 . MN -AC .2才题型三圆周角定理MOABECOA NBEC17思路/二南典题精练.二对P【例5】如下左图,4ABC内接于OO, AB那么BD .BC , ABC 120 ,AD为OO的直径，AD 6 ,如下中图，AB是。

16、的直径，点C、D在。上，BOC110 , AD / OC，贝U DCAA. 70 B. 60 C. 20 D. 40 如下右图，。0的半径为1,AB是。的一条弦，且ABBJ3,则弦AB所对圆周角的度拿到圆周角，先观察它的位置，对于位置不合适的，可以利用弧把它转化为圆心角或相等的 圆周角，除此之外，由半径和弦构成的等腰三角形也是常用的转化角的工具，应该熟练应用.暑期知识点回顾：定理示例剖析圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的T.推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角 相等，它们所对的弧f相等.推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90的圆周

17、角所对的弦是直径.C 役 AOB 2 ACB 选 A若 acbaed ,则 Ab AdaQT、直径【解析】3邪；C;60或120【例6】 如图,面积为2的四边形ABCD内接于。对角线AC经过圆心，若 BAD 45 , CD 夜，则AB的长等于 .如图，已知圆内接四边形 ABCD中AB 11, BC 9, CD 3,若Ab Cd Bc Ad,则 ad .【解析】强.连接AC、BD1 Ab Cd Bc Ad,.-. Ab Cd 1803 ACB CBD 90° 22224 ACBD , . ADBCABCD,._22225 AD311949 ,.AD7 .另外还有一种解法：过点 C作CE

18、 II BD交。0于点E .【例7】在 ABC中，AC BC , M是它的外接圆上包含点 C的弧AB的中 点,AC上的点X使得MX AC，求证：AX XC CB .（三帆中学期中）D【解析】 解法一：过点M作MN / AC交。于N，过点N作NE An Cm , ae cx ,Am ?m ,. Mn ?cMN BC,，BC EX ,. AX XC CB解法二：如图，在XA上取一点D,使得XD XC,连接 MC ,MB, MD ,MA由 XC XD, XM CD , MD MC又 M是圆上包含点 C的弧AB的中点6 MA MB又 MBC MAD , MDC MCD BAM ,7 AMD BMC ,

19、 MAD MBC , AD BC8 AX AD DX , AX XC BC解法三：如图，过M点作ME BC交BC延长线于E,连结 MA MB、MC ,AC 于 E .9 M是圆上包含点 C的弧AB的中点， MA MB ,10 MX AC , ME BC ,AXM BEM 90又 MAX MBE, ,. AAMXABME,MX ME , AX BE .MCE MAB MBA MCA,11 AMCX AMCE ,CX CE,12 AX BE BC CE BC CX .（类似此方法还可以“延长 BC到E ,使CE CX，连结ME ”）解法四：如图，延长AC到F，使FX AX,连结MA、MB、MC、M

20、F ,MA MB ,MABMBA,MX AC ,AXFX ,MA MF ,MB MF ,MAFMFA,MACMBC , MBCMFC,MCAMFCCMF ,MCAMBAMABMFCCMF ,BACBMC ,CBMCAM ,MABBACCAMBMCCBMMFCCMFBMCCBM ,BMCCMF , MBCAMFC,CFBC,AX FXXC CF XCBC .M是圆上包含点 C的弧AB的中点，MAB ,19C此法还可以连接 FB,利用等腰三角形的性质可以证得结论.【点评】此题还有很多种不同的解法，老师们可以引导学生拓展思维，多总结方法 第01讲精讲：圆中垂直弦的相关结论探究；【探究对象】圆中垂直弦

21、所组成的四边形的性质【探究目的】垂直弦是圆的题型中常见条件之一，以垂直弦为对角线的四边形非常特殊，具有很多自己特有的性质和结论，探究并掌握垂直弦所带来的性质和结论对于加强对圆的认 识和加深对解题技巧的掌握都有很大的帮助；【探究1】角的相关性质探究：圆内接四边形对角互补：BAD BCD 180 ;ABC ADC 180 ;【探究2】边的相关性质探究：对边平方和相等：AB2 CD2 AD2 BC2 4r2 ;分析：连接CO,延长CO与圆。相交于点E,连接AE、BE;则 EAC 90，从而AE / BD ；易得 12 3;所以 BE AD,AD2 BC2 BE2 BC2 CE2 4r2；【探究3】面

22、积的计算探究:1四边形ABCD的面积等于对角线的乘积的一半：酶边形ABCD AC BD ；2【探究4】面积的性质探究：相对顶点同圆心的连线段平分四边形的面积: 一 1一.S四边形AOCD SI边形ABCO 八SI边形ABCD，2分析：过O作OE AC ,垂足为E ;过O作OF BD ,垂 足为F ;S AOCS ADC1-AC OE 21AC DM 2111-ACMFAC DM -AC MF DM222S四边形AOCD1 -AC DF21 -AC BD4二丽边形 ABCD ；2【探究5】中点四边形探究：四边形ABCD的中点四边形为矩形;【探究6】弧度探究:对弧和相等，且均等于半圆:AB CD

23、AD BC 180 （以上弧均指劣弧）;分析：同【探究 2,AD BC BE BC CBE ;【探究7】圆中的婆罗摩笈多定理：过对角线交点且平分一边的直线必垂直于对边：如图，若E为BC中点，则EF AD;过对角线交点且垂直于一边的直线必平分对边：如图，若EF ADM E为BC中点；【探究8弦心距与边的关系探究： 1一边的弦心距等于对边的一半：OE -CD ;2分析：方法一：过O作OF CD,垂足为F连接OA、OB、_ 1 _-. BOE - AOBACB2AOC、12-190CBD90 -COD290COFFCO；BOE 色 OCF ；1 OE CF 1CD - 2，方法二：连接 AO，延长A

24、O交圆O于点F ,连接BF ; BAF 90 F 90 ADB CAD ; BF CD ;OE -BF 1cd; 22方法三：过。作OF CD ,垂足为F，连接ME、MF、OF ;由【探究7】的婆罗摩笈多定理可知 EM CD , 从而 EM II OF ;同理 MF II OE ;二四边形OEMF为平行四边形；1OE MF -CD.思维拓展训练(选讲)科的是DE2训练1. 如图，AB是。O的弦，OD AB于D交。于E ,则下列说法错误( )A. AD BD B. ACB AOE C. Ae Be D. OD。的半径为5, P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4,则过P点的弦长的最小值如图，0O过

25、点B、C .圆心O在等腰直角4ABC 部，BAC 90 ,OA 1, BC 6,则。的半径为 .D 如图，在OO内有折线 OABC 淇中OA 8 , AB 12, A BC的长为.【解析】D;6 ；A；20.训练2.如图，AD为 ABC外接圆的直径，AD BC ,垂足为点F ,的平分线交 AD于点E ,连接BD , CD .求证：BD CD ;请判断B, E, C三点是否在以 D为圆心，以DB为半径的 圆上？并说明理由.【解析】 证明：.AD为直径，AD BC,?d Cd .BD CD .答：B, E , C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由知：Bd Cd , BAD CBD. D

26、BE CBD CBE, DEB BAD ABE, CBE ABE, DBE DEB . DB DE由知：BD CD . DB DE DC . . B, E , C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.训练3.如图，P为。O外一点，过点P引两条割线是Ab , Cd的中点，连结mn交ab,cd于- pPAB和PCD ,点M , N分别cAi一点E . F .求证：4PEF为等XN腰三角形.【解析】 连结OM , ON，分别交AB , CD于G m , n分别是Ab, Cd的中点， OM AB ,ON CD ,即 MGE 又 OM ON ,. M N , 由此得 MEG NFH，即 PEF PE P

27、F ,即APEF为等腰三角形H.M-ENHF 90 .J B ,.©：m bmA'1【解析】 答案是肯定的，即APEF依旧是等月三角形.训练4. 已知AD是。O的直径，AB、AC是弦，若AD 四点构成的四边形的周长.【解析】分两种情况讨论： 如图1,弦AB> AC在直径AD的异侧，连组 . AD 是直径，B C 90 ,在 RtABD 中，BD2 AD2 AB2,贝U BD . 223 2 1,222在 RtA ACD 中，CDAD AC ,A证明方法与例题类似.2, AB 33, AC J2,求由 A B C、Df BD、CD ./AO-DC图1探究：当点P在。O上或

28、。内时其它条件不变，结论还成立吗25贝U CD22227四边形周长为AB BD如图2,弦AB、AC在直径CD AC V3 172721v3 2& .AD的同侧，连结CB、BD、CD ,过C点作CE AB于E . AD 是直径,. ACD ABD 90在 RtABD 中，BD2 AD2 AB2,则 BD2231 ,222在 RtA ACD 中，CD AD AC ,则 CD222 22,AC CD ,. CAD CDA 45 ,. ABC ADC 45 , CE AB ,. CEB 90 ,/. ECB 45 , CE EB . 设 CE EB x,则 AE 73 x, 在 RtA ACE

29、 中,AE2 CE2 AC2,223 1即V3xx2V2，整理得2x22s/3x10，解得x-2BC . 2CE 2 , 21四边形周长AC CB BD AD &旄"2 1 2 3娓“222题型一垂径定理巩固练习2, AOE 30，求 PE 的长.【练习1】 如图，点A、B、C是。上的三点，AB / OC .求证：AC平分 OAB ; 过点O作OE AB于点E ,交AC于点P .若AB【解析】 .AB / OC ,. BACC ,OA OC ,. OACC ,BAC OAC , AC 平分 OAB .，、一1. OE AB,/. AE -AB 1 ,2在 RtAOE 中，OE

30、A 90 , AOE 30 , . AO 2AE 2, OE 73.以下可以用两种不同方法解答：解法AE PE 1 AB / OC ,， OC OPPE -OE .33解法二：由得AC平分OA由角平分线定理可得 OAEPE -OE 直.33OAB ,OP 2,【练习2】如图，OO中, AB是直径，弦GE EF , HFEF ,GE、HF 交 AB 于 C、D .求证:AC BD .【解析】 过。点作OM EF于M点,M是EF中点, GE EF，HF EF ,，GE / HF , 又 OM EF ,. GE / OM / HF ,O是CD中点, OA OB ,. AC BD .题型二 弧、弦、圆

31、心角、弦心距的关系定理巩固练习【练习3】 如图，过。O的直径AB上两点M、N，分另1J作弦 CD、EF，若CD求证： ?EC ADF ; AM BN .【解析】AC BF ,.-. Ac Bf , AB 是直径,. AEB AdB , . Aeb Ac Adb ?f，即?ec Adf .由可知 CAM FBN , CD / EF ,. CMA DMB FNB , 又 AC BF , ACM BFN ,. AM BN .EF , AC BF .题型三圆周角定理巩固练习【练习4】 如图, AB是。的直径, CD AB,设 COD则旭sin2.AD 2 如图, AB是。O的直径，弦PC交OA于点D弦PE交OB于点F , 且 OC DC，OF EF .若 C E，则 CPE .【解析】1；40 .C29【练习5】已知点A B> C、D顺次在OO±, Ab ?D , BM AC于点M，求证：AM DC CM【解析】解法一：补短法过B点作BN CD交DC延长线于N . BM AC, BN CD,' AMB DNB 90 , AB DB , BAM BDN ,.1. ABM DBN , AM DN , BM BNBCN BAD BDA BCM ,