7-6高阶线性微分方程

1、高阶线性微分方程 第六节第六节二、齐次线性微分方程解的结构二、齐次线性微分方程解的结构 三、非齐次线性微分方程解的结构三、非齐次线性微分方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、概念的引入一、概念的引入例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力

2、阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若受到铅直干扰力若受到铅直干扰力pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程时，时，当当0)( xf二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()

3、()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 问：问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？ 定理定理1 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x) 是方程是方程y P(x) y Q(x) y 0 的两个解，那么的两个解，那么y C1 y1(x) C2 y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 齐次线性齐次线性方程解的叠加原理：方程解的叠加原理：证明提示：证明提示： C1y1 C2y2 P(x) C1y1 C2y2 Q(x) C1y1 C2y2 C1y1 P(x)y1 Q(x)y1 C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 0 0 0二、二阶齐次线性微分方程

4、的解的结构二、二阶齐次线性微分方程的解的结构说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解但是但是)()(2211xyCxyCy则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 问：问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？ 函数的线性相关与线性无关：函数的线性相关与线性无关： 设设y1(x)，y2(x)， ，yn(x)

5、为为 定义在区间定义在区间I上的上的n个函数如果个函数如果 存在存在n个不全为零的数个不全为零的数k1，k2， ，kn，使当，使当x I 时有时有 k1y1(x) k2y2(x) knyn(x) 0 成立，则称这成立，则称这n个函数在区间个函数在区间I上上 线性相关；否则称为线性无关线性相关；否则称为线性无关 定理定理1 如果函数如果函数y1(x)与与 y2(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0 的两个解，那么的两个解，那么y C1y1(x) C2y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 齐次线性齐次线性方程解的叠加原理方程解的叠加原理 例如，

6、例如，1，cos2x ，sin2x 在整个数轴上是线性相关的函数在整个数轴上是线性相关的函数1，x，x2在任何区间在任何区间(a, b)内是线性无关的内是线性无关的两个函数在区间两个函数在区间 I I 上线性相关与线性无关的充要条上线性相关与线性无关的充要条件件: :)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( ( 无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考: :)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0, 0, 则则)(),(2

7、1xyxy必线性必线性相关相关 例例3 验证验证y1 cos x 与与y2 sin x 是方程是方程y y 0 的线性无关解，的线性无关解， 并写出其通解并写出其通解 解解 因为因为y1 y1cos x cos x 0，y2 y2sin x sin x 0， 所以所以y1 cos x与与y2 sin x都是方程的解都是方程的解 因为比因为比sin xcos x不恒等于常数，所以不恒等于常数，所以cos x与与sin x在在 (, )内是线性无关的内是线性无关的 因此因此y1 cos x 与与y2 sin x 是方程是方程y y 0 的线性无关解的线性无关解 方程的通解为方程的通解为 y=C1c

8、os x C2sin x 总之，对于两个函数，如果它们的比为常数，总之，对于两个函数，如果它们的比为常数， 那么它们就线性相关，否则就线性无关那么它们就线性相关，否则就线性无关 例例4 验证验证y1 x 与与y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的线性无关解，的线性无关解， 并写出其通解并写出其通解 解解 因为因为 (x 1)y1 xy1 y100 x x 0(x 1)y2 xy2 y2 (x 1) ex x ex ex 0 所以所以y1 x与与y2 ex都是方程的解都是方程的解 因为比值因为比值e xx 不恒为常数，所以不恒为常数，所以y1 x 与与y2 ex在在 (, )内是

9、线性无关的内是线性无关的 因此因此y1 x与与y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的线性无关解的线性无关解 方程的通解为方程的通解为 y=C1x C2e x 如果如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程是方程 y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x)y 0 的的n个线性无关的解个线性无关的解 那么那么 此方程的通解为此方程的通解为 y C1y1(x) C2y2(x) Cnyn(x) 其中其中C1 C2 Cn为任意常数为任意常数 推论推论3.3.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: : 我们把方程我们把方程 y P(x)y Q(x)

10、y 0叫做与非齐次方程叫做与非齐次方程 y P(x)y Q(x)y f(x)对应的齐次方程对应的齐次方程 定理定理3 设设y*(x)是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解，的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么是对应的齐次方程的通解，那么y Y(x) y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示：证明提示：Y(x) y*(x) P(x) Y(x) y*(x) Q(x) Y(x) y*(x) Y P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y* Q(x)y* 0 f(x) f(x) 例如例如， Y C1cos

11、 x C2sin x 是方程是方程y y 0的通解，的通解， y* x2 2 是是y y x2 的一个特解，的一个特解， 因此因此 y C1cos x C2sin x x2 2 是方程是方程y y x2的通解的通解 定理定理4 (叠加原理叠加原理) 设非齐次线性微分方程设非齐次线性微分方程 y P(x)y Q(x)y f(x) 的右端的右端 f(x)是两个函数之和是两个函数之和 y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x)， 而而y1*(x)与与y2*(x)分别是方程分别是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x) 与与 y P(x)y Q(x)y f2(x) 的特解，那么的特解，那么

12、y1*(x) y2*(x)的是的是 原方程的特解原方程的特解1212( ),( )( )( )( )( )( )y xyxyP x yQ x yf xy xyx 设设是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的两两个个特特解解，则则是是它它所所对对应应的的齐齐次次方方程程的的解解。定理定理5（补充定理）（补充定理）常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;

13、)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且xxyyyyxx21312ee常数常数因而线性无

14、关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解为故所求特解为有三有三 三、降阶法与常数变易法三、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)

15、(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyx

16、cyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12

17、212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCy

18、x四、小结四、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是