北京市高考数学分项精华版专题14推理与证明、新定义(含解析)(1)

1、【备战2015】（十年高考）北京市高考数学分项精华版专题14推理与证明、新定义（含解析）1.12006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示，图中 xi, X2,必分别表示该时段单位时间通过路段Ab,?c,Ca的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20, 30; 35, 30; 55,50 (A) x1(B) 人(C) x2(D) X3【解析】依题意，有 xi= 50 + X3- 55= X3 5, Xi X3,同理，X2= 30+Xi 20= Xi+10x1 X2,同理，

2、X3= 30+X2 35 = x2 5 x3 x2故选 C2.12009高考北京理第8题】点P在直线l : y x 1上，若存在过P的直线交抛物线 y x2于A, B两点,且|PA |AB|,则称点P为点”，那么下列结论中正确的是（）A .直线l上的所有点都是“ .点”B .直线l上仅有有限个点是“ I点”C .直线l上的所有点都不是“。制点”D .直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“,也点”【答案】A【解析】试题分析：本题采作数形结合法易于求解，如图，设-U出产 I 二9 1K工一11, 1,； jt_2打一十一21，r.-T-、L二疗丁且2在上,X二同一上一1- J用S-；消去胃,整

3、理得关于工的方程.，J(1),. A - (4阴一D“ 一4(2k -。=Sk - 呜十二 。恒成立.二方程 恒有实数解，二应透着点工创新题型.|3.12014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A. 2人 B .3人 C . 4人 D .5人【答案】B【解析】试题分析:用d、B、C分别表示优秀、及格和丁*侬题嵩事件.小5。中都最

4、多只有一 个元素，所以只有秘，满足条件 若点；合憎推理，中等题.I4.12005高考北京理第14题】已知n次式项式Pn(x) a0xn a1xn 1an 1x an.如果在一种算法中，计算 x；(k 2,3,4, ,n)的值需要k 1次乘法，计算P3 (xo)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10 (x。)的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：Po(x)=ao,Pk+i(x)=xPk(x)+ak+i(k=0,1,2,，n1).利用该算法，计算 P3(X。)的值共需要6次运算，计算Pio(X。)的值共需要 次运算.【答案】+21：一 【解析】试题分析:由题意知道4

5、的值需要k -1次运算即进行t-lrl .V的乘法运售可得到丫的结果对于二口-工-3 困KJ 口.M -工这里A = 小 -XX *进行了 ?由运国：/上；二/乂豌乂.进行了二次运算*7.进行，次运算济/.4匕1&二墨之间的加法运算进行了 3欷这样脸)总共进行了力十2十1十3 = 7 ,运算对于耳(丁)=口二工-空尸+-&篦产-行”; 口+门-1. -2+.+1=，二，决乘法运算及，行欠加法运苴所总共进行上L, = 3-rfc r一a-V由改进蕾法可知IW (,) = % R-1 (三)十碘！只/、R； (k ：) + %一1 S：) = ? *：) - 口？(界J =用运算次数从后往前萼和为

6、；2 +】+-2 = 1印次 着点：信息颖.5.12007高考北京理第20题】(本小题共13分)已知集合aa1,a2,L,ak(k 2),其中ai Z(i 1,2,L , k),由A中的元素构成两个相应的集合：S (a, b) a A, b A, a b A ,T(a, b) a A, b A, a b A .其中(a, b)是有序数对，集合 S和T中的元素个数分别为 m和n.若对于任意的a A,总有 a A,则称集合 A具有性质P.(I)检验集合 01,2,3与 1,2,3是否具有性质P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合 S和T;(II )对任何具有性质 P的集合A,证明：n k 1

7、)；2(III )判断m和n的大小关系，并证明你的结论.【高考考点】集合语言的理解，反证法，创新怠识和综合应用薮学知识分析问题、解决问题 的能力.【试B析】 解：集合盘不具有性质产.集合TL%具有性后P,其相应的集合 S和7是5 :, 7 = G，-1）.（2,3.（in证明：苜先，由月中元素梅成的有序数对目,学）共有.因为OJL所以7（f = bZ-又因为当之亡且时e -aAr所以当（巴 町”丁时* （日，硝-8 t）.I#0从而，集合中元素的个数最多为1（产-蜀=竺辿，即匕4民与口. 一 ,（m）解=w=n=证明如下:（1）对于（G 5）wS”根据定义，7 ed F a JL且04占Ed，

8、从而h） r.如果（3占）与，d）是S的不同兀素,那么s = u与占=H中至少有一个不成立从而金-弓=与占二/中也至少有一个不成立.故I.H-与仁-出力也是的不同元嘉.可见，$中元素的个数不麴于中元素的个散，即巧M管，（2）对于3 乏 T* 根据定义，& wa, fi c J j _& T-i c At 从而（a-2 b）e S.如果（小与与（G W）是了的不局元素，那么4=c与占=4中至少有一个不成立，从而在b = w- H与3 =d中也丕至少有一个不成立，故S-如拉与s-4吟也是5的不同元素.可见,中元素的个数不多于5中元素的个数，即五工明，由（1） C2）可知，附=3【易偌提起不能正确理

9、解题总【备考提示】教学考法大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现. ” 命题时要设计“研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索1发挥主现能 动性新题型即创新题型有较好的信度和效度.从而有较好的区分度，能充分考查学生的将创新意识和创造白匕|3因此，在近年高着题中经常出现.本题属于新定义熟勰迁移幽， 解这关题的策略是；仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合 所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理,发现解题方法，始后解决问题.6.12008高考北京理第20题】（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列 A: ai, a2,L , % ,定义变换

10、 工，T1将数列A变换成数列T1(A)： n, a1 1, a2 1,L , an 1.对于每项均是非负整数的数列B:n,b2,L,bm,定义变换丁2,丁2将数列B各项从大到小排列，然后去 掉所有为零的项，得到数列 T2( B)；又定义 S(B) 2(b1 2b2 L mbm) b12 b2 L b；.设Ao是每项均为正整数的有穷数列，令A i T2(Ti(Ak)( k 0,1,2,L ).(I)如果数列 A0为5, 3, 2,写出数列A, A2 ;(n)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A) S(A);(出)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当kK时

11、，S(Aki) S(Ak).【答案】3)解:电：532,不司=月(汇($)印3,工建孤士)心,2,10,UD证明：设每项均是正整数的有穷数列3为公 七，一，则看Q0 尢露 g1 111 r ，1 t从而SOX4K = 2. 42(研 T)+3Cfl: -1) c+1)(% -DI -+(做- D： + (的 一1尸 + +(4 - D t又 SQt) = 2(4 - 2牝m,) i比 + 电 一 ,-11叮二，所以,5工(一切一发且)=平一一Si)+x%+ 口、+ - - + 口) +片一二口-P7r + - - 牛口”)+ 七三一转(犀1) +”- + 二-0 故5区(用)=50).(出)证

12、明：设 A是每项均为非负整数的数列 a1, a2,L , an.当存在iWxjW*庚得aWg时，交换救列a的第1项与第J项得至顾到风则 s(为5Q。= 4 + jq -也山)二%力g 4)W o.当停在1W阴Ch使得已1t.i二 二二二0时，可S例5，不，.人为C. B r*d-I，则 s(G=s(a).所以smc功wh.从而对于任意给定的政列.k由T二40(了 E二OIL)可知 55jJWS(EQ).又由(II)可知5(2；U)= SQ、J，所以：W;，即对于上百要么有5口一)= 乂4，区必有5(d：_jW5CA)-1.因为友4)是大于二的整敷，所以经过有限步后，必有义$)=义工j)=S(j

13、y)=一.即存在正整数K,当后三K时，(.) = $($)7.12010高考北京理第 20题】(13分)已知集合 $=XX= (xi, X2,，xn), XiC0,1 , i =1,2 ,，n(n2).对于 A= (ai, a2,，an), B= (bi, b2,，bn) C &,定义 A与 B 的差为 A B= (| aibi|, |a2nb2|,，| an-bn|) ； A与B之间的距离为d(A,场= a b i i(i)证明：Va, B, CC S,有 A-BC S,且 d(A C, B-C) =d(A,场；mnd ( P)，证明：d(P)2(m i)(2)证明：Va,B,CCS, d(

14、A,B),d(A,C) ,d(B,。三个数中至少有一个是偶数;(3)设P=S,P中有m晔2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为答案：证明：(i)(理(i),文(2)设八=(ai,a2,，an),B=(bi, b2,，bn),C= (ci,C2,，Cn)CS.因为 ai, bi e 0,i,所以 |ai bi| 0,i( i =i,2 ,，n).从而A-B=(|ai-bi|, |a2-b2|,，|anbn|)e3.又 d( A C B C)=|aiC |一 |bG |,由题意知不 储(0,11-t而.当我=0 时，| | s r.| | bc, |=| 总一员当 d 时* I | a.-c

15、l 11.c 11=1 (1 ) (1ZjJ | = | a,t.l.所以 d(ACt 二二卜.一h 产Jtj.kl(2 设户(部，比，r m3乱，bj* C= G，rJ E 却d(At 历=上.*4 a = h 4记片g.6已。由可;ud(A,团=、(旬一4 万一 =成a .d(A G 三州再一 4 L4尸成& C = Jd(ff, 0 “ 一加=及所以I大一瓦I H=L时，口)中1的个数匕一瓦|口=1,徐，加中1的个数为上馒小是使I b比尸|此一鼠户1成立的2的个量则升广23由此可知，4上,上三个数不可能都是奇数，靠成总初卜内自6*海口三个数中至少有一b是偶数. d(p)=-Lc：1展p.

16、(乩，其中】用产川4表示产中所有两个元素曲巨离的总和.设F中所有元素的第1个位苴的数字中共有七个L L t个则X1正尸或乩切=工力(咽一大).-1由于土(khso=LZ，Xrj-所以W PNH,同W.4 、从而2(F)二4.3不 F小，动工空= 叩C；4C；五吁 1)8.12011 (Wj考北乐理第20题】育数列 An : a)a? )an (n 2)满足la- ak| 1 (k 1)2) n 1）,则称An为E数列。记S（An） ai a? L 4.（1）写出一个满足a a 0 ,且S（As） 0的E数列A5；（2）若ai 12, n 2000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是 an

17、2011； （3）对任意给定的整数n（n 2）,是否存在首项为0的E数列An,使得S（An） 0 ?如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。【解析（I）61，2 1，0是一具满件的（答案不唯一，如b 0, 1，0也是一个满V条件的E为数列A（II）必要性.因为E数列工是圉善数列，所以/t-2二.二匕,1999）.所以限是苜项为他 公差为1的等差数列.所以立二产12+（20001） Xl=20 十）性m由于.：&-：1, 比:一1：二立a：l3rUA a 0代=1Tz 7以也即&是星增数切.综上，络亦得证。CIII）令q = /n 一 % = 1 0（4：= LZA ：*-

18、 1）=则 = L因为% =q +6 +/ =勺 +心十三4 =鼻+g 屯 +A 4GH4 ;所以鼠4 = 31+ （m-1）5 +（制2乂？十。一3）Gn+A 十七时=一 口 F 拗1）十。P G _ 2H A 71匚QL因为q=L所以1一公为偶薮信=1人/二鳖所以（1 一 ,）（仙-1） +（1 - chXw - H* 7 丁 d士用）为偶数j所以要使S（从J =伉 必须使刑：”为偶就即4整除制值一1）二亦即科=4出或孔=4粗41胴jV*）.当科=4加十1（切七.V*时歹山4用顶满足或=0.%1 =1，口# =1Ar= L21A ,吟时，有 二 口工5（4）= 0; 口a=1（九=L 1L

19、。=口时有, = （4） = 0;当m = 4m-bl（w? W N*附:碣列4的吭蔺足，日举冬才三上仪墉-2 =T,当科=4m十2或村=4m + i（jk N时.双徵一1）不能被4整除，此时不存在E数列心使得 =口3（4）=。.9.12012高考北京理第20题】(本小题共13分)设A是由m n个实数组成的 m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S m,n为所有这样的数表组成的集合 .对于A S m,n ,记(A)为A的第i行各数之和(1领Jim),Cj (A)为 A 的第 j 列各数之和(1 蒯 j n);记 k(A)为 r1(A)2(A),rm(A) , |g(

20、A) , |q(A),cn (A)中的最小值.(1)对如下数表 A,求k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表A S 2,3形如11cab1求k(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的 A S 2,2t 1，求k(A)的最大值.【答案】解1由题意可知图s A |1 .Lic, |?1 r -1 ,S二皿=0.7(2)先用反证法证明有工i ir i J = a-1 =-：7-1 1, .0同理可知0由题目所有数和为0割少一占一七一一1,4二11一匕41与题目条件矛盾- 1 + - + T f-2| 匚1(且)口匚1(月)|=1+- =T ，十.，十下面证明三担是最大值，若不然则存在一个数表A w 5*2+1),庾得kQ% = x三二 r + ?r 2由支口)的定义如a的母KJ由个数之和由绝对值都不小于天，而两个绝对值不超过1的数的和，具般MB不超过故的每一列两个数之和的缸同值都在间x中，由于；VA1.故4的每一列两个数符号均与 列和的符号相同，且绝对值均不小于， 道且中有g列的列和为正