备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题08函数的最值与值域的妙解

1、专题 08 函数的最值与值域的妙解考纲要求：1、 考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象 法、基本不等式法、导数法、换元法.2、 会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足条件对于任意x1，都有f(x)wM对于任意xI，都有f(x) m存在X01,使得f(X0)=M存在X。1，使得f(X。) =m结论M为最大值m为最小值应用举例：招数一：换元法与配方法【例 1】2017 山东省枣庄八中高三月 考】函数f(x) =logA/XTog运(2X)的最小值为 _1【答案】4【解析】依题意得隔 1(

2、(2+2如卅)=(宓兀)：+如天=(紳+甘-詩-右当且仅当-p即戶号钿等号成 N 因此函数&的最小值为总【例2】【2017 浙江省宁波市高三入学考试】求函数y=x- 1 2X的值域。1【答案】y|y0,于是-1=-如 + 1）2+ 1,-2 -【答案】C【解析】令 y 或吟化一1,1,则原式变为/(/) =?-4/+5/(/)-/-2/+1在1递赢/(-1) = 101/1)=2值域为2,10本题选择厂选项”招数二：图像法【例 4】.【2017 届山西省实验中学高三 3 月联考】h x =min：f x , g x的最小值为h怡，则实数a的取值范围为()Aa 2 Ba兰一2 G a v 1D.

3、a兰一1【答案】A可得f(x )的最小值为 0,最大值为 2；g (x )= x+丄+a(x a 0)兰2x丄+a = 2+ a，xV x当且仅当x=1取得最小值2 a，由存在唯一的x0，使得h x二min丫f x , g x；的值 为h x0，可得2 a：0，解得a：-2，故选A.【例 5】【2017 福建省福州市高三模拟考试】设函数g(x) =x2 2(xR),设函数nx _1 +cos ,x1 x = 2x , 0：x二1,1函数g X = X一- a x0),若存在唯一的Xo，X使得nxf x Jcos2x4的图象,【解析】作出函数-3 -g(x) +x +4,x 2，由xg(x)，即

4、一K x2X2X-2, x 引-1,2199时，f(x) 2;当一1xW2时，f( ) vf(x) f(2) ?wf(x) 0，所以f(x)的域为,0244x9A,0 U(1,+4【答【解 f(x)【例6】【2017 浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设min、x, y?二V, X丄y，若定义域x, x V2x为R的函数则min f (x),g(x)的最大值为【答案】8【解析】设min：f x , g x，m, m f (x)=Img(x)x2m空f(x) g(x)二m-，显x +82.，x：Q仅-4 -然，当m取到最大值时，x0, x +8-5 -f (X) =g(x)当x =8时等号成立

5、，即m的最大值是昱，故填：V2.| x88x 0【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如同向不等式”才可相加、同向且两边同正的不等式”才可相乘【例 7】【2017 河北省武安一中高三月考】求函数y二log3x logx3 _1的值域.【答案】(一汽一 3U1 ,+).【解析】函数定义域为開圧出且和.当 4 时，血宀于是尸血卄盅-住2推曲碍当1 时，J( (73jr0；当x (1 ,e时,f (x)v0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1 ,e，所以当x= 1 时，f(x)取得最大值ln1 1 = 1.【例10】【2017

6、 山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0 ,)上的函数f(x)满足f x=f(X1)f(X2)，且当x1 时，f(x)X2，则1,由于当x1 时，f(x)0 ,X2lOgsJT招数四: 单调性法【例8】 设X_2,则函数一X 2 X 5x 1的最小值是【答283【解析】令X +1 =t,贝y y =t+纟+5,t W b,母).该函数是tf(x) =lnxx在区间(0 ,e上的最大值为(3, V上的增函数,则ymin283【例9】函数A1 eB.1C.eD.0-6 -7 -，即f(xj -f(X2)0，因此f(xJ0,x0),a x【解析】证明：任取则 fg) 丄一丄一丄+a Xi 8JC

7、iJtgfJTiJTa0?二/(航)一 fg) 0,即 f(jn)(舫), 二吃)在 ftb +8)上是増函数.为増函数八)二牛一 2=扌，f*二牛一扌二 2,解得 a=|.招数五：导数法【例 12】函数f(x) =x3 3x 1,若对于区间3,2上的任意X1,X2,都有|f(x f(X2)| t, 则实数t的最小值是()A. 20B. 18C. 3D. 0【答案】A【解析】因为f(x) = 3x2 3 = 3(x 1)(x+ 1)，令f(x) = 0,得x= 1,所以一 1,1 为函 数的极值点.又f( 3) = 19,f( 1) = 1,f(1) = 3,f(2) = 1,所以在区间3,2

8、上f(X)max=1,f(x)min= 19.又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(X)min 20,所以t的 最小值是 20.【例 13】【三湘名校教育联盟.2017 届高三第三次大联考】 已知函数f X二ax3 3-a x在-1,1上的最大值为 3,则实数a的取值范围是()A|33B.I-312IC1-3,3】DI-3,12】_ 2,3_ 2【答案】B【解析】f x二ax3 3-a x在I -1,1上的最大值为3= f x -3对x 1-1,1恒成立且所以f(1)求证：f(x)在(0,+s)上是增函数;2【答案】(1)略；(2)a=g.5若f(x)在 g, 2 上的值域是|2, 2 I

9、，求a的值.-l-2_-8 -取到等号，因为f1=3,所以只需考虑fx空3对x 1-1,1恒成立，33f x乞3：= ax亠3 -a x辽3二a x -x乞3 1 -x：= ax x W:3,1 x x 1 = 0即x = 0,-1时，f x _ 3恒成立；3综上：实数口的取值范围罡 弓12 点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题本题的关键是f 1 =3，所以f x二af 3 - a在-1,1】上的最大值为 3 二f x 3对x -1,11恒成立，利用变量分离，分x(x+1)=0，x(x + 1)0,x(x + 1)0三种情况讨论，然后根据 -3在不同x x 1情况下对应的值域求得a的

10、取值范围，最后取交集即可.方法、规律归纳：1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的常用的求解方法有：(1) 基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2) 配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；2 x x 1 | s 0即0：x：1时,ax x 1討：一3：二a -3x x 1-3x x 11 (仃1 x1.240 . x : 1时单调递增,_3訂严_丁,所

11、以_2；x(x+1) I 2丿2(3)%(x+1)0 艮卩一 1 JCC0H 寸亦(x+1)二一303x(x+l)jx(x + l)递减，在上递増,-3x(x+l)E12”七 o),所以a A工歸一乜出王2.【重庆市 2017 届高三 4 月调研测试】设函数lOg2f X =1 2+42-X X _ , X *1333，若f X在-11 -1242r当x -1时，函数f xx -X在-1,2上单调递增，在2, *上单调递减,333【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数f x的图象，当x乞-1时，函数f X =log2:单调递减，且最小值为一：卜2，解得8，-12 -结合法等有关方面的

12、知识，属于中高档题型，也是高频考点用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用；另一方面则要注意画图的准确性，完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成3.【河南省息县第一高级中学 2017 届高三下学期第一次适应性测试】【答案】22分子在英=T 处取的最大值：故/ （刃在兀=2处取得最大值为f （-2=2 + 4 4 【四川省遂宁市 2017 届高三三诊】函数f X = 2X，X -1的值域是【答案】1-2, -【解析】因为函数y=2x, y=；$x二1在区间H, :上都是单调递增函数，所以函数f x=2xx-1在区间上也是单调递增函数，f x - f 1

13、=2,即函数f x =2xx-1的值域是2 r，应填答案9,7。已知函数2-cosk(1- X Jf X二-_兀12x 4x 5(_4xE0),贝U f(x )的最大值为T（切齐击百我,由于分子分母都罡正数，且分母在x = -2处取得最小值-13 -5 【2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学浙江卷】已知a R,函数f (x)=x+-a在区间1,4上的最大值是 5，贝 y a 的取值范围是 _x【解析】4环分类讨论：441当日寸，f(x)-af(x)-ax-x- + + a a = = 2a2ax x, ,x xx x9函数的最大值2口4 =乂二口 = 一，舍去；2442当日寸，/(%)

14、 = %+-+ =x+- 5a a+a4 4a a+a=5+a=5或|4 a 5a a十 a5 5a a+o=59 .9a a 一或垃 2 2【答-14 -若对任意的xX2 J【1,a+1】，总有|f(为)f(X2(乞4，求实数a的取值范围.【答案】a =2；(2)1：a乞3【解析】试题分析：(1)先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f(x)在1 ,a上的单-15 -调性，然后根据 定义域和值域均为1 ,a建立方程组，解之即可；(2)将a与 2 进行比较， 将条件对任意的xi，X2 1 ,a+1，总有|f(xi) -f(X2)| 1)；二fx)fx)在山引上是减函数,又定义域和值域均为仏a a、e 1 知 +5=0r叫2_2 = 1解W(2)若又jc = al+ l,(a+l)-aa-l(a+l)-aa-l? ? f f(X)M=才(1) = 6-2a ,=f(a)=5-a=f(a)=5-a2 2, ,T对任意的坷，花e 1卫+1总有|/(巧)/(无)|兰4 ,0)込一/Ok，m(6-2)-(5-2)4?解得-a3,-a若lca f(a=5-af(a=5-a2 2, ,/(力 BN -/(或加*4显然成立，综上，1a3a/（力为偶国数则、fr20，函数f（x）=“a 2，其中e是自然对数的ex+ x一（a+1