初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律

1、线、角、相交线，平行线规律L如果平面上有M应2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两 点画一条直线，一共可以画出3日(1-1)条.规律工平面上的”条直线最多可把平面分成n(n十1)+1个部分口2裁律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为'n(n-l)条立规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段， 这两条线段的中点的距离等于线段长的一半，例；如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点。求证工MN - J AC；J证明:TM是的中点，N是LJC的中点二AM = BM= 1AB, BN = CN- |bC二MN = MB+BM= -AB+ - BC

2、 = -(AB + BC) 222二 MN =1 AC2规律S.有公其端点的n条射线所构成的交点的个数一共有1Mn - 1)个，规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n (n-1)个,规律工如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n (n-I)对对顶角. 规律&,平面上若有n(n>3)个点，任意三个点不在同一直线上,过任意三点作 三用形一共可作出,小 1)012)个口6规律9 ,互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90%规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为:n(nIfN一规律11,互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一

3、半中内错角的规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行, 角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例；如图，以下三种情况请同学们自己证明。规律13.已知ABDE,如图1，规律如下;ZCDE - /BCD + /ABC规律14.成飞”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内 角和的一半.例：已知，BE、DE分别平分NABC和/ADC,若/a = 45) ZC= 55。，求/E的度数.解；ZA+ ZABE =ZE+ ZADE Z C+ ZCDE =ZE+ZCBE 十得za+zabe+zc+zcde =/e+/ade+/e+/cbeYHE 平分 NARC t DE 平分

4、NADC,AZABE-ZCBE, ZCDE-ZADEA2ZE=ZA+ZCA ZE = 1(.ZA+ZC)'NA-45% NC=550/E=5(rI三角形部分规律1，在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。例：如图，已知D、E为ABC内两点，求证：AB+ACABD+DE + CE.A证法()：将DE向两边延长，分别交AB、AC于m* N在aAMN 中 T AM+ AN>MD-FDF + NF 在BDM 中，MB + MD>BD在ACEN 中，CN +

5、NEACE十十得AM + AN + MB + MD + CN + NOMD+DE+NE + BD + CE，AB十AC ABD十DE十CE证法（二）延长BD交AC于F,延长CE交HF于 G在AABF和和口口£中有. AB + AF>BD + DG + GF C1F + FTAGE + CT颂）G+GEADE二+有AB + AL +（力 +HC+D3 +GEAED+ D3 + 3卜+ 3E +卜 +。行/, AB + AOBD-hDF+CE注意！利用三鬲形三边关系定理及推论证噩时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16.三角形

6、的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角,等于第三个内角的一半。例：如图.已知BD为AABC的角平分线，CI)为ABC的外角/ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.求证：ZA=2ZD证明；CD分别是/ABC、/ACE的平分线； ZACE =2/1, /ABC =2Z2V ZA = Z ACE: /ABU二 NA-2/12/2又二上D=N -N21/A2/D 规律17 .三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于9(T加上第三个内龟的一半。例：如图，BD、C口分别平分/ABC ZACR, 求证，NBDC=9(r+； NA证明：VBDv CD分别平分/ABC、ZACB/.ZA + 2Z1+2

7、Z2= 18011A2(Z1 + Z2>- 180”一 NA/ ZBDC= 1RO0-(ZH-Z2)A(Z1 + Z2)= 18A-/BDC 把3式代入式得 2(180°ZBEXr)= 18C°ZA即: 360- -2 BDCA2ZBDC - I8O'+ZAAZBDC = 90O+- ZA2规律18,三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等干9a减去第三个内角的一半。例：如图.UD、CD分别平分NEUC. N1KU, 求证:ZBDC=9tT证明：YRD、CD分别平分/EBC ZFCR，/EBC = 2/L ZFCB = 2Z2A2Z1 -ZA+ZACB 2Z2=

8、ZA+ZABC +得2 <ZI + Z2) =/A+/ARC+/ACR + /A 2 CN1 +/2) = 18(T'+ZA:.(Z1+Z2) -9(h'+- ZA2: ZBDC 18(T(Z1+Z2)，NBDC = 18<r-(900+ ； ZA)/BDC = 90"： ZA规律19,从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外 两个角差(的绝对值)的一半。例工已知.如在AARC 中.A口_LHC 于 D,AE9平分NBACo求证；NEAD =证明二: AE平分/BAC二 ZBAE-ZCAE - ZBAC 2: / BAC = IX(F

9、-(/H + NOAZEAC= : ( 1804-(ZB + ZC)JVADJ_BCA ZDAC = 90° XCT NEAD = ZEAC-ZDAC，/FAD= - fl SO 一 (zfE+ ZC) -(90- ZC)7一=90。- - ( ZB+ /。- 9T+ ZC2士1(ZC-ZB)如果把AD平移可以得到如下两国，FD-BC其它条件不变，结论为*EFD l(C-ZBk注意：同学们在学习几何时I可以把自己证完的期进行适当娈换,从而使自己通过解一道题掌喔一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力6规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内向证明角的不等关系时，如果直接证不

10、出来.可连结两点或延长某边.构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上.再利用外隹定 理证题。例：已知D为ABC内任一点.求证：ZBDOBAC证法（一）；延长RD交AC于E,VZBDC MAEDC 的外角,.二 ZBDC>ZDf-C同理：NDENBAC上 ZBDC>ZBAC证法（二）二连结AD,并延长交BC于F* N BDF是ARD的外角*J BDF>ZBAD同理/CDFA/CAD二 NBDF+'CLM A READ +/CAD即: BDOZBAC规律21.有角平分线时常在角两边裁取相等的线段，构造全等三角形。例;已知，如图，A力为AAHC

11、的中线且LI = /2, /3 = Z4,求证工be+cf>ef证明：在DA上截取DN二DB,连结NE, NF,则 DN = DC在aHDE和ANDE中，DN = DBZ1 = Z2ED 二 EDZ.ABDEANDEA BE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中,EN + FNAEF.'.BE+CFAEF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。 例：已知，如图，AD为aABC的中线，且N1=/2, /3=/4,求证：BE + CFAEF证明：延长ED到切，使DM = DE,连结CM、FM BDE 和ACDM 中,BD = CDZL= Z5ED

12、 = MDAABDEACDMACM = BE又；= Z3 = Z4/I +N2+N3 十 /4 = 18(TA Z3 +22n即 ZEDF = 90%: ZFDM = ZEDF = 90(hAFDF 和MDF 中ED = MDZI'DM = ZEDFDF = DFZ-AEDFAMDFAEF = MF在ZXCMF 中，CF+CM >MFBL + CF >Li+(此题也可加倍FD,证法同上)规律23在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。例：己知，如图，AD为zSABC的中线，求证：AB + AO2AD证明；延长AD至E,使DE AD.连结HEVAD为ABC的中线，B

13、D-CD在AACD和ERD中B(3 = CDN1 = Z2AD = ED .ACDWAEBDVAABE 中有 AB + BE>AE/.AB + AO2AD规律24截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上栽取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等Q这两种方法统称截长补短法0当已知或求证中涉及到线段H、b、c、d有下列情况之一时用此种方法;a >b h±b = ca±b - c±d例；已知，如图，在AABC中.AHAAC. /】=/2, p为人011上任一点，求证：AB-ACapr-p证明：（I）截长法；在AB上截取AN-AC,连结P

14、N在AAPN 和/XAPC 中,AN - AC八AAAPNSAAPCd; PC = PNV ABPN 中有 PB-PCVBN/-PB-PC<AB-AC补短法：延长AC至M,使AM = AB,连结PM 在AABP和AAMP中规律”,证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等.若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代 换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例；如图，已知.BE、CD相交于F, ZB = ZC, Zl = Z2,求证：DF = EF 证明：:NADF =NR+/3 NAEF=

15、/C+N4 又丁心二 ZB = ZC */ADF= /AEFB 在4ADF和AAEF中 ZADF= ZAEF Zl = Z2 AF = AF ADFWAAEF 二 DF = EF规律20在一个图盘中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证 明两个角相等。例;已知，如图RtAABC中，AH=AC, ZBAC = 9（F,过A作任一条直线AN, 作 BDJ_AN 于 D, CE，AN 于 E,求证：DE - BD-CE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等“J例;AD为AARC的中线,且CF，AD于0 BPLAD的延长线规律条件不足时延长已知边构造三角形.例士 已知

16、 AC = BD, AD_LAC 于 A. T3CBD T B求证:AD = BC证明：分别延长DA、C'B交于点EV AD± AC BCXBDE: /CAE/DRE =、在 ADBE 和 ACAE 中 ZDBF-ZCAEHD = ACZE =/EJ. ZXDHE色CAIi*.RD = EC, FB = EAJ. ED EA= EC EB二 AD = BC17规律工明连接四边形的对角残，把四边彩问题转化成三角形来解决问题例;已知，如图，ABZ/C D, AD/7BC求证，AB = CD证明：连结AC （或RD）VABZ/CDi ADVBCAZI = Z2 在ABC 和CF&g

17、t;A 中,XI =Z2AC = CAZ3 - Z4AABCACDAA AB = CD 规律对.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长,可归 结为“角分垂等腰归北例：已知，如图，在 RlAABC 中，AB - AC,/BAC 9伊，zTl - Z2 , CE_LRD 的延长线于E求证：BD = 2CE 证明；分别延长BA、CE交于FVBEJ.CF二/BFF =/BEC = 90。在REF和八口£中Z1 =/2BEBEZBE1 =ZBEC'.BEF 经BECACE = FE=-C F 2VZBAC = 90" , BE±CF二 / BAC = ZCAF

18、 = 93/1 + ZRDA = 90”Zl + ZBFC = 90u/HDA= ZBPC在AARD和ACT中ZB AC 二 ZCAF/BDA= ZDFCAB - ACJ. AABD AACF二 BD CF，BD = 2CE规律31 .当证题有国难时,可结合已知条件,把图形中的某两点连接起来构造全等三角形，例；己知，如图，AC、BD相交于O,且AB = DC, AC = BD,求正/a,d证明：（连结BC,过程略）It<规律32.当证题缺少线段相等的条件时.可取某条线段中点，为证题提供条件.例工已知，如图, AB = DC ZA= ZD求证：ZABC= ZDCB证明；分别取AD、BC中点

19、N、M,/连老吉NB、NMhNC （过程略）B'规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图Zt = Z2 , P为BN上一点.且PD_LBC于D, AB+BC = 2BD,求证+ yilAP+ XRCP = 1X0"'证明：过P作PELBA于EVPD±BCt Nl =/2APE = PD 在 RtZXBPE 本口 KtZXBPD 中BR=BPPE PDJ RtxBPE 3 RtABPDTAB + EC-2BD. BC - CD + BU, AB - BH-Ak ，AE=CDZPEB =ZP

20、DC = W在和PDC中PE - PDZPEB =ZPDCAE =CDAPDCAZPCB= ZEAPV BAP + ZEAP- ISO1*，ZBAP + /BCP= 180°规律34.有等腰三角形时常用的辅助线(1)作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图I AH-AC, RD LACiD,求证l /BRC 三 2/DBC证明：(方法一)作/BAC的平分线AE,交尔”于国则/ I二72 -ZBAC2又TAB=ACAAE±PC'Z2+ZACB =BD1 AC'AZDBC + ZACB =/. Z2 = ZDBC: ZRAC （方法二）过A作AE_LBC

21、于匕（过程略）（方法三）取BC中点E,连结AE （过程略）（2）有底边中点时，常作底边中线仲心已知，如图，ABC中，AB = AC, D为BC中点，DE1.AB于E, DF LAC于F,求证：DE DF证明：连结AD.A'；D为BC中点，ABD-CD B D C又；AB =ACAAD平分"ACV DEI AB, DF1AC:.DE = DP（3）将腰延长一倍，构造直角三龟形解题例:已知，如图，AABC中，AB = AC,在BA延长线和AC上各取一点 E、F,使 AE = AF,求证：EFLBC证明：延长HE到N,使AN=AB,连结CN,则AB = AN = AC，ZB = Z

22、ACB, /ACN = ZANCVZB+ZACB+ZACN + ZANC= 1801A2ZBCA+2ZAN= 18<r二/mCA +/ACN = 90”即 NBCN = 90°ANCXBCVAE = AF二/AEF = NAFE又T/BAC=NAEF +ZAFEZBAC = ZACN +ZANCAZBAC =2ZAEF = 2ZANC1/AEF = NANCACF/NCFF 1 RC(4)常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例:已知，如,在ABC 中,AB= AC, D 在 AH 上,归在AC延长线上，且RD = CE,连结DE交B(于尸求证+ DF=EF证明:证法一)过 D

23、 作 DN/7AE,交 RC 于 N, RljZDNB- ZACB, ZNDE -ZE.; AH = AC./. ZB - ZACE1, ZB=ZDNBABD = DN 又 YRD = CE DN - EC在DNF和ECF中Z1 = Z2ZNDF=ZEDN = EC/. ADNFAECrJ DF - EF（证法二）过E作EM#AB交BC延长线于V,则（过程略）（5）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图t ARC中 AB=AC，e在AC上，D在RA延长线上，目AD=AE,连结DE求证：DEXBC证明：（证法一）过点E作EF / BC交AB于F .则ZAFE =/BZAEF=ZC; A

24、B = AC.NB*C，/AFE =ZAEFHZc；AD = AE二NAED=/ADE又'.'/AFE+/AEF+/AED+NADE =180。A2ZAEF + 2ZAED = W即/FED = 9（T二 DE1FE又 Y EF#BC, DE_LBC【证法二）过点D作DNBC交CA的延长线于N,（过程略）（证法三）过点A作AM"BC交DE于M,（过程略）（常将等腰三角形转化成特殊的等腰三甬形一等边三角形例：已知，如图，AAHC中，AB = AC, ZBAC-801 , P为形内一点，若/PBC=】0"，NPCB=3%求NPAB 的度数.解法一：以AB为一边作

25、等边三角形，连结CE则/BAE=/ABE=60。23AE-AB； BE AB - ACAAE=AC ZABC=ZACBAZAEC=ZACEVZEAC=ZBAC-ZBAE=8/ 一60=20"，ZACE - -(18041- ZEAC)- 80” ZACB- |(l80>-ZBAC)= 50小匕，/BCE =NACE - NACB=8¥5g 30°7 ZPCB =抑AZPCB = ZBCEY /ABC 三/ACB = 50% /ABE = 6，I / E BC = / A B E / A BC = 6下- 5 口 = 10:ZPBC= Iff"AZP

26、BC=ZEBC在PEC和中ZPBC = ZKBCBC = BCZPCB = ZBCEAAPBCAEBC二 BP= RE/ AB = BEA AB = BPAZBAP = ZBPA: ZABP=ZABC-ZPnC = 5&一10" = 40*ZPAB = -(ISO-ZABP 70°解法二；以AC为一边作等边三角形，证法同一,解法三:以BC为一边作等边三角形ABCE,连结AE,则EB = EC-BC, ZBEC=ZEBC = 6011V EB = EC E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上LA EA所在的直线是BC的中垂线/二 EAXBC/ZAEB= -ZBEC

27、= 30"=ZPCB2由解法一知上 ZABC - 5O3/ABE = ZEDC-ZABC = 10" 一/PBCV ZABE=ZPB< BE=BC, ZAHB=ZPCB /.ABEAPBC:.AB = BP/. ZBAP =ZBPAV NABP二/AHC/PRC = 5011 IO13 = 4011J./PAB= -(180"-ZABP)- -(1800-40'')- 704' 规律35,有二倍角时常用的辅助线(1)构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知.如图，在AEC中，Z1 Z2, ZABC 2ZC, 求证: A

28、B+B【)= AC证明：延长AB到E, 1吏BE = BD,连结DESJIJZBED- ZBDE丁 ZABD =NE + NBLH，AJ. ZABC 2/E</ABC = 2/CJ /E= ZC在AED和中ZE= NCZ1 - Z2AD = AD二 AC - AEJ AE=AB+BE AC = AB + BEBP AB-FBP=AC(2)平分二倍角例：已知，如图，在ABC中，/RA(，= 2NDBC求证：NABC-/ACB证明：作WBAC的平分线AE交BC于E,则上BAE = NCAE - NDBC: BD _L ACA ZCBD H- ZC = W)二 ZCAE+ZC- 90"

29、;.,AECI 触 yCAE ZC 协 A./AL( 二XIH/I AL-/二9川/ ,.ABC，二 /ABC+ ZBAE 963E c丁 NCAE 十 NC= 90”ZBAE = /CAE :.ZABC = ZACB27(3)加倍小角例二已知,如图，在 ABC中，口。14。于0, /BAC = 2/DBC求证：ZABC= ZACB证明：作NFUD=/DBC. BF交AC于F (过程略)规律36.有垂直平分线时常把垂直平分级上的点与线段两端点连结起来d 例,已知，如图, ABC 中.AB-ACZBAC- 12（T, EF 为 AU的垂直平分线，EF交BC于F,交AB于E求证；BF = FC 2

30、证明:连结AF,贝IJAF = RFAZB=ZFAB二" AB = ACa3 4 =4T/BAC= 12/二"U =ZC ZBAC =！ 1 &CT- /BAC） = 30,J/FAB = 3卅A Z I-AC = ZB AC ZI-AB 1加一？。|=9伊 又.'NC = 3仍AF= F 21BF=-FC 2规律37.有垂直时常构造垂直平分线cf?IJ:已知，如图，在AABC 中，ZB-2ZC, AD1E3C 于 D求证: Cn = AB+BD证明：（一）在CD上截取DE DB,连结AE.则AB-AE A二 /B =N AEBT/B = 2/C、，上 AE

31、B 二 2ZC又：ZAEB = ZC+ ZEAC ZC =/EACAAE = CEA又,<? = DE + CE；* CD = BD + AB,obf（二）延长CE$到* 14 DI = DC（连结Ak则/*=A。（过程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线。例：已知，如图，在AAH中，BC = 2AH, /AEC = 2/，BD = CD求证:/XABC为直角三角形29nt如图，在ABC中，ZA = 90°t DE为BC的垂直平AAR-+AC- BE3ABE2 AE2-AC2 规律40条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中“例;已知，如图，在AABC中，ZB =45

32、% NC = 30% AB=J5,求AC的长_解二过A作AD_LBC于D&J NB + /BAD = Q,/VZB-451, /B=/BAD = 451DAAD=BDVAll2 = AD2+BD AB=V2AAD= 1= NC = 3(T, AR±RCAAC = 2AD = 2 四边形部分规律4L平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半电例：已知，nABCD的周长为GOcm,对角线AC、BD相交于点O,AOB的周长比BCC的周长多Hem,求这个四边形各边长. 解士 丫四边形ABCD为平行四边形AAB = CD, AD = CB, AO = 8: AB + CD + DA

33、 + CB = 60AO+AB + OB(OB + BC+OC) = 8AAB + BC = 30, AB-BC-8A AB = CD = 19, L3C = AD = Il答；这个四边形各边长分别为I 9ui】i、I 1cm 19cm* 11 cm. 规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于郛边之差”（例题如上）规律43有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已钝，如图, RtAABC, .ACB = 9O CD 1 AB 于 D,人E 平分/CAB 交CD于F.过F作FH AB交BC于H求证：CE = BH证明：过F作I P .V BC交A3于P,则四边形（T

34、BH为平行四边形二，R=/FP4, RH-FPVACB = W CBXABJ./5 + -CAB =45*, ZB + ZCAB = WAZ5-ZB，/5=/FPA又1N】=N2, AF=AF:,AX AF 空 aPAFACF=1 PV Z4=Z1 + Z5, Z3=Z2+ZB:./3 =/4；,CF = CE：,CE = BH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。例：已知，如图，在liABCD中，AB = 2BC, M为AB中点求证:CM1DM证明：延长DM、CR交于N:四边形AB<'I>为平行四边形AAD = BC, ADZ/BC；.ZA = /N

35、BA ZADN = ZN又'：AM = BM，AAMDABMN二 AD = BN:.BN = BCVAB = 2BC, AM = BMABM-BC = BNZ3=ZN+/2+/3 + /N= 180*',A Z I + Z3 = 904*A CM ± DM33规律4仇平行四边形一边（或这边所在的直线：上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半31如图：AO- + OC2= BO2 +D02规律49 .平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形GHMN是矩形（规律45规律49清同学们自己证明）规律50.有垂直时可作垂线

36、构造矩形或平行线.例I已知，如图.E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED,#P为对角线BD上一点，PF1BETF, PGJ_AD于印求证：PF + PG =AB证明工证法一,过P作PHLAB于H,则四边形AHPG为矩形；,AH = GP PII/7ADAZADB=ZHPB八 ,f1)1* BE = DE!/x，NEBD = NADBA ZHPB=ZEBDX 7 ZPFB =ZBHP = 90°二PFBZABHP'HB=FPAAH + HB = PG + PF即 AB = PG + PF证法二：延长GP交FC于N.则四边形ABNG为矩形，(证明略规律“.直角三角形常用

37、辅助线方法:U)作斜边上的高例工已知，如图，若从矩形AHCD的顶点灯作对角线目口的垂线与二BA0的平分线交于点心求证；AC -CT证明：道A作AFL6D,垂足为凡贝ljAF"EG' ZFAE = ZAECi4氏£天,【四边形ABCR为矩WhJ.NBAD-OA- OD、,* ZBDA = ZCADVAF_LBDEJ./ABD+/ADH = ZABD + ZBAF = 9011J. ZBAF -ZADR /CADfAE为HAD的平分线二 /B八E -NDAE； /RAE- ZBAF =ZDAE-ZDAC艮 D/fae =zcae: NCAE -/AEG二 AC = EC

38、(2)作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：已知,如图 AD, BE是AABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF I DE讦期：连结GF.TAD、1正是ABC的高，G是AE的中点AGE = - AB. GD= - AB 22.GE = GD*F是DE的中点- GF J_ DE有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在AABC中，D是日延长线上一点1旦DAJ.BA于A, AC=BD2求证，ZACB = 2ZB证明：取BD中点E,连结AE,则AE=RE= -BD 2AZI =ZBVAC' - -BD 24规律5,正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离

39、相等.例；已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P 作PELHC于E,作PF_LCD于F,求证；AP EF证明：连结AC . PC丫四边形A BCD为正方影'13D 垂直平分 AC, NBCD = 9tTJAP cpAVPE±HC, PF±CD, ZBCD = 90"肃四边形PECF为矩形RJ. PC - EF z.ap tr规律5&a正方形一边中点时常取另一边中点口例；已知，如图，正方形ARCD中，M为AH的中点,M J MD, BN平分/RE并交MN于N求证：MD= MN证明；取AD的中点P,连结PM,贝"DPTAAD ,:四边

40、形ABCD为正方形AAD = A& ZA = ZABC = 90。.'/l + NAMD = 90。又 DM_LMN/,Z2+ZAMD = 90"二 N 1 =N2VM为AB中点A AM = MB = ABA DP= MB AP = AM丁NA PM = /AVP = 45”二 ZDPM T3513BN 平分 NCBE1 ZCBN = 45mA ZMBN /MBC+/CBN 9(yi + 45" 】35.、即/DPM -MBNAADPMAMBN:.DM - MN注意二把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立.规律54利用正方形进行旋转交换 旋转交换就

41、是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻 边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法" 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条 件。旋转变换经常用于等腰三号形.等边三角形及正方形中.证明：把口绕点八逆时针旋转90。得AACEJ HD - CEZB - ZACE例;已知，如图，在AAH中，AB =/RA= 9(H 门为边上仟一点 求证：2AU上= HL>+【U41T ZBAC = 9二/DAE 9 出,1 DE2 = AD2+AE2 = 2AD2/B十 ZACB = 9。”AZDCE=9O*ACD=+CE2 = DE2/4 2 AD2

42、 = BD?+CD?注意:把ADC绕点A顺时针旋转9（卜也可，方法同上, 规律有以正方形一边中点为端点的线段时，落把这条线段延长， 构造全等三角形。例；如图,在正方形ABCD中，E. F分别是CD，DA的中点，BE与C F交于P点求证：AP - AB证明：延长CF交BA的延长线于K丫四边形ABCD为正方形，BC-AB - CD - DA -HCD -/口 /BAD - 00'VE. F分别是CD* DA的中点I1f rr1 心二 CE= -CD DF=AF= - AD 2二 CE = DF/. ABCEACDF:, ZCBE ZDCF'：BCF+ZDCF- 900.,/BCF+

43、NCBE = 5T二 BE±C1;又丁/D=/DAK = 9CT DF = AF /I =/2A ACDFSAKAFACD = KA，BA = KA又二七£_1_(:1；A AP = AB规律Sd.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行 四边形和一个三角形。例：已知，如图.等腰梯形ABCD中，AD"BC, AD -3, AB% BC - 7,求二B的度数解；过八作AED交BC于E,则四边形AECD为平行四边形:.AD = EC, CD = AEa dVAB = CD = 4t/ti *' CAD-3, BC-7h久 BE = AE = AB =

44、 4A AABF为等边三角形； ZB = 61规律5工从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形 和两个三角形.例：已知 如图，在梯JKABCD 中，AD/BC, AB=AC, ZBAC = 90% B0 = BC, BD 交 AC 于 O求证；CO = CD证明；过A, D分别作AE_LHC, DFLBC,垂足分别为E. F则规律s也从梯形的一个项点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形和三角形.例;已知,如囹，等腰梯形ABCD中,ACXBDt AD + BC - 10,DE_LBC于E,求DE的长，解二过作DFAC,交BC的延长线于F,则四边形ACFD为平行四边用

45、A AC = DF, AD = CFxu'四边形ABCD为等腰梯形VAC/7DF, BD I ACABD±DF */BL = i E/. DE = BE = FFBF = 52答，DE的长为工规律59延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形，例；已知，如图.在四边形ARCD中，有AB -DC, ZB-ZC, AD<E1C求证t四边形AHCD等腰梯形证明：延长BA、CD,它们交千点E45AEB = EC又 TAB = DCAAE =DE二/EAD=/EDAvzl+zead+zeda= i8（rZB + ZC+ZE- 180-AZEAD=ZBAAD/7BCVADBC,

46、 ZB=ZC四边形ABCD等腰梯形（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线：也可以过A、D作B（'的垂线） 规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯 形转化成平行四边形。例；已知，如图，梯形ABCD中，AD/7BC, E为CD中点，£卜！八日于十求证:S悌形ABCD二EF AB证明二过E作MN"AB,交4D的延长线于M,交BC于N,则四边彩ABNM 为平行四边形VEF1ABASdABNVI =AB*EFAD 7 BC又；DE = CE Z1 =Z2AACFNADEMASACEN =SADEMJS 梯形 ABCD = S 五边形 ABNED+SAC

47、EN = 5 五边形 ABNED + SADEM= S 梯彩 ARC'D n LI AB 规律61.有梯形一艘中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长 与另一底的延长线相交，把桶形转换成三角形。例士 已知.如图，直角梯形 A BCD 中 r AD/RC, AB I AD A, BE = FC = RC求证: z AEC = 3ZDAE证明工连鳍B6并延长交AD的延长线于、7 AU "HL二N3 - NN又*.*Nl=/2 ED 二 ECADENACHB二 BE - EN D、 BCVAB±ADAAE - EN - BE 二/N=/DAEJ. /AER =，N+ /D

48、4E = "DAE/DE - BC BC - DNA1)E = DN工 NN -Z1V Z =Z2 /N=/DAE工 Z2=ZDAE二 NAEB+/2 = 2/DAE+/DAE即“AEC = 3/DAE规律62,梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，例：已知，如图梯形ABCD中,AD/RC, AD<BCf E, F分别是AD、BC面中点,且EF1BC求证：ZB=ZC证明：过 E 作 EM/AB, ENVCD,交 BC于 M】N,则得口ABME, nNCDEAAE = BM, AB"=EM, DE = CN, CD = NEAE = DE，BM = CNXVBF-C

49、F=)P又:EF_LBC-3 = ENBL-Ml p XC，/1 =Z2TAB A EM, CDENAZI -ZB Z2=ZC，NB=NC规律63.任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半。例：已知，如图1梯形ABCD中，AD4BC, AC与BD交于0,且AC_LBD,A_ 1JAC = 4, BD = 3.4,K /求梯形ABCD的面积.解：TAC_LBDBCASAAUD-AO BL) 2SA BCD- -CO BD 2A Sl iff ABCD = SAABD 4* SA BCD-AO BD+-CO BD 22= -(AO + CO) BD2即 5 梯形 ABC=-A

50、C' BI>= x4x3.4 226 8利用平行线等分线段答上梯彩ABCD面积为68观律64.有线段中点时，常过中点作平行线定理的推诜证题.例：己如；0<?中,D为中点，E为DC的三等分点，(BE>CE) AE、CD交于点F求证LF为CD的中点证明；过口作口、 AE交EU于、ATD为AB中点二 BN = EN又丫F.为BC的三等分点abn-en-ceVDN/AE二F为CD的中点规律65.有下列情况时常作三角形中位线。(I)有一边中点3(2)有线段倍分关系；有两边(或两边以上)中点.例；如图，AE为正方形ABCD中NBAC的平分线，AE分别交HD, BC于F. E,AC

51、、BD相交千0求证：OF=-CE 2证明：取AE的中点N,连结ON,则QN为(：的中位线，ONCE, ON =-CE 2AAZ6=ZONE丁四边形ABCD为正方形AZ3-Z4-450 B*, /5 =/3+4 Z6 =N4+ Z2; Z 1 =Z2AZ5=Z67/6=/ONEAZONE =Z5，ON = OF,.OFCE 2规律66.有下列情况时常构造树形中位线(1)有一腰中点(2有两腰中点(3)涉及梯形上、下底和例】：已知，如图，梯形ABCD中，ADBC, ZDAB - W , E为CD的中点,连结AE、BE求证。AE = BE证明：取AB的中点卜，连结EF,则EF/AD1；|AZDAB=Z

52、EFB =90011匚AEF_L AB1EF为AB的中垂线AE = BE例2: JAnABCD的顶点A BCD向形外的任意直线MN引垂线AA BB CCDD'，垂足分别为Al B C D求证: AA'+CC = BET+DD'证明：连结AC、BD,它们交于点。，过O作OE，MN于E,贝lj AA'/ZOE/ZCC,四边形ABCD为平行四边形'A0-C0AA'E = C'E/r，AA'+CV = 20E、1-LH LT * E C n N同理可证：BB'+DD* = 2OE.,AA'+CC' = BB'

53、;+DDT规律67,连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形.规律$8.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形。规律2.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形。规律7优连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形。规律71.连结平行四边形.矩形、菱形.正方形 等整梯形各边中点所得的四边 形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形,地律7,等腰梯形的对角线互相垂直时，悌形的高等于两底和的一半（或中位线的长工以上各规律请同学们自己证明由（利用中位线证明）规律/3.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.例士已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD, AH>CDT AD = DC,对角线AC. RD 相交于 O, ZAOB-6O1 , _B_E, F, M 分别为 OD、OA、的中点 求证:AMEF是等边三角形证明；连结BF、CE二四边形ABCD为等腰梯形AAD-BC. AC= BDXV AB为公共边AAABDABAC/C AH=/DHAAOA=OB/ /AOR = 60''.AHO为等边三角形又,F为AO中点，BFJL ACM为BC中点 MFBC2同理可证：ME =- BC