【KS5U解析】吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试数学（理）试题 Word版含解析

1、吉林市普通中学20192020学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合的子集的个数是（ ）a. 2b. 3c. 4d. 8【答案】d【解析】【分析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个故选：d【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限【

2、详解】由题意,对应点坐标 ，在第二象限故选：b【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）a. 数据中可能有异常值b. 这组数据是近似对称的c. 数据中可能有极端大的值d. 数据中众数可能和中位数相同【答案】b【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有b错误

3、故选：b【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础4.“”是“，”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件【答案】b【解析】【分析】先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断【详解】由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件故选：b【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，下列函数模型中拟合较好的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲

4、线【详解】如图，作出a，b，c，d中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此d是正确选项，故选：d【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好6.已知实数，满足线性约束条件，则最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点a处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标

5、函数的最小值为：.故选b.【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）a. 1b. 2c. d. 4【答案】b【解析】【分析】因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选b.【详解】请在此输入详解！8.如图，正方体中，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）a. 直线b. 直线c. 直线d. 直线【答案】c【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断【详解】首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，直线，都与平

6、面平行，剩下的只有不与平面平行实际上过作 的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）故选：c【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理9.我国宋代数学家秦九韶（12021261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，求三角形面积，即.若的面积，则等于（ ）a 5b. 9c. 或3d. 5或9【答案】c【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得【详解】由题意得，整理得，或5，即或3故选：c【点睛】本题寓数

7、学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得10.已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）a. b. c. 2d. 3【答案】a【解析】【分析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，即，故选：a【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础11.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较【详解】首先，最大，其次，故选：b【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一

8、般借助于中间值比较，如0，1，2等等本题中是与比较的12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，且满足，则等于（ ）a. 2b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算【详解】由题意是的重心， ，故选：d【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.在空间直角坐标系中，则四面体的外接球的体积为_.【答案】；【解析】【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外

9、接球的直径【详解】取，则是长方体，其对角线长为，四面体外接球半径为，故答案为：【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知14.直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是_.【答案】；【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，当且仅当 ，即时等号成立，故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”15.若函数在区间上恰有4个不同的

10、零点，则正数的取值范围是_.【答案】；【解析】【分析】求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可【详解】由，得， ，解得故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题16.关于函数有下列四个命题：函数在上是增函数；函数的图象关于中心对称；不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导

11、数几何意义、导数与极值的关系进行判断【详解】函数的定义域是，由于，在上递增，函数在上是递增，正确；，函数的图象关于中心对称，正确；，时取等号，正确；，设，则，显然是即的极小值点，错误故答案为：.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；（2）求（

12、1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解【详解】（1）是等比数列，且成等差数列，即，解得：或，（2）【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由侧棱垂直于底面，且，得可侧面与底面垂直，从而与侧面垂直，因此有，即有，于是只要证即可有线面垂直，从而证，这个在矩形由相似三角形可得证；（2）

13、以分别以，为，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）【详解】（1）证明：平面四边形是矩形中点，且，连接 ，与相似，平面平面平面，平面，（2）解如图，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，解得：同理，平面的法向量设二面角的大小为，则即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，

14、求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解19.已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值【详解】解：（1）在中，（2）当时，取最大值.【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分

15、类归还情况，数据统计如下（单位：本）.文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，其中，当，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值.【答案】（1）（2）（3）当，时，取最大值【解析】【分析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率；（2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率；（3）计算平均值，再计算方差，转化为的函数后

16、可得最大值【详解】解：（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本所以文学类图书分类正确的概率（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率（3），的平均数所以方差，当，时，取最大值.【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算考查了学生的数据处理能力属于中档题21.设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论【详解】（1）因为在上单调递减，所以，即在上恒成立因为在上是单调递减的，所

17、以，所以（2）因为，所以由（1）知，当时，在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明22.已知，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）的最小值为1，此时直线：【解析】【分析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得注意取值范围；（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，设，则可得，由求出，将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.【详解】（1）设，则，即整理得（