全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

1、全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。2、 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点- 费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点重心。三角形内到三边距离之积最大的点- 重心。4、几何不等式。5、简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。6、几何中的运动：反射、平移、旋转。7

2、、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。二、代数1、 在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。2、 第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。3、n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。5、 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。6、一元n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。7、 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同

3、余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。三、立体几何1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。3 、体积证法。4 、截面，会作截面、表面展开图。四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。2、二元一次不等式表示的区域。3、三角形的面积公式。4、圆锥曲线的切线和法线。5、圆的幂和根轴。五、其它抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、 第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题，如果：(1)当n= 1时，命题成立；(2)假设当nw k时命题成立，由此

4、可推得当n=k+1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n来说都成立。2、 棣美弗定理：设复数 z=r(cos 0 +isin ,0其 n 次方 zAn = rAn (cos(n0 )+isin(n,其则 n 为正整数。3、 无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设 X为最小的解。从 X推出一个更小的解 丫。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。4、 同余：两个整数a, b,若它们除以整数 m所得的余数相等，则称a, b对于模m同余，记作 a = b (mod m),读作a同余于b模m,或读作a与b关于模 m同余。 比如26 = 14 (mod 12)【定义】设m是

5、大于 1的正整数，a,b是整数，如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余，记作a=b(mod m)读作 a同余于b模m.o有如下事实：若a三0(mod m)则m|a;(2)a = b(mod rm)价于a与b分别用 m去除，余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数， 得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。 例如， 一个数除以4的余数只能是 0, 1, 2, 3, 0 , 1, 2, 3和4, 5, -2, 11是模4的完全剩余系。可以看出 0 和4, 1和5, 2和-2, 3和11关于模4同余，这4

6、组数分别属于4个剩余类。7、高斯函数：f(x)=ae-(x-b)A2/cA2 其中 a、b 与 c 为实数常数，且 a > 0.8、费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1,那么aA(p-1)三(mod p)假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p 的余数恒等。9、欧拉函数：()函数的值：通式：()(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1- 1/p4) .(-11/pn),其中 p1, p2 pn 为 x 的所有质因数， x是不为0的整数。4 (1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。若n是质数p的k次哥，()(n)=pAk-pA(k-1)=(p-

7、1)pA(k-1),因为除了 p的倍数外，其他数都跟 n互质。欧拉函数是积性函数若m,n互质，()(mn)=()(m)()(n)特殊性质：当n为奇数时，。(2n)=。(n)证明于上述类似。10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1，mk为两两互素的正整数， m=m1,mk , m= miMi , i= 1,2,，k 。则同余式组 x三 b1(modm1)，x三 bk(modmk的解为 x三 M'1M1b1+ M'kMkbk (modm)。式中 M'iMi = 1 (modmi), i= 1, 2,，k 。欢迎下载11、裴蜀定理:对任何整数a、b和它们的最大公约（7

8、 卜* 号 7（h-7）|ieZJ数d,关于未知数 x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数，且（a,b尸d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=11、梅涅劳斯定理：如果在 ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点 D、BD ?CE ? AFE、F 且 D、E、F 三点共线，则 DC - EA - FB =112、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在 ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上生？CE?”有点D、E、F,且满足DC - EA - FB

9、 =1,则d、E、F三点共线。13、塞瓦定理：设O是 ABC内任意一点，AM ?BN ?CP 1M,则而'NC - PAAO、BO、CO分别交对边于 N、P、14、塞瓦定理的逆定理:设M、N、P分别在 ABC的AM ?BN ?CP 1边AB、BC、CA上，且满足 MB ' NC ' PA ,则AN、BP、CM相交于一点。15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论2：设4ABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为ma、mb、mclj2b2 2 c2 a2 V2a2 2 c2 b2 yJ，2a2 2b2 c2则：ma= 2； m

10、b= 2； mc= 216、三角形内、外角平分线定理：BD AB内角平分线定理：如图：如果/ 1 = 72,则有DC AC外角平分线定理：如图，AD是4ABC中/A的外角平分线交 BC的延长线与 D,BD AB则有DC AC17、托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB - CD+AD - BC=AC - BDC18、三角形位似心定理：如图，若 ABC与 DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P19、正弦定理、a b c,.一，-T- 2R在4ABC中有sin A sin B sinC （ R为 ABC外接圆半径）余弦定理：a、b、c为4ABC的边，则有：a2=b2+c2-2bc - cosA;b2=a2+c2-2ac - cosB;C2=a2+b2-2ab - cosC;20、西姆松定理：点P是ABC外接圆周上任意一点，PDXBC, PEXAC , PFXAB ,