九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题(新版)青岛版

1、四点共圆问题大盘点重点难点易错点点点带通】1.四点共圆的性质：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等;A(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。2.四点共圆常用的判定方法：判定1:到定点的距离等于定长的点在同一圆上。如果：OA=OB=OC=OD则A B、C、D四点共圆。判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直 径。C如果： ABDBCD直角三角形，则 A B、C、D四点共圆。 判定3:共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。如果：A D在公共边 BC同侧，且/ A=Z D,则A B C、D四点共

2、圆。判定4：对于凸四边形 ABCD若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、RC D四点共圆。如果：/1+/2=180或/1=/3,则 A R C D四点共圆。判定5:对于凸四边形 ABC戊对角线 AC BD交于点P,若PA- PC=PB- PD则 A B C D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）1直题班解校题整裳经典】1例题 （郑州模拟）如图，在正 ABC中，点D, E分别在边AC, AB上，且AD=AC,32 -，、一，AE=-AB, BD CE相交于点 F。3（1）求证：A、E、F、D四点共圆；（2）若正 ABC勺边长为2,求A E F、D所在圆的半径。解析：（1）依题意，可证得 B

3、A挈CBE从而得到/ ADB=/BEC ZAD+ZAEF=180 , 即可证得A, E, F, D四点共圆；2 ,(2)取AE的中点G,连接GD可证得 AGDz正二角形，GAtGE=G=-,即点G是 AED3 一一 2外接圆的圆心，且圆 G的半径为-o322答案：(1)证明：.AE=AB31 BE= - AB3 一 1在正 ABC3, AD=AC3AD=BE又. AB=BC / BAB/CBE .BAW CBE. Z ADB:Z BEC即/ADF+/AEf=180一。，所以 A, E, F, D四点共圆。(2)解：如图，_ 1 _取AE的中点G连接GD则AGGE=AE,22. AE - AB,

4、3 12A(=GE=-AB=-, 331 _ 2,。-. A=-A(=-, / DA巨60 , AB=AC 33.AGM正三角形，.GD=AG=AD=,即 GA=GE=G修，332所以点G是4AED外接圆的圆心，且圆，.G的半径为一，32由于A,E,F,D四点共圆，即A,E,F,D四点共圆G,其半径为一。3点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。1拓展总结+提升薪分必读】【方法定位】将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆

5、有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。例题 （河南模拟）如图： AB是。的直径，G是AB延长线上的一点， GCO。的 割线，过点G作AG的垂线，交直线 AC于点E,交直线AD于点F,过点G作。的切线，切 点为H=（1）求证：C D, E, F四点共圆；（2）若 GH=6, GE=4,求 EF的长。解析：（1）连接DB,利用AB是。0的直径，可得/ ADB=90 ,在 RHABD和RtAAFG 中，/ABDW AFE又同弧所对的圆周角相等可得/ ACDW ABD进而彳#至1/ ACDW AF E即可 证明四点共圆；（2）由C, D, E, F四点共圆，利用共线定理可得GE- GF=GG GD

6、由GH是。的切线，利用切割线定理可得 GlH=GG GD进而得到 GHhGE- GF即可答案：证明：（1）连接DB, .AB是。0的直径，/ ADB=90 ,在 RtABD和 RtAFG 中，/ ABDW AFE又 /ABDW ACD，/ACDW AFE. C, D, E, F四点共圆；（2） . C, D, E, F 四点共圆，GE- GF=GG GD GH。的切线，. . GlH=GC GD GH=GE GF又因为GH6, GE=4,所以GF=9oEF=GF- GE=9-4=5o点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切 割线定理等是解题的关键。此题综合性较

7、强，涉及知识点较全面。（答题时间：30分钟）一、选择题1 .锐角 ABC勺三条高 AD BE CF交于H,在A、B、C D E、F、H七个点中。能组成 四点共圆的组数是（）A. 4组B 5组C 6组D 7组2 .如图，在四边形 ABC用，AC BD为对角线，点 M E、N F分别为AD AB BC CD 边的中点，下列说法：当AGBD时，M E、N F四点共圆。当ACL BD时，M E、N F四点共圆。当AGBD且ACL BD时，M E、N、F四点共圆。其中正确的是（A3.如图，A, B, C D是圆上四点,AD BC的延长线交于点 P,弧AB弧C防别为100。、CM O O于点 C,4.ZB

8、CIM60 ,则/40A. 1 25.已知Pi (i =1, 2, 3, 4)是抛物线D. J3y=x2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为 xi(i=1, 2, 3, 4),又 xi (i=1, 2, 3, 4)是方程(x24x+m (x2 4x+n) =0 的根，则二次函数y=x2+bx+1的最小值为（）A - 1B. -2C3D. -4二、填空题6 如图，在 ABC, AD BE分别是/ A, /B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C, D, O, E四点共圆，DE=3,则 ODEE勺内切圆半径为 。B7 .(济宁)如图，四边形 ABC珅，AB=ACAD若/ CAB76。，则/

9、CBB度。8 .已知 AB3J中线AD BE交于K, AB=J3，且K, D, C, E四点共圆，则CK*9.如图，CD为 ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线 CD于点D, E, F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC- AE=DC- AF, B, E, F, C四点共圆。若 DB=BE=EA则过B, E, F, C 四点的圆的面积与 AB/卜接圆面积的比值为。三、解答题10.(太原模拟)如图，已知 AB为半圆O的直径，BE CD分别为半圆的切线，切点分别 为B C, DC的延长线交 BE于F, AC的延长线交 BE于E。ADL DC D为垂足。(1)求证：A、D F、B四点共圆；(2)求

10、证：EF=FR*11.(贵阳模拟)如图， A星圆O的切线，A是切点，ADL OPT D点，过点P作圆O的 割线与圆O相交于B, C两点。(1)证明：Q D B、C四点共圆。(2)设/ OPC30。，/ ODC40 ,求/ DBC勺大小。*12.(长春模拟)如图，在 ABC中，/ C为钝角，点 E, H分别是边 AB上的点，点 K 和M分别是边 AC和BC上的点，且 AH=AC EB=BC AE=AK BH=BM(1)求证：E、H M K四点共圆；(2)若KE=EH CE=3,求线段 KM勺长。CHB一、选择题1. C解析：如图，以 AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ A F、H E）,

11、以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ B、F、H D）, 以CH斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ C D H E）, 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ A、E、D B）, 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ B、F、E C）, 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（ A F、口 C）, 共6组。故选C2. C解析：连接EM MF FN、NE连接EF、MN交于点Q如图所示,点M E、N F分别为AD AB BC CD边的中点,-11 _ .EM/ BD/ NF, EN/ AC/ MF EM=NF= - BD EN=MF=AC 22四边形ENFM1平行四边形

12、,当AGBD时，则有EM=EN所以平行四边形ENFM1菱形，而菱形的四个顶点不一定共圆，故不一定正确；当Ad BD时，由 EM/ BD EN/ AC可得：EML EN 即/ MEN90 ,所以平行四边形 ENFM1矩形，则有 OE=ON=OFOM所以M E、N F四点共圆，故正确；当AGBD且Ad BD时，同理可得：四边形 ENFM1正方形。则有 OE=ON=OFOM所以M E、N F四点共圆，故正确。故选C3. D解：连接BD AB =100。，1 .Z ADB100 x _=50 ,2又. CD =40 , ./ B=20 ,在ADB珅，/ P=/AD& / B=50 -20 =30。故选

13、Q4. B解：连接BD,AB是直径，则/ ADB=90 , / CDBZ BCM60 , /CDA/CDB/ADB150 ,/ CBA180 / CDA30.tan / AB(=tan 30 =故选Bo5. C解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。22所以由(x4x+m (x4x+n) =0可知，该抛物线的对称轴为x=2。贝 U b= 4 o4 1 1- (-4)2所以最小值为=-3。二、填空题6 .解：作OF! ED于点F,. AD BE分别是/ A, /B的角平分线，1 / AOB90 + 1 / C COF分/ ACB2又. / DOE/ AOB / DO

14、E/ C=180 , .Z C=60 , / DO=/ AOB120 ,。1。 .90 +/C+ Z C=1802在AB上截取 AM=AE可彳# AOE AAOM OE=OM 一/ DO=120 , / EOA/ AOIMZ DOB/ BOM=60 , . BOM ABOD ODOM . ODOE /OED/ ODE30 ,FD=3,2FOo FOtan 30 =DFFO=, OD=OE=T3, 2 .ODE勺周长为：2 .3+3, .ODE勺面积为：1X3X -1 = 313.ODE勺内切圆半径为33C时23、323.3,2故答案为：3 33。27 .解： ABACAD.点B, C, D可以

15、看成是以点 A为圆心，AB为半径的圆上的三个点,8.DE/CB*弧CD所对的圆周角，/ CAD弧CD所对的圆心角； / CAD76 , / CBD1/CAD1X76 =38 。22解：作 ABC勺外接圆，延长 C及圆于点H,交AB于F,则: K, D,BAE四点共圆, / BHC/ BAG/ DEG/ DKC . AK/ HBD为BC的中点，点K是CH的中点,即 CK=KH又K是重心，1 - . FK=HF=-CF,3由相交弦定理，得 BFX FA=CFx FH二cU,223 .CF=3 ,3 =1,21。2-2 . .CK：23故答案为9.解：如图所示,连接ER DC ABC勺外接圆的切线，

16、DCB/EAF. BC- AE=DC- AF,BC DCAF AEBCD FAE Z CBD/AFE .R E、F、C四点共圆， ./ AFE=Z CBE / CBD/CBE又 / CBD/CBE180 , ./ CB巨90 ,二.AC是ABC的外接圆白直径，CE E, F, C四点所在圆的直径。不妨设 DB=1,则 BE=EA=DB=1,由切割线定理可得： DC=DHDA=1 x 3, DC 、, 3 ,在DCEK 由 DB=BE, CBL DE z. CE=DO3 , o o o _ 2 o在 RtCBE中,BC=CEBE二 而12 2,在 RtABC中，AC=BC+A百=2+22=6。，

17、过B,E,F,C四点的圆的面积与 ABC7卜接圆面积的比值1故答案为io2CEAC)2CE2AC三、解答题10.证明：(1) .FB是半圆O的切线, /ABE90 ,又 ADL DC / ADI=90 , .A, D, F, B四点共圆。(2)解：连接BC则BCLAC, DF是半圆的切线， / DCA/ ABC . / DCA/ ECF .Z ECI=Z ABC 在 RtMBE中，BCL AE, /ABG/E,/ECF/E, EF=FG.FC, FB是半圆的切线， . FC=FB, EF=FR4 O11.解：（1）证明：AP是圆O的切线，A是切点, OAL AP.ADL OP. .AP2=PD- PQAP是圆Q的切线，PBO圆Q的割线，.-.aP=pb- pcPD- PQ=PB- PCPD PB，PC PQ. / DPB/CPQDP& CPQ ./ PDB:Z PCQ. Q, D, B, C四点共圆；(2)解：连接 QB 则/ QBC/Q