【高考数学大题精做】专题07数列与不等式相结合问题(第二篇)(解析版)

1、【高考数学大题精做】第二篇数列与不等式专题07数列与不等式相结合问题对应典例利用单调性解数列不等式典例1不等式恒成立与数列相结合典例2不等式能成立与数列相结合典例3利用不等式的放缩法证明数列不等式典例4不等式证明与数列相结合典例5采用裂项相消法求和证明不等式典例6采用错位相减法求和证明不等式典例7【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】记Sn为数列an的前n项和.已知1 5 2an .(1)求an的通项公式；(2)求使得a2n sn 2020的n的取值范围.【思路引导】 S,n 1,“口(1)根据an计算可得；Sn Sn1,n 2(2)由(1)可得a2n 22n 1, S

2、n 2n 1 ,从而得到不等式解得.解：(1)由题知，1Sn2an，当n 1时，a11当n2时，1Sn12an1n- 1域得，an 2an 1,故an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 an = 2(2)由(1)知，a2n22n 1,Sn2n 1 a2nSn2020即22n 1 2n 1 2020等价于2n 2n 24038易得2n 2n 2随n的增大而增大而 n6, 2n 2n24038,n7, 2n 2n24038 故 n7, n N【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】 已知等比数列 an的前n项和为Sn,且当n N*时，Sn是2n 1与2m的等差中项(m为实数

3、).(1)求m的值及数列 an的通项公式;(2)令 bn*11 log2an n N ，是否存在正整数k,使得一-bn11bn-21 k 对任思正整数bn n 1019 / 18n均成立？若存在，求出 k的最大值；若不存在，说明理由【思路引导】(1)根据等差中项的性质列方程，求得Sn的表达式.利用anS,n 1G G，结合an是等比数列,Si Sn 1, n 2求得m的值及数列an的通项公式(2)由(1)求得bn的表达式，将不等式11bn 1bn21 k一 -左边看成f n ,利用差比较法bn n 10判断出f n的单调性，由此求得 f n的最小值，进而求得k的最大值.解：(1)Q Sn是2n

4、 1与2m的等差中项,n 1n2Sn 2 2m,即 Sn 2 m,当 n 1 时，Sa2 m,当 n 2 时，an Sn Sn 1 2n1 , Q an是等比数列，a1,n- 1则2 m 1 ,m1,且数列 an的通项公式为an = 2.(2)存在正整数k,使不等式恒成立,*k的最大值为4.bn1 log2ann n N11,111,1L L bn 1 bn 2bn n n 1 n 2 2n1112n 1 2n 2 n 112n 12n 2f n 1 f n .数列f n 单调递增，f n min f 1k1由不等式恒成立得：一 一，k 5.10 2故存在正整数k,使不等式，值成立，k的最大值

5、为4.【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】已知等差数列 an中，公差d 0 , S7 35，且a2, a§, a1i成等比数列.1求数列an的通项公式;2若Tn为数列1一一-的刖n项和，且存在anan 1n N * ,使得Tn an 10成立，求实数 的取值范围.【思路引导】（1）由题意可得7al26d35,anan 1立，所以存在nai4da1 d解得a1，d即可求得通项公式；（2）a1 10d ,1二，裂项相消求和Tnn2的最大值即可解得的取值范围2 n 2解：（1）由题意可得7a1n,因为存在n N2 n 2N，使得Tnan 10成35,又因为d 0,所以1

6、（2）因为an ana1a1d24da1 d0成立，即存在n N*,使得n2成立.求出2 n 2因为存在即a1 10d ,a1 3d 5, 2d2 ad.2,所以1.an n 1，使得Tnan 1n2成立.2 n 21一所以n 20成立，所以存在20成立，即存在416（当且仅当n 2时取等号）.所以1,16 .1一 ，E一，即实数 的取值范围是16【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】已知an是递增的等比数列，若 a3 a5 20 ,且一 5 一a1a2,4a3成等差数列.(1)求 an的前n项和Sn ；(2)设 bn1，,且数列Sn 2bn的前n项和为Tn ,求证:13Tn1.【

7、思路引导】（1）利用等差中项可得a a3,再利用等比数列的通项公式代入求得q,可代回a3 a5 20中求得a1,进而由公式求解即可;（2）由（1）可得bn-，则一 bn131 -一、一n，从而求和即可证明2n解：（1）设递增数列an的公比为q q由a1，5a2,a3成等差数列，可得4a1a3，即 5alq 2a12a1q2,(舍)2_ .一 1则 2q2 5q 2 0,解得 q -又因为a3 a520,可得22a124a120，所以a11,LL12n 1所以 S 1一2一L2nn 2 1（2）证明：由（1）可得bn2n12n0，所以数列1，1Tn是递增数列，所以TnT1b12 1又因为bn12

8、n 112nTn12L ,1综上所述：Tn 13【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】已知数列an为等差数列.(1)求证:_ 2an 1anan 2，(2)设 an12n 1 ,且其前n项和Sn , 一的前n项和为Tn,求证:SnTn2.【思路引导】(1)利用等差数列的性质 2an 1 an an 2,再根据基本不等式即可证明(2)由等差数列的求和公式求解Sn，再由裂项相消的缩放法求证即可证明：(1)因为数列 an为等差数列，所以2ananan 2222 4 an 1an an 2 an2anan 2an224anan2即 an 1anan2，故结论成立.或：设

9、数列 an的公差为d，则anan 2an 1anand2,2 an 1即an 12anan2，故结论成立.(2) a2 Lann(2n 1 1)1Sn2时:1n(n 1)n 1时:2时:1Snn(n 1) n 1Tn1 S2111112a4 4a3 ,数列bn的刖n项和【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】已知等比数列an的各项均为正数，2a5,a4,4a6成等差数列，且满足(n 1)*,Sn bn, n N ,且 bi 1.2(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设 gbn ,n为奇数an ,n为偶数,求数列g的前n项和Pn.b2n 51(3)设 dn an , n N

10、 , dn的刖 n 项和 Tn ,求证：Tn 一.b2n 1b2n 33【思路引导】（1）根据题意列出方程组，求出a1、q,从而得到an的通项公式，当n 2时,讨论，当n为偶数时，Pn 口 b3bn Sn Sn 1 上bn 史n，化简可得 是首项为1的常数列，即可求得bn的通项公式；（2）分类 22nbn 1a2 a4an ,分别利用等差数列、等比数列的前 n项和公式求和即可，当n为奇数时，由PnPn 1 bn可求得结果；（3）裂项法可得dn2n 511(2n 1)(2n 3) 2n(2n 1)2n 1(2n 3)2,从而求得Tn1113 (2n 3)2n 3解：（1）因为an°,所

11、以q o,2a4 2a5 4a6 a4 4a22,2q q 11 4a1qqa11j所以an2n 1.nbn 1 . bn bn 1当门 2 时，bn Sn Sn 1 bn ，即一22 n n 1轲是首项为1的常数列， 与 1 ,bn n ； nnn, n为奇数(2) Cnn1 ,n为偶数2an当门为偶数时，Pn b b3bn 1a2 a41 21 41 n1 3 L (n 1) (-)(-) L (-)222ni(11)当n为奇数时,(3)dnTn114PnPnbn(n 1)24(n 1)22n(2n 1)(2n 3)_127 22(2n 3)2n【典例7】【河北省石家庄二中(2n 1)2n

12、 11(2n 1)2n 1(2n 3)2n1(2n 3)2n2019-2020学年高三年级上学期12月月考】2已知数列an满足a1一，且3anan1 2an 2an 150,n N，数列bn为正项等比数列，且b1 b23,b34.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令 Cn2bnanSnCi C2 L Cn ,求证：0Sn1【思路引导】(1)变形已知等式得数列 为等差数列，从而可求通项公式, an数列bn是等比数列，用基本量法可求得通项公式;(2)用错位相减法求得和Sn ,即可证结论成立.解：(1) 3anan 1 2an24 122c 一0, - 3, n Nan 1 an为等差数列，首

13、项为 an25 3(n 1) 3n 2 , an ,n N*3n 2bn为正项等比数列，设公比为 q q 0 ,则b b2bi(12.q) 3 , b3 Dq4整理得(2)cn2bn (3n 2) 2n 1 anSn一一一28 2 11 2L (3n2) 2n 1 2Sn8 22(3n 1)n 12(3n2) 2n -得Sn3 22 L3 2n 1(3n 2) 2n 53(2n 2) (3n 2) 2n, Sn(3 n1) 2nSn2n3q 4q 4 0 ,解得 q = 2 , 6 1 , b 24.99一 .上9 ,求n的最小值.100(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n项和公式求

14、解即可得到数列an的通项公式及前n项和【针对训练】1.12020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】 已知等差数列an满足a a3 8,84 a?(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn八1，(2)记数列一的前n项和为Tn ,若Tn【思路引导】Sn；，一， 一一， 1(2)利用裂项求和得到Tn 1 ，解不等式即可得到最小值 n 1解：(1)设等差数列an的公差为d.依题意有aia3a，a28,解得4.2,2.所以 an 2n,Sn(2)因为所以TnSiS211(1 2) (23）占）因为Tn9910099100所以n99 .所以n的最小值为1002.【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知

15、数列an是公比大于1的等比数列(nN*)a2 4a2是a1与a3的等差中项.I.求数列an的通项公式;II.设 bnlog 2 an, Sn为数列bn的前n项和，记111L L ,证明： 1Tn2S2S3Sn【思路引导】I.根据等差中项性质得到2 1a2a% ,再根据等比数列通项公式构造方程求得q,从而可求得通项公II.根据an求得bn ,利用等差数列求和公式得到Sn ；再根据裂项相消法求得工，根据0解：I.由题意得：2 1a2 a1 a3设数列an公比为q,则2 1 a2a2一%q ，q2即 2q 5q 2 0解得：q（舍去）或q = 2 则 a1n 1 n. , *ana1q2 n NII

16、.由I.得:bnlog2 2nbn为首项为公差为1的等差数列b12bnSnn n 111111Tn212 2 3 3 4Q0 1,n 121 2 2 ,即 1 Tn2n 13.12020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试】*已知数列 an的前n项和为Sn, 2Sn an 1 n N(1)求数列 an的通项公式;1，工为数列cn的前n项和.求证:Tn12n -3【思路引导】(1)利用anS,n 1Sn Sn1,n求得数列2an的通项公式.(2)先将Cn缩小即Cn2由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立解：(1) 2Sn an又 2Sn12 ,两式相减,anan1 . a3 an(2) Cn1n

17、33n3n 1厂13n3n13n 113n3n一 Cn13n13n 1Tn 2 112n&n 132n1Tn2n4.【重庆市巴蜀中学 2019-2020学年高考适应性月考卷】1已知数列an，是一个等差数列，且a22© a45,数列bn是各项均为正数的等比数列，且满足：匕b2 b464（1）求数列an与bn的通项公式；（2）求证：a1bla2b2anbn2.【思路引导】(1)因为an为等差数列，设公差为d，则aiaid 2, a1 3d即可求得首项和公差5,，即可求得an .因为bn为等比数列，b2b4 b3 一, b3642 一 一 -nq，即可求得

18、公比，进而求得bn(2)因为ann1 ，n,bn1 ，所以 Tn2n，根据数列求和错位相减法，即可求得Tn,进而求彳#答案.解：（1） Qan为等差数列，设公差为d ,a1ana1n.Qbn为等比数列b2 b4b264,b3b1q2,(2)令 Tnaqa2b2a3b3Tn12,3d5,a1 d1,1,bn1q 2,b0，设公比为q,则q0,anbn ,可得：1Tn2由-得：1T2 n21 / 18Tn22anbn2.5.【湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2019-2020学年高三联考数学】已知数列an中,a1S21 ,其前n项的和为& ,且当n 2时，满足an 广、0 1(1)求

19、证：数列是等差数列;(2)证明：S2S2 LS2 4【思路引导】(1)当 nT2时,Sn - SnSn21Sn111? Sn-Sn1 = Sn?Sn 1 (n>2,取倒数，可得 T" 4一 1 ,利用等差数列 Sn Sn 1的定义即可证得：数列总是等差数列;Sn2(2)利用Sn1n2 1进行放缩并裂项求和即可证明解：(1)当n2时,S2Sn 1Sm SnSnSm,1即3SnSn从而1，一一构成以1为首项，1为公差的等差数列.(2)(1)可知,Sn1S1Sn则当2 时 Sn2故当2时S2S2S2又当1时,S124满足题意，故Sn7423 / 18法二：则当n 2时S2那么 S2

20、S2 LS2 111 nnn11142 3又当n 1时，S12 1 当时，S2411 ，n 1 n1 1 L13 4 n 17 “ 一1 4满足题意.6.12020届重庆市云阳江口中学高三上学期第三次月考】设数列an的前n项和Sn ,数列Sn的前n项和为Tn ,满足Tn*3Sn 2n, n N .(I)求数列an的通项公式;(I)求证:, *Sn 1,n N .【思路引导】(I)1得出ai1,由TnTn 1得出Sn3an2 ,再由 SnSn 1 得出 an 3an 3an 1,由等比数列的定义,得出数列an是等比数列,即可写出数列an的通项公式;(I)求出等比数列an的前n项和，由函数Sn值，

21、即可证明不等式解：(I岩n由已知有，a13aa1、， * . .为n N上的单调增函数,由函数Sn的最2时,3Sn 2n Tn 13Sm2(n1)得:Sn3Sn3S13an故Sn3an1 2得：a,3a3ananan 1an是以1为首项，公比为3士的等比数列.2an1，(n(I)Snn1 13223n1函数Sn上的单调增函数34 / 18一 3 n3，,一*Sn2 212(2 1) Sn 1，n N 成立.7.【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】1已知数列%的前n项和Sn2ana1,且满足a1，a2- ,a3成等差数列2(1)求数列an的通项公式；11,一一(2)设数列一的前n

22、项和为Tn,求使|Tn 2| 成立n的最小值.an500【思路引导】(1)根据数列an的通项公式与前n项和公式的关系求解即可.1Tn,再分析|2|的情况即可50011(2)由(1)有一-nr，再根据等比数列求和可得an2解：(1)由已知 Sn 2an a1有 an Sn Sn 1 2an 2an1, (n2)即 an 2an 1 (n2),从而 a?一 一1又Qa1， a2 -, a3成等差数列2a1 4a 4a1 1,解得：a12a1， a32 a2 4a1，.即 a1 a3 2a2 1,n- 11 ,an的通项公式an = 2112(2)由(1)得：- -n-y,所以 t 2an 2彳 1

23、21 - 22n 1 500,即 2n 1000,111由Tn 2，即15002500n的最小值为10.8.若数列an是的递增等差数列，其中的a3=5,且a1，a2, a5成等比数列,(1)求an的通项公式；1 I(2)设bn=+1)( aj+1) ,求数列bn的前项的和 Tn(3)是否存在自然数m,使得<Tn< m对一切ne N*恒成立？若存在，求出 m的值；若不存在, 5说明理由.【思路引导】(1)由于an为等差数列,a3 5 , a1，a2, a§成等比数列，可设出数列 an 的公差为d ,列方程组即可求出 ai, d；(2)在求出an的通项公式后，求出bn的通项公

24、式，再应用裂项相消法即可求Tn；(3)需先求Tn的值域，要使得 m24Tnm ,八 一一一、一恒成立，则需区间(5m_2,m)包含Tn的值域即可.45解：(1)在等差数列中，设公差为 dwQ由题意a1 a1 4da1aia1 2d 5an=ai+ (n1) d=1+2 (n1) =2n 1.(2)由(1)知，an=2n-则bn =anan 1 12ng2 n1所以Tn=-4(3)Tn+1 Tn=二4 n 2，Tn单调递增，1. Tn >11=一8Tn=4,使得一 m ,、 一一Tn一恒成立，只需5解之得545,又因为2m是自然数，已知Sn为数列(1)求数列bn的通项公式bn ；9.1内蒙古呼和浩特市 2019-2020学年高三上学期质量普查调研】an 的前 n 项和，已知 an 0 , a2 2an 4Sn 3 ,且 anbn 1.(2)求满足b1b21 .b2b3.bnbn 1 1的n的取大值.【思路引导】(1 )根据an与Sn的关系可推出an an 12,写出等差数列的通项公式即可;(2)利用裂项相消法求和，解不等式即可解：当n 1时,a1 3；当 n 2 时,an 2an4Sn 3 2a