2019年四川省凉山州中考数学试卷和答案(含解析)

1、2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的宇母填涂在答题卡上相第3页（共28页）应的位置1. （4分）-2的相反数是（）A. 2B. - 2 C.2D. -1222. （4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000,用科学记数法表示数153300000000是（）A. 1.533X 109 B. 1.533X 1010 C. 1.533X 1011 D. 1.533X 10123. （4 分）如图，BD / EF, AE 与 BD 交于点 C, / B = 30 , / A= 75

2、76; ,则/ E的度数为（）A. 135 B. 1254. （4分）下列各式正确的是（A. 2a2+3a2 = 5a4C. （a2） 3= a55. （4分）不等式1-xnx-1A. x>1 B. x>- 1C. 115 D. 105）B. a2?a=a3D-g二a的解集是（）C. x<1D, x< - 16. （4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A. 17, 8.5 B. 17, 9 C. 8, 9D. 8, 8.57. （4分）下列命题：

3、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到 直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相 等；平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. （4分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交 于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B,连接BC,则 ABC的面积等于（）A. 8B. 6C. 4D. 29. （4分）如图，在 ABC 中，CA = CB = 4, cosC=",则 sinB 的值为（）A 半 B半C亨D半10. （4 分）如图，在 ABC 中，D 在 AC 边上，AD: DC=1: 2,。是BD的中点，连接AO并延长交

4、BC于E,则BE:EC = （）A. 1: 2 B. 1: 3 C, 1: 4 D. 2: 311. （4 分）如图，在 AOC 中，OA = 3cm, OC=1cm, #A AOC 绕点。顺时针旋转90后得到 BOD ,则AC边在旋转过程中所 扫过的图形的面积为（）cm2.A.萼B. 2兀C.吊兀 D.目兀12. （4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论： 3a-b=0; b2-4ac>0; 5a-2b+c>0; 4b+3c>0,其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13. （4分）方

5、程组卜4y口。的解是12x+y=1614. （4分）方程生L+_J=1的解是 乂T 1-x215. （4分）如图所示，AB是。O的直径，弦 CDXAB于H , / A= 30° , CD =2/3,则。的半径是.16. （4分）在？ ABCD中，E是AD上一点，且点 E将AD分为2:3的两部分，连接BE、AC相交于F,则Saaef : Sacbf是.17. （4分）将抛物线y= （x-3） 2-2向左平移 个单位后经过点 A （2, 2）.三、解答题（共5小题，共32分）18. （5 分）计算：tan45 + （6-吏）0- （ - y） 2+g-2|.19. （5分）先化简，再求值

6、：（a+3） 2- （a+1） （aT） -2 （2a+4）, 其中a=-春 I20. （6分）如图，正方形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O, E第4页（共28页）是OC上一点，连接 EB.过点A作AM ±BE,垂足为 M , AM与BD相交于点F.求证：OE=OF.AZ>BC21. (8分)某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题:获奖清玩条形统计圉获奖情况扇形统计密(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；(2)在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数(3)将条形统计图补充

7、完整;(4)若获得一等奖的同学中有来自七年级，向来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中,恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率.22. (8分)如图，点D是以AB为直径的。上一点，过点B作。O第5页(共28页)的切线，交AD的延长线于点C, E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.（1）求证：DF是。O的切线；（2）若 OB = BF, EF = 4,求 AD 的长.四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. （5分）当0WxW3时，直线y=a与抛物线y= （x - 1） 2-

8、3有 交点，则a的取值范围是.24. （5分）如图，正方形 ABCD中，AB = 12, AE =%B ,点P在 BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQLEP,交CD于点 Q,则CQ的最大值为.五、解答题（共4小题，共40分）25. （8分）已知二次函数y = x2+x+a的图象与x轴交于A （xi, 0）、B （X2, 0）两点，且与 1=1,求a的值.26. （10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：若ab>0 （或号>0）,则:二或二:； bDU若ab< 0 (或曳<0),则或：在° . b 'b<0b>0I kI k根据上述知识

9、，求不等式(x -2) (x+3) >0的解集解：原不等式可化为：(1)卜7。或(2)一一了”. x+3>0(3<Q由(1)得，x>2,由(2)得，x< - 3,原不等式的解集为：x< - 3或x>2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：(1)不等式x2 2x 3< 0的解集为.(2)求不等式/！<0的解集(要求写出解答过程)l-x27. (10 分)如图，/ ABD = /BCD=90 , DB 平分/ ADC ,过点B作BM / CD交AD于M .连接CM交DB于N.(1)求证：BD2 = AD?CD;(2)若 CD = 6,

10、AD = 8,求 MN 的长.28. (12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点A (-1, 0)、B(3, 0)、C (0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得 PAC的周长最 第7页(共28页)小，若存在，请求出点P的坐标及 PAC的周长；若不存在，请 说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点 M （不 与C点重合），使得S=AM = S.PAC ?若存在，请求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由.第 9页（共28页）2019 年四川省凉山州中考数学试卷答案与解析一、选择题（共12 个小题，每小题4 分，共 48

11、分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数【解答】解：根据相反数的定义，-2的相反数是2.故选：A2 【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 300 000 000= 1.533X 1011故选：C3 .【分析】直接利用三角形的外角性质得出/ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案【解答】解：./ B = 30° , /A = 75° ,./ACD =30 +75 = 105 ,VBD / EF, ./E = /ACD = 105 .故选：D4 【分

12、析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可【解答】解：A、2a2+3a2=5a2,故选项A不合题意；B、a2?a=a3,故选项B符合题意；C、（a2） 3= a6,故选项C不合题意；D、G=冏，故选项D不合题意故选：B.5 .【分析】移项、合并同类项，系数化为 1即可求解.【解答】解：1 - X AX- 1 ,-2x> - 2/x< 1.故选：C .6 .【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众 数.【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8;由统计表可知，处于20, 21两个数的平均数就是中位数，.这组数据

13、的中位数为 等=8.5;故选：D .7 .【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间 的关系以及垂径定理判断即可.【解答】解：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线 的距离；假命题；两点之间线段最短；真命题；相等的圆心角所对的弧相等；假命题；平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A .8 .【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SAOBA = SaOBC ,再根据反比例函数系数 k的几何意义作答即可.【解答解：."4 A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称,A、C两点到x轴的距离相等， SaOBA = SaOBC ,/ Sa

14、OBA|k=告 X4=2, Saobc = 2 Sa ABC = Sa OBA +SaOBC =4.故选：C .9 .【分析】过点A作ADBC,垂足为D,在RtAACD中可求出 AD, CD的长，在RtAABD中，利用勾股定理可求出 AB的长, 再利用正弦的定义可求出sinB的值.【解答】解：过点A作ADLBC,垂足为D,如图所示.在 RtACD 中，CD = CA?cosC= 1, AD =办外2=后;在 RtABD 中，BD = CB-CD = 3, AD=V15,AB =心心七2%，. .sinB10.【分析】过。作BC的平行线交AC与G,由中位线的知识可得 出AD: DC = 1: 2

15、,根据已知和平行线分线段成比例得出AD =DG=GC, AG: GC=2: 1, AO: OE=2: 1,再由同高不同底 的三角形中底与三角形面积的关系可求出BE： EC的比.【解答】解：如图，过。作OG / BC,交AC于G,.O是BD的中点，.G是DC的中点.又 AD: DC = 1: 2,.AD =DG = GC,AG : GC = 2: 1, AO: OE=2: 1,SAOB： SaBQE = 2设 Saboe = S, S"ob = 2S,又 BO = OD, SaAQD = 2S, Saabd = 4S,. AD : DC=1: 2, SaBDC = 2Sa abd =8

16、S, S 四边形 cdoe=7S,. Saec = 9S, S"be = 3S,.里里些巨二吃运啊9s 3第13页（共28页）11 .【分析】根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积，利用扇形的面积公 式即可求解.【解答】解：: AOCA BOD,在旋转过程中所扫过的图形的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积=里工2_ F = 2兀, 360360故选：B.12 .【分析】对称轴为x=-,得b=3a;函数图象与x轴有两个不同的交点，得= b2-4ac>0;当 x= - 1 时，ab+c>0,当 x= -3 时，9a 3b

17、+c>0,得 5a-2b+c>0;由对称性可知x=1时对应的y值与x=- 4时对应的y值相等，当 x= 1 时 a+b+c<0, 4b+3c= 3b+b+3c= 3b+3a+3c= 3 (a+b+c)<0;【解答】解：由图象可知a<0, c>0,对称轴为x =b = 3a,正确;函数图象与x轴有两个不同的交点, = b2 - 4ac>0,正确；当 x= - 1 时，a - b+o0,当 x= 3 时，9a- 3b+c>0,10a- 4b+2c>0,.5a- 2b+c0,正确；由对称性可知x=1时对应的y值与x= -4时对应的y值相等,. .

18、当 x= 1 时 a+b+c<0,; b = 3a,4b+3c= 3b+b+3c = 3b+3a+3c= 3 (a+b+c) < 0,/.4b+3c<0,错误；故选：A .二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13 .【分析】利用加减消元法解之即可.【解答】解:得：卜+y=1Q12x+y=16 X= 6,把x= 6代入得：6+y= 10,解得：y = 4,方程组的解为：工一，故答案为：卜6.lv=414 .【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可.解答解：三二一一二-I(x+1) tx-1) £去分母，得(2x-1) (x+1) -2= (x+

19、1) (x-1)去括号，得 2x2+x -3 = x2 -1移项并整理，得x2+x -2=0所以(x+2) (x - 1) =0解得x= - 2或x=1经检验，X=-2是原方程的解.故答案为：x= - 2.15 .【分析】连接BC,由圆周角定理和垂径定理得出/ ACB = 90° , CH = DH=3CD=«,由直角三角形的性质得出AC = 2CH =2畲，AC=V3BC = 2-/3, AB = 2BC,得出 BC = 2, AB=4,求出OA = 2即可.【解答】解：连接BC,如图所示：/AB是。O的直径，弦 CDXAB于H,./ACB=90 , CH = DH=KD

20、=®/A=30 ,.AC =2CH=2愿，在 RtAABC 中，/ A = 30 ,.AC =VjBC = 2也，AB = 2BC,第15页(共28页).BC = 2, AB = 4,：.OA =2,即。O的半径是2;故答案为：2.16 .【分析】分AE: ED = 2: 3、AE : ED = 3: 2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.【解答】解：当AE: ED = 2: 3时，四边形ABCD是平行四边形，.AD / BC, AE : BC = 2: 5,.AEFs/XCBF,Smef： Sacbf =（看）2= 4: 25;当 AE : ED = 3: 2 时，同理可得，S

21、aAEF ： Sacbf =（高）2=9: 25,故答案为：4: 25或9: 25.A17 .【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案.2),设平移后解析式为：y= (x-3+a) 2-2,贝U 2= (2-3+a) 2- 2,解得：a=3或a=-1 (不合题意舍去)，故将抛物线y= (x- 3) 2 2向左平移3个单位后经过点A (2, 2). 故答案为：3.三、解答题(共5小题，共32分)18 .【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零 次哥等于1,负整数指数哥以及绝对值的意义化简， 然后按照实数 的运算法则进行计算求得结果.【解答】解：原式

22、=1 + 1-4+ (2-6)=-3 .19 .【分析】注意到(a+3) 2可以利用完全平方公式进行展开，(a+1) (a - 1)利润平方差公式可化为(a2 - 1),则将各项合并即可化 简，最后代入a =9进行计算.【解答】解：原式=a2+6a+9 (a21) 4a8= 2a+2将a=-白代入原式=2X (-) +2=1 2220 .【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 OB=OA, 根据 AM ± BE,即可得出/ MEA+ / MAE =90 =/ AFO+ / MAE ,从而证出 RtABOERtAAOF ,得到 OE = OF.【解答】证明：.四边形 ABCD是

23、正方形./BOE = /AOF = 90 , OB=OA.又AM LBE,. / MEA+ / MAE =90 = / AFO+ / MAE ,./ MEA =/ AFO .BOE 二 MOF (AAS).OE=OF.21.【分析】(1)利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；(2)用360乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；(3)计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；(4)画树状图(用 A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中 既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解.【解答】解：(1)参加此次诗词

24、大会预选赛的同学共有 18 + 45%=40 (人)，故答案为：40;(2)扇形统计图中获三等奖的圆心角为 360 xM = 90° ,40故答案为：90 .(3)获二等奖的人数=40X 20% =8, 一等奖的人数为40- 8-10-18 = 4 (人),条形统计图为：第19页(共28页)获奖情玩条形统计圉获奖情况扇形鲂过图T奖二等奖二等奖鼓励奖获奖奖别B- 6- 4 2 O 8 6 4 2 OIX 1X-I I（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有 1人，八年级有1人，九年级有2人,画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）ABCC/l/I /I/bsB

25、 C c c C A B c ABC共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4,所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率 义=工.12322.【分析】（1）连接OD,由AB为。O的直径得/ BDC = 90° ,根据BE = EC知/1 = /3、由0口=08知/2=/4,根据BC是。的切线得/ 3+24=90 ,即/ 1 + /2=90° ,得证；（2）根据直角三角形的性质得到/ F=30° , BE=1EF = 2,求得 DE = BE = 2,得到DF = 6,根据三角形的内角和得到 OD = OA, 求得/人=

26、/人口0=/80口 = 30。，根据等腰三角形的性质即可 得到结论.【解答】解：（1）如图，连接OD, BD, .AB为。O的直径，./ADB =/ BDC = 90 ,在 RtABDC 中，: BE = EC,.DE=EC = BE,/ 1 = / 3,VBC是。O的切线, /3+/4=90 , / 1 + /4=90 ,又: / 2=/ 4, / 1 + /2 = 90 , .DF为。O的切线;(2) . OB = BF, .OF = 2OD,./ F = 30 , / FBE=90 , be=1ef=2, .DE=BE = 2, .DF = 6, . / F = 30 , / ODF =

27、90 ,./ FOD = 60 , .OD=OA, / A = / ADO 得/BOD = 30第21页（共28页）.AD =DF=6.四、B卷填空题(共2小题，每小题5分，共10分)23.【分析】直线y=a与抛物线y= (x-1) 2-3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算.【解答】解：法一：y = a与抛物线y= (x-1) 2-3有交点则有 a= (x-1) 2- 3,整理得 x2-2x-2-a=0 =b2-4ac= 4+4 (2+a) > 0解得a n - 3, 0<x<3,对称轴 x=1 .y= (3- 1) 2-3=1/.a< 1法二：由题意

28、可知，;抛物线的顶点为(1, - 3),而0WxW3抛物线y的取值为-3<y< 1 y = a,则直线y与x轴平行,.要使直线y = a与抛物线y= (x-1) 2-3有交点，抛物线y的取值为-3<y<1,即为a的取值范围， 一 3<a< 1故答案为:24 .【分析】先证明 BPEACQP,得到与CQ有关的比例式，设CQ=y, BP = x,则CP=12x,代入解析式，得到y与x的二 次函数式，根据二次函数的性质可求最值.【解答】解：BEP+/BPE = 90 , /QPC+/BPE = 90 ,./ BEP = / CPQ.又/ B = / C = 90

29、,.BPEs/XCQP.噩里.PC CQ设 CQ = y, BP=x,则 CP=12-x.化简得 y=-5(x2-I2x),12-x y9整理得 y=- (x-6) 2+4,MF1所以当x = 6时，y有最大值为4.故答案为4.五、解答题(共4小题，共40分)25 .【分析】 有韦达定理得 xi+x2= - 1, xi?x2 = a,将式子一g+ % =1化简代入即可；【解答】解：y = x2+x+a的图象与x轴交于A (x1, 0)、B (x2, 0) 两点， x1+x2= 1, x1?x2=a,227,、2 口L .U M仪2 E】F）一2盯耳212+- =zZ =z=第23页(共28页)

30、. . a= - 1+百或 a = 1 -4a> 0, a< . a= 1 V2；26 .【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理 数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.【解答】解：（1）原不等式可化为：或7：°.x+l<0x+l>0由得，空集，由得，1Vx<3,原不等式的解集为：-1<x<3,故答案为：-1<x<3.(2)由*<0知;x+4<0解不等式组，得：x>1;解不等式组，得：x<

31、; -4;所以不等式 铛<0的解集为x>1或x< - 4.1-K27 .【分析】（1）通过证明 ABDszbcd,可得票马，可得结论； D1J LU（2）由平行线的性质可证/ MBD=/BDC,即可证 AM = MD =MB =4,由BD2= AD?CD和勾股定理可求 MC的长，通过证明 MNBs/cnd,可得罂衅即可求MN的长.【解答】证明：(1) V DB平分/ADC,./ADB =/CDB,且/ ABD =/BCD=90 ,.ABDs/XBCD AD EDBD -CD.BD2 = AD?CD(2) : BM / CD./ MBD =/ BDC./ADB =/MBD ,且

32、/ABD =90BM = MD , / MAB = / MBA.BM =MD =AM =4 . BD2 = AD?CD,且 CD = 6, AD = 8, BD2 = 48, .BC2 = BD2-CD2=12 .MC2=MB2+BC2=28 .MC =2<. BM / CD.MNBs/XCND且 MC =2第25页（共28页）28.【分析】(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点A ( - 1, 0)、B (3, 0),故可设交点式y=a (x+1) (x-3),把点C代入即求得a的值，减小计算量.(2)由于点A、B关于对称轴：直线x=1对称，故有PA=PB, 贝U Cpac=AC+PC+PA =AC+PC+PB ,所以当 C、P、B 在同一直 线上时，Capac =AC+CB最小.利用点 A、B、C的坐标求AC、 CB的长，求直线BC解析式，把x=1代入即求