数学学习中的联结及导向策略

1、数学学习中的联结及导向策略数学学习中的联结及导向策略盛志军浙江省富阳市郁达夫中学【摘要】学习是一种联结。认为联结是从尝试错误刺激反应的发展到 有意义的学习。通过对两种理论在实践中进行分析，其特质是先进与 落后的区别。数学学习实际上是寻求 中间变量”，构建数学认知结构的 过程。而目前教学中还众多停留在尝试错误的低级层次上，与培养发 展型的高素质人才不相容。以数学知识结构为基础，以学生原有不同 的的数学认知结构为出发点，以学生发展为目标达到构建学生的认知 结构，作为促进学生有意义的联结的三大导向策略。【关键词】数学学习 联结 认知结构 导向策略一、弓I 言全日制义务教育新数学课程标准明确指出： 有

2、效的数学学习活动 不能单纯地依赖模仿与记忆”,教师应当帮助学生 在自主探索和合作交 流的过程中真正理解和掌握的数学知识与技能、数学思想和方法，获 得广泛的数学活动经验。 ”这实际上从一个角度要求数学教师，要重视 学生的认知学习。但在实际教学中，还未重视认知结构的研究运用。 尤其到了复习阶段，连续不断的向学生发放复习试卷和机械地向学生 布置复习题给予强化，以达到反应结果。或者在平时教学中，让学生 死记一些结论，不注重 有意义的学习”学生的学习似乎还停留在 “s R 阶段。这种简单的操作方法在短时间内能使考试成绩上去，但代价是 学生沉重的学习负担，并造成学生思维僵化，不利于培养“发展型”人才， 与

3、素质教育背道而驰。如学生对于绝对值概念，只知道丨a是 a绝对值， 而不明白它的真正内涵。没有通过学生生活中已建立起来的认知概念 与数学内容的新认知结构进行联结。结果是造成对绝对值概念理解的 是似而非。本文就数学学习的联结问题及导向策略上作一些探索。二、关于联结理论数学学习是什么过程？“人类的学习总是以一定的经验和知识为前提， 是在联想的基础上，更好地理解和掌握新知的。”数学学习也不例外，这里的联想即为知识的联结过程。关于联结，理论上的研究，目前有两大派别。一是以美国心理学家桑 代克为代表的联结主义的行为学习理论。二是以美国心理学家布鲁纳和奥苏伯尔为代表的认知学派学习理论。桑代克的主要观点是，学

4、习就是作尝试错误。如果把当今的学习刺激设为 S,学习反应设为R,学 习就是S-R的联结过程。它是在动物实验的基础上提出的，是一种盲 目的尝试。通过不断尝试，出现错误，不断矫正，从中学会知识和技 能。而认知学派认为，学习就是知觉的重新组合，这种知觉经验变化过程不是简单的“S-R”程，而是突然的 顿悟”强调 情景的整体关系” 而以美国心理学家托而曼为代表的观点进一步认为，在 S 与 R 之间应 该有一个 “中间变量 ”，即认知和目的，学习是期待，就是对环境的认知。 因而，学习过程是一个 S-O-R 的过程。布鲁纳和奥苏伯尔还把它进 行了发展为现代认知理论，认为 “学习就是类目即及其编码系统的形 成

5、。 ”它不仅批评 S-R 直接、机械的联结，而且提出学习存在一个 认识过程，是认知结构的重新组合。强调原有的认知结构的作用，也 强调学习材料本身的内在联系。把内在联系的材料和学生原有的认知 结构联结起来，新旧知识发生作用， 新材料在学生的头脑中达成 “内化”， 学会了对“S£ R'中的“C”捕捉，成为真正的意义的联结，或者说学 生对新材料有了深刻地理解和超越。显然，在不同的时代，上述理论对数学教育都有积极的贡献。但时 至今日，在数学教育中，我们不能不重视，数学学习重要的应该是认 知学习，它是一个建立学生心理内部学习机制的过程。这里要明白三 点：学生学习数学，一要利用学生原有的

6、认知结构，二要重视学生一 定年龄阶段的心理发展水平， 三要充分考虑不直接参与的情感、 意志、兴趣等问题。三、数学学习的两种联结思想剖析下面结合教学实践，说明“ s R”认知结构连结之间的各自意义。例：如图，已知在O O内接 ABC中，D是AB上一点，AD=AC E 是AC的延长线上一点，AE=AB连结DE交O O于P,延长ED交O O 于Q.求证：AP=AQ.按“S的行为主义联结理论，可以让学生直接操作。这时，学生 可能不去仔细审题。由图形 “先入为主”，不断尝试，不断碰壁，然后再 回头去审题。 在点、线、角、三角形、圆的离散图形中不断产生错误。 偶而碰上解题思路，才得到问题的解决。之后，再不

7、去认识、总结。 下次在碰上此题，又重新错误尝试。显然，这样的问题解决法，造成 精力的极大浪费，所学知识也难以巩固。平时，我们老师经常说： “此 题我让学生解过，还做不出！ ”原因在于“S-F联结不是 有意义的学习” 没有找出新旧知识之间的内在联结，没有建立学生的新的认知结构。而利用认知结构理论思考，首先是认真审题，进入 “上位学习 ”， 对自己提问：1、见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？用到那些基础知识？ （图类似？还是条件类似？还是结论类似？）2、见过与之有关的问题吗？（能利用它的某些部分吗？能利用它的条 件吗？能利用它的结论吗？引进什么辅助条件，以便利用？） 以此，把原建立的认知结构中

8、的全等三角形、圆周角性质、等腰三角 形的判定等旧知加以调运。在此基础上，使学生进入 “下位学习” 然后，盯住目标一一始终盯住要证的结论 AP=AQ就是要明确方向， 哪怕中间状态不断变化，但始终与目标比较，及时调整自己的思路， 建立认知地图”，以不迷失方向。其基本框架如下： 有什么方法能够达到目标？（ 1、达到的目标的前提是什么？ 2、能实 现其中的某个前提吗？ 3、实现这个前提还应该怎么办？） 如上题，我们不妨采用逆向分析进行探索。这是认知策略的其中一条 有效途径：AP二AQ（目标）f/ AQP二/ APQ （前提）以下为实现前提需找中间量，即/ AQP=中间量二/ APQ这时，逆向分析无法进

9、行，此时一般就 是添辅助线的时候，转化圆周角/ AQP连结BP即有/ AQP二/ ABP因此，只要证明/ ABP二/ APQ.由于/ ABP二/ ABC+/ PBC/APQ=Z E+Z PAC,而/ PBCZ PAC所以,只要证Z ABC=Z E即证 ABCA AED.（以下略）这样，学生在原有的认知结构思维水平基础上发展他的联想思维，使 新旧知识加以联结，找到证题方法，达到解决问题，建立起新的认知 结构。 因此，我们在教学中，一定要把精力化在建立学生认知结构的工夫上， 善始善终加以引导。少用或不用 “s R”种 尝试错误”的机械方法，多 用科学成功的尝试， 引导学生认真寻求 “中间变量 ”，

10、努力使学生的新旧 知识加以联结，促进学生的数学素养不断提高。四、数学学习联结的教学策略事实上就学习者对数学问题的解决，无论是数学概念的形成、数学 技能的掌握，还是数学能力的培养，都是学习者由未知到已知的联结 过程，即“S-R的联结过程，重要的是寻求 中间变量O，从而构建数 学认知结构。所谓数学认知结构，就是学生通过自己主动的认识而在 头脑里建立起来的数学知识结构。 可以这样说，数学学习的联结过程， 就是数学认知建构的过程， 学会自觉主动的寻求 “中间变量 ”。最终达到 解决问题的目的的过程。那么，在这一过程中数学学习究竟有那些规 律可循？说具体一点有那些主要途径，这里谈一些粗浅的认识。 策略之

11、一：以数学知识结构为基础，构建学生的数学认知结构 学习过程就其本质而言是一种认识活动。因此，数学教 学的根本任务是发展学生的数学认知结构，首先应明确：数学认知结 构是由数学知识结构转化而来的；要建立学生的数学认知结构，首先 必须以数学知识结构为基础，进行开发、利用，从而转化为学生的数 学的认知结构。着重把握以下三个方面：（1）加强数学知识的整体联系。数学是一个有机整体，各知识相互联 系，教学中教师对数学知识的组织应能促进学生从前后联系上下照应 的角度对数学知识进行整体性构建从而在头脑中形成经纬交织的知识 络，这是一种 “情景的整体关系 ”。对于一个具体的数学问题， 应该感知 有效的信息。如在本

12、文第二部分的例题分析中提出的第 1、第 2 个问题， 就是寻求有效信息， 找其联结点； 对于“准类”的一块知识， 要注意纵向 联结。如函数，初一年级学习一次式、一元一次方程、二元一次方程 组时，就要向学生渗透函数思想， 初二学习正比例函数、 反比例函数、 一次函数，要回首前面知识与函数的联系， 并在学习一元二次方程时， 自然与二次函数联结作准备。 到了初三， 初中数学的 “四个二次 ”（二次 式、二次方程、二次不等式、二次函数）有机地综合联结；对于一章 知识，要让学生逐步自己小结，构成知识络，输入大脑，形成数学认 知结构。（2）注意揭示数学思维过程。数学被称为 “思维的体操 ”，但是数学的 思

13、维价值和智力价值是潜在的，决不是自然形成的，也不是靠教师下 达指令能创造出来的，课堂教学中，教师应精心创设问题情景，引导 启发学生积极思维，其间应注意两个环节： 制造认知冲突 充分 揭示学生的思维过程，即使新的需要与学生原有的数学水平之间产生 认知冲突。传统的教学在教师分析讨论解题时，往往思路理想化、技 巧化、脱离学生的认知规律，忽视了学生的思维活动，导致学生一听 就懂，一做即错。学生无法达到真正的连结。为此，在引导学生学习 中，为了使学生联结中，必须充分估计知识方面的缺陷和学的思维心 理障碍，揭示他们的思维过程，从反面和侧面引起学生的注意和思考， 使他们在跌到处爬起来，在认知冲突中加强联结。

14、稚化自身思维一- 充分揭示教师的思维过程。即教师启发引导要与学生的思维同步，切 不可超前引路，越俎代疱。如果教师在教学中，对于各类问题，均能一 想即出，一做就对”，尤其是几何证明题，辅助线新手拈来，或者把自 己的解题过程直接抛给学生，使学生产生思维惰性，遇到新的问题情 景，往往束手无策。只有通过教师的多种方式的启发，稚化自身，象 学生学习新知识的过程一样展开教学，把自己认识问题的思维过程充 分展示，接近学生的认知势态，学生才能真正体会、感受到数学知识 所包含的深刻的思维和丰富的智慧。 开发解题内涵一一充分揭示数 学发展的思维过程。在引导学生学习中，除了学生、教师的思维活动 外，还存在着数学家的

15、思维活动，即数学的发展思维过程。这种过程 与经过逻辑组织的理论体系是不同的。如果将课本内容照搬到课堂上 学生就无法领略到数学家精湛的思维过程。学生要吸取更多的营养， 必须经自身的探索去重新发现。这就需要教师帮助学生开发数学问题 的内涵，努力使学生的整理性思维方式变为探索性思维方式，有效地 使学生从数学知识结构出发，构建新的认知结构。（3）有机渗透数学思想方法。所谓数学思想方法就是数学活动的基本 观点，它包括数学思想和数学方法。 数学思想是教学思维的 “软件”，是 数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和提升，是对数学规律更一般 的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要教师引导学生去挖掘。而挖掘 的过程就

16、是数学认知结构形成的过程，也就是数学学习的最佳连结过 程。数学方法是数学思维的 “硬件 ”，它们是数学知识不可分割的两部分。 如字母代数思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、递推思想、 极限思想、参数思想、变换思想、分类思想等。数学方法包括一般的 科学方法 观察与实验、类比与联想、分析与综合、归纳与演绎、一 般与特殊， 还有具有数学学科特点的具体方法 配方法、换元法、属 性结合法、待定系数法等等&AEIig。这就要求在数学知识教学的同时， 必须注重数学思想，数学方法的有机渗透，让学生学会对问题或现象 进行分析、归纳、综合、概括和抽象等。只有这样，才能有助于学生 一个活的数学知识结构的

17、形成。现举一例：例：如图，在线段AB上有三个点C1, C2, C3,问图中有多少条线段？ 若线段AB上有99个点，则有多少条线段？A C1 C2 C3B探索分析： 如果一条一条数，这是一种思想方法； 如果 AB 上有 99 个点就得另辟溪径； 假如一开始要你对后一种比较复杂的情况作 出回答，就必须回到简单情况去考虑，这就是一般到特殊、简单到复 杂的数学方法，也就是 “以退求进 ”的变换思想；当有1个点C1时，有线段AC1, AB, C1A共有2+1=3条；当有 2 个点 C1C2时，有线段 AC1, AC2, AB, C1C2 C1B, C2B,共有 3+2+1=6条；当有 3 个点 C1C2

18、C3时，有线段 AC1, AC2, AC3, AB, C1C2 C1C3C1B C2C3 C2B, C3B共有 4+3+2+仁10条；当有99个点时，共有线段100+99+98+3+2+1=505条.这里用到了重要的归纳思想。策略之二：以学生的层次性出发 引导学生构建新的数学认知结构 一方面 认知结构总是在学生头脑中进行建构的。学生学习活动的主 动性 自觉性是建构认知结构的精神力量；另一方面 认知结构总是 不断发生变化的 原有认知结构是构建新认知结构的基础 新认知结 构是原认知结构的发展与完善。因此教师应积极探索在课堂教学中根 据学生实际按层次引导他们去构建12 下一页数学认知结构。（1 ）对整体水平较高的班级集体 由于学生有较丰富的知识积累具有较强的形成 “思维链 ”的能力 因而可采用快（教学节奏） 、多（问题系列）、变（习题丰富多变）等思路进行教学，启发学生的思维向纵 深发展，培养学生思维的敏捷性和独创性。促进以高效快速建构。（2）对学生基础和发展水平中等的班级集体， 教师应以课本为本， 按教材本身的内在逻辑有序地组织教学， 理清知识体系， 形成知识络， 注意方法指导，培养学生自学能力和应用知识解决实际问题的能力。（3）