中考数学四边形压轴题+解析

1、九年级上册四边形压轴题2.解答题（共30小题）1. （2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC的中点./AEF=90；且EF交正方形外角 /DCG的平分线 CF于点F,求证：AE=EF图1图2图m经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证 AME0ECF 所以 AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把 熏E是边BC的中点”改为熏E是边BC上（除B, C外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF5然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正 确，写出证明过程；如果

2、不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变， 结论AE=EF5然成立.你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确， 请说明理由.2. （2009宁德）如图（1）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上，E是 BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD,求证： AADGAABE;（2）连接FG观察并猜测/FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b为常数），E 是线段BC上一动点（不含端点

3、B、C）,以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时，/ FCN的大小是否总保持不变若 / FCN 的大小不变，请用含 a、b的代数式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小发生改变，请举例 说明.图3. (2009黄石)如图， ABC中，点。是边AC上一个动点，过 O作直线 MN/ BC,设MN 交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且 ABC满足什么

4、条件时，四边形AECF是正方形4. (2009无锡校级二模)如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以 OA、OC为边作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)为斜边端点作直角 PMN,点P在第一象限，且tan/PM距; 当点A出发时，4PMN同时以每秒个单位的速度沿 x轴向右平移.设点 A运动的时间为t 秒，矩形 OABC与4PMN重叠部分的面积为 S.(1)求运动前点P的坐标；(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；(3)若在运动过程中，要使对角线 AC上始终存在点 Q,满足/ OQ

5、M=g0 ,请直接写出符 合条彳的t的值或t的取值范围.了小5. (2008北京)请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF的 中点，连接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG与PC的位置关系及的值.小聪同学的思路是： 延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及的值；(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中白其他条件不变(如

6、图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明；(3)若图1中/ABC=/ BEF=2% (0AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕 EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.(1)求证：四边形 AFCE是菱形；(2)若 AE=10cm, ABF的面积为 24cm2,求 ABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE2=acap若存在，请说明点 P的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由.B F C7. (2008嘉兴)小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：(1)如图1,正方形 ABCD中，作 AE交B

7、C于E, DFLAE交AB于F,求证：AE=DF;(2)如图2,正方形 ABCD中，点E, F分别在 AD, BC上，点G, H分别在AB, CD上，且EFl GH,求的值；(3)如图3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，点E, F分别在 AD, BC上，且EFGH,求的值.BEC B FC图L图2A2? A E D A EDABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接,都有 ADQABQ;8. (2008宁夏)如图，在边长为 4的正方形DP交AC于点Q.(1)试证明：无论点 P运动到AB上何处时(2)当点P在AB上运动到什么位置时， 4ADQ的面积是正方形 ABCD面积的工；(3)若点P从

8、点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点 P运 动到什么位置时， 4ADQ恰为等腰三角形.9. （2008昌平区二模） 如图，已知 ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线 BC上）， B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接 BC、CB、BB、CC. （1）猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形 BCB2菱形这样的位置有几个请用语言对这样 的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判 断以点B、C、B、C为顶点的四边形的形状，画出

9、相应的示意图.（不用证明）10. （2007常德）如图1,已知四边形 ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F,过F作FH/ CD交BC于H,可以证明结论瞿增成立.（考生不必证明） AB bG（1）探究：如图2,上述条件中，若 G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否 成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形 ABCD中AB=6, / ADC=60 , G在直线CD上，且CG=16,连接BG交AC 所在的直线于 F,过F作FH/ CD交BC所在的直线于 H,求BG与FG的长.（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论四2曳还成立吗

10、AB BG11. （2007 宜昌）如图 1,在 4ABC中，AB=BC=5 AC=6. AECDAABC沿 BC方向平移得 到的，连接AE. AC和BE相交于点O.（1）判断四边形 ABCE是怎样的四边形，说明理由；(2)如图2, P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合)，连接PO并延长交线段 AE于点Q, QR，BD,垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点 P的运动而发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出 四边形PQED的面积； 当线段BP的长为何值时， 4PQR与BOC相似.12. (2007潍坊)已知等腰 4ABC中，AB=AC, AD平分/ BAC交BC于D点，在线段

11、AD上 任取一点P (A点除外)，过P点作EF/ AB,分别交 AC, BC于E, F点，作PM/ AC,交AB 于M点，连接ME.(1)求证：四边形 AEPM为菱形；(2)当P点在何处时，菱形 AEPM的面积为四边形 EFBM面积的一半13. (2007 永州)在梯形 ABCD中，AB/ CD, / ABC=90, AB=5, BC=10, tan/ADC=2.(1)求DC的长；(2) E为梯形内一点，F为梯形外一点，若 BF=DE / FBC=Z CDE,试判断4ECF的形状, 并说明理由.(3)在(2)的条件下，若 BEX EC, BE: EC=4: 3,求DE的长.14. (2007常

12、州)已知，如图，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点 E, G, H分别在正方形 ABCD边AB, CD, DA上，AH=2,连接CF.(1)当DG=2时，求4FCG的面积；(2)设DG=x,用含x的代数式表示 4FCG的面积；(3)判断4FCG的面积能否等于1,并说明理由.15. (2007海南)如图，在正方形 ABCD中，点F在CD边上，射线 AF交BD于点E,交BC 的延长线于点G.(1)求证：ADECDE;(2)过点C作CH，CE,交FG于点H,求证：FH=GH;(3)设AD=1, DF=x,试问是否存在x的值，使4ECG为等腰三角形若存在， 请求出x的值； 若不存在，请说

13、明理由.16. (2007哈尔滨)如图1,在正方形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 E, AF平分/ BAC, 交BD于点F.(1)求证：ef+Uc=ab； 2(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发， 沿着BA的延长线运动，点 。与A1的运动速度相同，当动点 C1停止运动时，另一动点 A1 也随之停止运动.如图 2, A1F1平分/ BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1LA1C1,垂足为日，请猜想E1F1, EA1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当 A1E1=3,。日=2时，求BD的长.17.

14、 (2006 河南)如图 4ABC中，/ACB=90度，AC=2, BC=3. D是 BC边上一点，直线 DEX BC 于D,交AB于点E, CF/ AB交直线 DE于F.设CD=x.(1)当x取何值时，四边形 EACF是菱形请说明理由；18. (2006温州)如图，在 ABCD中，对角线 AC BC, AC=BC=2动点P从点A出发沿 AC 向终点C移动，过点 P分另1J作PM /AB交BC于M, PN/ AD交DC于N.连接AM .设AP=x(1)四边形PMCN的形状有可能是菱形吗请说明理由；(2)当x为何值时，四边形 PMCN的面积与4ABM的面积相等19. (2006沈阳)如图1,在正

15、方形 ABCD中，点E、F分别为边 BG CD的中点，AF、DE 相交于点G,则可得结论：AF=DE,AFLDE (不须证明).(1)如图，若点E、F不是正方形 ABCD的边BC CD的中点，但满足 CE=DF则上面的 结论、是否仍然成立；(请直接回答 成立”或不成立”)(2)如图，若点E、F分别在正方形 ABCD的边CB的延长线和 DC的延长线上，且CE=DF 此时上面的结论 、 是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.(3)如图，在(2)的基础上，连接AE和EF,若点 M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形 MNPQ是 矩形、菱形、正方形、等腰梯

16、形 ”中的哪一种，并写 出证明过程.20. (2006成都)已知：如图，在正方形 ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点(点 E 不与端点C, D重合)，AE的垂直平分线 FP分别交AD, AE, BC于点F, H, G,交AB的延 长线于点P.(1)设DE=m (0vmv12),试用含 m的代数式表示的值；(2)在(1)的条件下，当时，求 BP的长.21. (2006汾阳市)如图，点 (1)如图1,当点E运动到(2)如图2,当点E运动到E在正方形 ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F.DC的中点时，求 4ABF与四边形ADEF的面积之比；CE ED=2: 1时，求4ABF与四边形

17、ADEF的面积之比；(3)当点E运动到CE: ED=3: 1时，写出4ABF与四边形ADEF的面积之比；当点 E运动 到CE ED=n： 1 (n是正整数)时，猜想 4ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果，不(4)请你利用上述图形，提出一个类似的问题要求写出计算过程)22. (2005资阳)阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件： 三角形的一边与矩形的一边重合， 且三角形的这边所 对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的友好矩形，如图所示，矩形ABEF即为4ABC的 友好矩形”，显然，当4ABC是钝角三角形时，其 友好矩形”只有一 个.(1)仿照以上

18、叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形”；(2)如图，若4ABC为直角三角形，且/C=90,在图中画出 ABC的所有 友好矩形”, 并比较这些矩形面积的大小；(3)若 ABC是锐角三角形，且 BC AC AB,在图中画出 ABC的所有 友好矩形”， 指出其中周长最小的矩形并加以证明.23. (2005重庆)已知四边形 ABCD中，P是对角线 BD上的一点，过P作MN/AD, EF/ CD,分别交AB CD、AD、BC于点M、N、E、F,设a=PMPE, b=PNPF,解答下列问题：(1)当四边形ABCD是矩形时，见图1,请判断a与b的大小关系，并说明理由；(2)当四边形ABCD是平行四边形

19、，且 / A为锐角时，见图2, (1)中的结论是否成立并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k,使得包卫史里妈?=9若存在，请S/UBD 9求出满足条件的所有 k的值；若不存在，请说明理由.AED ED图I图224. （2005大连）如图，操作：把正方形 CGEF的对角线 CE放在正方形 ABCD的边BC的延 长线上（CG BC）,取线段AE的中点M.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列 、中选取一个补充或更换已知条

20、件，完成你的证明.注意：选取 完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分.DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45（如图），其他条件不变；在的条件下，且CF=2AD附加题：将正方形 CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变.探究：线段 MD、 MF的关系，并加以证明.摩11G=G图】题邺25. （2005湖州）如图，四边形 ABCD和BEFG均为正方形，则=.（结果不取D26. (2005郴州)附加题：E是四边形ABCD中AB上一点(E不与A、B重合).(1)如图，当四边形 ABCD是正方形时，4ADE、 BCE和 CDE的面积之间

21、有着怎样的关系证明你的结论.(2)若四边形 ABCD是矩形时，(1)中的结论是否仍然成立为什么ABCD是平行四边形呢(3)当四边形 ABCD是梯形时,(1)中的结论还成立吗请说明理由.27. (2005深圳校级自主招生)如图，将一三角板放在边长为 1的正方形ABCD上，并使它 的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC相交于Q. 探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形 PBCQ的面积为v,求y与x之间的函数关系，并写出 函数自变量x的取值范围；(3)当点P在

22、线段AC上滑动时，4PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使4PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置.并求出相应的 x值，如果不可能，试说明理由.AD28. (2004贵阳)如图，四边形 ABCD中，AC=6, BD=8且AC, BD.顺次连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形 A1B1C1D1；再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2c2D2 如此进行下去得到四边形 AnBnCnDn.(1)证明：四边形 A1B1C1D1是矩形；(2)写出四边形 A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；(3)写出四边形 AnBnCnDn的面积;(4)求四边形 A5B5C5

23、D5的周长.29. (2004无为县)(1)如图(1),在正方形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O,易知AC BD,=-;2(2)如图(2),若点E是正方形 ABCD的边CD的中点，即，过 D作DGLAE,分另U交 ACBC于点F、G.求证：；(3)如图(3),若点P是正方形 ABCD的边CD上的点，且(n为正整数)，过点D作DNLAP, 分别交AC BC于点M、N,请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论.30. (2004佛山)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另 外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.(1)如图，在4ABC

24、中，BC=q BC边上的高AD=ha, EFGH是4ABC的内接正方形.设正万形EFGH的边长是x,求证：富=;sd-h,a(2)在RtABC中，AB=4, AC=3, / BAC=90度.请在图 ，图 中分别画出可能的内接 正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；(3)在锐角4ABC中，BC=a, AC=b, AB=c,且avbvc.请问这个三角形的内接正方形中 哪个面积最大并说明理由.九年级上册四边形压轴题2参考答案与试题解析.解答题（共30小题）1. （2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC的中点./AEF=90；且EF交正方形

25、外角 /DCG的平分线 CF于点F,求证：AE=EF图1图2图m经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证 AME0ECF 所以 AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把 熏E是边BC的中点”改为熏E是边BC上（除B, C外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF5然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正 确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变， 结论AE=EF5然成立.你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不

26、正确， 请说明理由.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：（1）在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,根据已知条件利用 ASA判定 AMEECF因为全等三角形的对应边相等，所以 AE=EF（2）在BA的延长线上取一点 N,使AN=CE,连接NE,根据已知利用 ASA判定 ANEECF因为全等三角形的对应边相等，所以 AE=EF 解答：解：（1）正确.证明：在 AB上取一点 M,使AM=EC,连接 ME.BM=BE,/ BME=45 ；/ AME=135 ； CF是外角平分线，/ DCF=45,/ ECF=135, / AME=/ECF,

27、 / AEB+/ BAE=90 , / AEB+Z CEF=90,/ BAE=Z CEFAME/ECF （ASA）, AE=EF(2)正确.证明：在BA的延长线上取一点 N.使AN=CE连接NE.BN=BE,/ N=/NEC=45 , CF平分 / DCG,/ FCE=45, / N=/ECF 四边形ABCD是正方形，AD/ BE,/ DAE=Z BEA,即 / DAE+90 = / BEA+90 ,/ NAE=Z CEFAANEAECF (ASA), . AE=EFL A U点评：此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况.2. （2009?宁德）如图（1

28、）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上,E是 BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD,求证： AADGAABE;（2）连接FG观察并猜测/FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b为常数），E 是线段BC上一动点（不含端点 B、C）,以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG使顶点 G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时，/ FCN的大小是否总保持不变若 / FCN 的大小不变，请用含 a、b的代数式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小

29、发生改变，请举例 说明.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质.专题：压轴题；动点型.分析：(1)根据三角形判定方法进行证明即可.(2)作FH，MN于H.先证ABEEHF,得到对应边相等，从而推出 4CHF是等 腰直角三角形，/ FCH的度数就可以求得了.(3)本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FHL MN于H, / FCH的正切值就是 FH: CH.解答：(1)证明：二.四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AB=AD, AE=AG, / BAD=Z EAG=90 , / BAE+/ EAD=Z DAG+/ EAD, Z BAE=Z DAG, ABAEVA DAG.(2

30、)解:/FCN=45, 理由是：作Fhl MN于H, / AEF=/ ABE=90 ； / BAE+Z AEB=90 ； / FEH叱 AEB=90 , / FEH=Z BAE,又 AE=EF / EHF=Z EBA=90 , AEFHAABE,FH=BE EH=AB=BCCH=BE=FH / FHC=90, / FCN=45.(3)解：当点E由B向C运动时，/ FCN的大小总保持不变， 理由是：作FH, MN于H,由已知可得 /EAG=Z BAD=Z AEF=90 ,结合(1) ( 2)得/ FEH=Z BAE=Z DAG, 又.G在射线CD上，/ GDA=Z EHF=Z EBA=90 ；

31、AEFHAGAD, EFHAABE, EH=AD=BC=bCH=BE在 RtA FEH 中，tan / FCN=上, a当点E由B向C运动时，/FCN的大小总保持不变，tan/FCN上.:j点评：本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重 点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例.3. (2009?黄石)如图， ABC中，点。是边AC上一个动点，过 O作直线 MN / BC,设MN 交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗若是

32、，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)利用平行线的性质由角相等得出边相等；(2)假设四边形BCFE再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直 线垂直相矛盾；(3)利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形.解答：解：(1) OE=OF.证明如下：.CE是/ACB的平分线，/ 1 = 7 2. MN / BC,/ 1 = 7 3.Z2=Z 3.OE=OC同理可证OC=OFOE=OF (

33、3 分)(2)四边形BCF环可能是菱形，若四边形 BCFE为菱形，则BF EC, 而由(1)可知FCEC,在平面内过同一点 F不可能有两条直线同垂直于一条直线.(3分)(3)当点O运动到AC中点时，且 ABC是直角三角形(/ACB=90)时，四边形AECF 是正方形.理由如下： .O为AC中点, OA=OG 由(1)知 OE=OF 四边形AECF为平行四边形； /1 = /2, /4=/5, Z 1 + Z 2+7 4+7 5=180 ,Z2+Z 5=90 ；即 / ECF=90, .?AECF为矩形，又- AC EF. .?AECF是正方形.当点。为AC中点且 ABC是以/ACB为直角三角形

34、时，四边形AECF是正方形.(3 分)BC D点评：本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广， 在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需 同学们熟练掌握.4. (2009?无锡校级二模)如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以 OA、OC为边作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)为斜边端点作直角 PMN,点P在第一象限，且七皿/F儿即/, 当点A出发时，4PMN同时以每秒个单位的速度沿 x轴向右平移.设点 A运动的时间为t 秒，矩形

35、 OABC与4PMN重叠部分的面积为 S.(1)求运动前点P的坐标；(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；(3)若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点 Q,满足/ OQM=g0 ,请直接写出符合条彳的t的值或t的取值范围.考点：矩形的性质；圆周角定理；切线的性质. 专题：压轴题；动点型.(1)过点P作PHx轴于H,可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan/PMN=L,2及勾股定理便可求出点 P的坐标.(2)因为点A;点C同时从点。出发，点M (4, 0), 4PMN同时以每秒个单位的 速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t, OM=4+,当 0V OAC OM 即

36、0V 2t,两图形无交点; 当OMvOAC OH即4+v2tw8+,即qt封，矢|形 OABC与 PMN重叠部分的J*面积为S等于重叠的三角形的面积. 当OHv OAC ON即8+v2t w 9 +即v t w酎，矩形OABC与 PMN重叠矩部分的面 积为S等于4MNP的面积减去不重叠的三角形的面积. 当OAON,即2t9+, t6时，矩形 OABC与4PMN重叠矩部分的面积为 S等 于4MNP的面积.(3)根据圆周角定理可知， 当以OM为直径的圆与 AC有公共点时，公共点即是符合 条件的点Q,即可求出t的取值范围.解答：解：(1)如图，过点P作PHI x轴于H. MN=9 4=5,tanZ

37、PMN=,2PM=, PN=, PH=2, MH=4, NH=1.P (8, 2).(2)运动 t 秒后，OA=2t, OC=t,OM=4 -.当t 4寸,S=t23t+4;3当 Vtw 时,S=- -t2+27t- 76;4当 t6 时，S=5.Q.（3）当以OM为直径的圆与 AC有公共点时，公共点即是符合条件的点 当以OM为直径的圆与 AC相切时，t= 医竺11点评：此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识 的掌握情况，有一定的难度.5. （2008?北京）请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线

38、段DF的 中点，连接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG与PC的位置关系及的值.小聪同学的思路是： 延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中白其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中/ABC=/ BEF=2% （0 “V 90）,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度， 原问题中

39、的其他条件不变，请你直接写出的值（用含“的式子表示）.考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.专题：压轴题.分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且 P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长 GP交AD于点H,连接CH, CG,本题中除了如（1）中证明 GF国 4HDP（得到P是HG中点）外还需证明 HD84GBC（得出三角形 CHG是 等腰三角形）.（3） /ABC=/ BEF=2x （0 a 90）,那么 / PCG=9 0- a,由（1）可知：PG: PC=tan （90 a）.解答：解：（1

40、） CD/ GF, /PDH=/ PFG, / DHP=/ PGF, DP=PF . DPHA FGP，PH=PG DH=GF, . CD=BC GF=GB=DHCH=CGCP HG, /ABC=60,/ DCG=120,/ PCG=60, .PG: PC=tan60 = , 线段PG与PC的位置关系是 PG PC,=;(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化.证明：如图2,延长GP交AD于点H,连接CH, .P是线段DF的中点，FP=DP1. AD/ GF,/ HDP=Z GFP, /GPF=/ HPD,AGFPAHDP (ASA), .GP=HP, GF=HD, 四边形ABCD是菱形，CD=

41、CB /HDC=/ ABC=60 , /ABC=/ BEF=60,篓形BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边AB在同一条直线 上，Z GBF=60 ；/ HDC=Z GBF, 四边形BEF靛菱形，GF=GBHD=GB,AHDCAGBC；CH=CG / HCD=Z GCBPG PC (到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上) / ABC=60 / DCB=Z HCD+/ HCB=120 / HCG=Z HCB+Z GCB/ HCG=120 / GCP=60 =tan / GCP=tan60 =;(3) Z ABC=Z BEF=2% (0 aAB）,将纸片折叠一次，使点A与C重合，再

42、展开，折痕 EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.（1）求证：四边形 AFCE是菱形；（2）若 AE=10cm, ABF的面积为 24cm2,求 ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE2=ac?ap若存在，请说明点 P的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由.考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：压轴题；开放型；存在型.分析：（1）因为是对折所以 AO=CQ利用三角形全等证明 EO=FQ四边形便是菱形；（2）因为面积是24,也就是AR BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘

43、积二倍就是AF的平方；（3）因为工AC=AO所以可以从与 4AOE相似的角度考虑，即过 E作EP，AD.2解答：（1）证明：连接EF交AC于O,当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC,OA=OG / AOE=Z COF=90 （ 1 分） .在矩形 ABCD中，AD/ BC,Z EAO=Z FCO,AAOEACOF （ASA）. .OE=OF （2 分），四边形AFCN菱形.（3分）（2）解：四边形 AFCE是菱形，AF=AE=1Q设 AB=x, BF=y, / B=9Q,（x+y） 2 2xy=1QQD又 ; $ abf=24,xy=24,贝U xy=48.（5 分）由、得：（x+y） 2

44、=196 （6分）1- x+y=14, x+y=-14 （不合题意舍去）.ABF 的周长为 x+y+AF=14+10=24. （7 分）（3）解：过E作EP，AD交AC于P,则P就是所求的点.（9分）证明：由作法， /AEP=90,由（1）得：/ AOE=90 ,又 / EAO=Z EARAAOEAAEP,. .二,则 AE2=AO?AP （10 分）四边形 AFCE菱形，/.AO=1ac, AE2AC?AP （11 分） 222AE2=AC?AP （12 分）即P的位置是：过 E作EP AD交AC于P.点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法 对角线互相垂直且平分的四边形 ”，（2）相似三 角

45、形的判定和性质.7. （2008?嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1,正方形 ABCD中，作 AE交BC于E, DFLAE交AB于F,求证：AE=DF;（2）如图2,正方形 ABCD中，点E, F分别在 AD, BC上，点G, H分别在AB, CD上，且EFl GH,求的值；（3）如图3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，点E, F分别在 AD, BC上，且EFGH,求的值.考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：（1）证明AE=DF,只要证明三角形 ABE和DAF全

46、等即可.它们同有一个直角，且AB=AD, 又因为Z AEB=90 - /BAE=/ AFD,这样就构成了全等三角形判定中的AAG两三角形就全等了；（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解. 作AM / EF交BC于M,作DN/ GH 交AB于N,那么AM=EF, DN=GH,（1）中我们已证得 ABM、ADAN全等，那么AM=DN , 即EF=GH它们的比例也就求出来了；（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解.作AM / EF交BC于M,作DN/ GH交AB于N,只不过证明三角形全等改为了证明其相似.解题思路和步骤是一样的.解答：（1）证明：DFXAE/ AEB=90 - / BAE=

47、/ AFD又 AB=AD, / ABE=Z DAF=90 AABEADAF, . AE=DF(2)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N贝U AM=EF, DN=GH由(1)知，AM=DN .EF=GH 即(3)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N贝U AM=EF, DN=GHEF GH AMXDNZ AMB=90 - ZBAM=Z AND又 ZABM=Z DAN=90AABMADAN.AM AB a点评：本题中(1 ) (2)和(3)虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过然后证明其全等或相似来得出线段间的相等D ,构建与已知和所求的

48、条件相关的三角形, 或比例关系.8. (2008?宁夏)如图，在边长为 4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q.(1)试证明：无论点 P运动到AB上何处时，都有 ADQ0ABQ;(2)当点P在AB上运动到什么位置时，4ADQ的面积是正方形 ABCD面积的；16|(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点 P运动到什么位置时， 4ADQ恰为等腰三角形.考点：正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质.专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.分析：(1)可由SAS求得 ADQ0 ABQ;

49、(2)过点Q作QE, AD于E, QFLAB于F,则QE=QF若 ADQ的面积是正方形 ABCD正方形ABCD,求得OE的值，再利用 DEM DAP面积的,，贝U有SAadq=!ad?QES ， ： ,1有还理解得Ap值AP DA(3)点P运动时，4ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD.由正方形的性质知，当点P运动到与点B重合时，QD=QA,此时4ADQ是等腰三角形，当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ, AADQ 是等腰三角形， 当AD=AQ=4时，有CP=CQ CP=AC- AD而由正方形的对角线的性 质得到CP的值.解答：(1)证明：在正

50、方形 ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB, / DAQ=Z BAQ, AQ=AQ, AADQA ABQ;(2)解法一：4ADQ的面积恰好是正方形 ABCD面积的过点 Q 作 QE，AD 于 E, QFXAB于 F,则 QE=QF,.在边长为4的正方形 ABCD中，S正方形 abcd=16,正方形ABCfL X 1ADX 2 EQ/ AP,ADECA DAP,瑞未即解得AP=2,AP，AP=2时，4ADQ的面积是正方形 ABCD面积的一;解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 Q作QE，y轴于点E, QF x 轴于点F.,点Q在正方形对角线 AC上,1- Q点的坐标

51、为（金，-）,y= - 2x+4,过点D （0, 4）, Q （9，$）两点的函数关系式为:当 y=0 时，x=2,.P点的坐标为（2, 0）,.AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，4ADQ的面积是正方形 ABCD面积的(3)解：若4ADQ是等腰三角形，贝U有 QD=QA或DA=DQ或AQ=AD, 当 AD=DQ 时，贝U /DQA=/DAQ=45/ ADQ=90 ； P 为 C 点， 当 AQ=DQ 时，贝U / DAQ=Z ADQ=45 ,/ AQD=90 ； P 为 B, AD=AQ (P 在 BC 上), CQ=AC- AQ=BC- BC= ( T) BC1. AD/ BC=,即

52、可得=1, .CP=CQ=( - 1) BC=4 (T)综上，P在B点，C点，或在CP=4(- 1)处，AADQ是等腰三角形.DCDQ点评：本题利用了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，三角形的面积公 式，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质求解.9. (2008?昌平区二模)如图，已知4ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线 BC上)， B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接 BC、CB、BB、CC. (1)猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形 BCB2菱形这样的位置有几个请用语言对这样 的位置进

53、行描述(不用证明)；(3)当点A在线段BC的垂直平分线(BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判 断以点B、C、B、C为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图.(不用证明)考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质.专题：压轴题；动点型.分析：在(1)中，根据题意结合图形可以很容易发现BC =CB(2)中BCB防菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，而AC BB, AB CC,所以只要BB与CC相交于A点即可，即 ABC为直角三角形.(3)分情况讨论可以得出结果.解答：解：(1)猜想：BC =CBB是点B关于直线AC的对称点AC垂直平分BB，.BC=B C同理BC=BC .BC =CB(2)要使BCB俚菱形根据菱形的性质，对角线互相垂直平分,B