(高等数学)偏微分方程

1、学习资料收集于网络，仅供参考第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题 . 由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论. 在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理. 阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法, 黎曼方法 , 势位方法及积分变换法 . 最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.1 偏微分方程的一般概念与定解

2、问题 偏微分方程及其阶数一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程. 如果等式不止一个，就称为偏微分方程组. 出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数 . 方程的解与积分曲面设函数 u 在区域 D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将 u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称 u 为方程在区域 D 中的解，或称正规解. uu(x1, x2 , xn ) 在n +1 维空间 (u, x1 , x2 , xn ) 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. 齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程 .如

3、uuc x, y u f x, ya x, yb x, yxy就是线性方程 . 在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f(x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. 拟线性方程与半线性方程 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程 .如2u2 u2uuua11 x, y, ux2a12 x, y, ux ya22 x, y,uy 2a x, y,uxb x, y, uyc x, y,u 0就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部. 上面方程的主部为2 ua122ua222 ua1

4、1 x, y,u2x, y,ux, y, u2xx yy如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程. 如2u2 uc x, y,uyya x, yb x, ydx, y,u0x2y 2xy就是半线性方程 . 非线性方程 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程. 如u 2 (1u )2( u ) 21xy就是一阶非线性偏微分方程 . 定解条件 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程. 如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件. 表示开始情况的附加

5、条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 定解问题 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题 . 根据不同定解条件，定解问题分为三类.1初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题.2边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题） . 定解问题的解 设函数 u 在区域 D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的 u 及它的导数的极限

6、处处存在而且满足相应的定解条件，就称 u 为定解问题的解 . 解的稳定性 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的. 定解问题的适定性 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的 .2 一阶偏微分方程一、柯西 - 柯娃列夫斯卡娅定理 一阶偏微分方程的通解 一阶偏微分方程的一般形式是F (x1, x2 , xn , u, u , u , ,u ) 0x1 x2xn或F x1 , , xn , u, p1 , p2 , pn 0 ，其中 piui 1,2, , nxi如解出

7、 p1 ，可得：p 1 = f ( x 1 , x2 , x n , u , p 2 , pn )当方程的解包含某些“任意元素” ( 指函数 ) ，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解 ( 某些“奇异解”除外 ) ，则称这样的解为通解 .在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件 ( 即定解条件 ) 下的解，而不在于求通解 . 一阶方程的柯西问题 ux1f x1 , x2 , , xn , u, p2 , , pnu |x x0x2 , , xn11称为柯西问题，式中 (x2 , xn ) 为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理 .柯西柯娃列夫斯卡娅定理 设 f ( x

8、 1 ,x2 , , x n ,u ,p 2 , , p n )在点 (x 10 ,x20, , x n0 , u 0 , p 20 , p n0)的某一邻域内解析，而(x2 , xn ) 在点 (x 20 , x n0 )的某邻域内解析，则柯西问题在点(x 10 , , x n0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解 .这个定理应用的局限性较大，因它要求 f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件 .对高阶方程也有类似定理.在有些书中写作F (t, x1, x2 , xn , u, u ,u , , u ) 0tx1xn学习资料学习资料收集于网络，仅供参考二、一阶线性方程1

9、一阶齐次线性方程特征方程 特征曲线 初积分 ( 首次积分 )给定一阶齐次线性方程a1x1 , x2 , , xnuan x1, x2 , xnu0(1)x1xn式中 ai 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零( 下同 ). 方程组dxiai x1 , x2 , xn(i = 1,2, n )dt或dx1dx2dxn(2)a1 x1 , x2 , , xna2 x1 , x2 , , xnan x1, x2 , xn称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程. 如果曲线 l: x i=x i(t ) (i=1,2, n ) 满足特征方程(2)，就称曲线 l为一阶齐次线性方程的特征曲线 .

10、如果函数( x 1 , x 2, x n ) 在特征曲线 xixi (t) (i1,2, n) 上等于常数，即( x 1 (t ) , x 2( t) , x n( t ) ) = c就称函数(x 1 ,x 2 ,x n ) 为特征方程 (2)的初积分 ( 首次积分 ).齐次方程的通解 1 o连续可微函数 u=( x 1 , x2 , x n ) 是齐次线性方程 (1)的解的充分必要条件是：(x 1 , x 2 ,xn ) 是这个方程的特征方程的初积分 .2o设i(x1, x2,x n) ( i = 1,2, ,n) 是特征方程 (2) 在区域 D 上连续可微而1且相互独立的初积分 ( 因此在

11、 D 内的每一点，矩阵111x1x2xn222x1x2xnn 1n 1n 1x1x2xn的秩为 n1)，则u =(1 ( x 1 , x 2 , xn ) ,n -1 ( x 1 , x 2 , x n ) )是一阶齐次线性方程 (1)的通解，其中为n1个变量的任意连续可微函数 .柯西问题 考虑方程的柯西问题nuai x1 , x2 , , xn0xii 1u |x x0x2 , , xn11式中 ( x 2 , x n ) 为已知的连续可微函数 .设 i ( x 1,x 2, x n) (i = 1,2, , n1)为特征方程的任意 n1个相互独立的初积分，引入参变量i (i1,2, n 1

12、) ，从方程组1 x10 , x2 , xn12 x10 , x2 , xn2n 1 x10 , x2 , xnn 1学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解出 x 2 , , x n 得x221 ,2 ,xnn1 , 2 ,n 1n 1则柯西问题的解为u =(2 (1 ,2 ,n -1 ) ,n (1 ,2 ,n -1 ) )2 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、一阶拟线性方程一阶拟线性方程为nuai x1 , x2 , , xn , uR x1, x2 , , xn , uxii 1其中 ai 及 R为x 1 , x 2 ,x n , u的连续可微函数且不同时为零 . 一阶拟线

13、性方程的求解和它的特征方程dxiaix1 , x2 , xn ,u(i1,2, n)dtduR x1 , x2 , , xn , udt或dx1dxndua1 x1 , , xn , uan x1 , , xn , uR x1 , , xn , u为原拟线性方程的特征方程 . 如果曲线 l:xi=xi (t ) (i=1,2 , n ) ,u = u(t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线 .设 i ( x 1 , x n, u )(i= 1,2, n)为特征方程的 n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数，( 1 ( x 1 , x n , u ) ,2 ( x1 , x

14、 n , u) , n ( x 1 , x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解 . 柯西问题 考虑方程的柯西问题nuai x1 , x2 , , xn ,uR x1 , x2 , , xn ,uxii 1u |x x0x2 , , xn11为已知的连续可微函数 .设 1 ( x 1 , x 2 , x n ,u),n (x 1, x 2,x n , u)为特征方程的 n 个相互独立的初积分，引入参变量1 ,2 ,n ,从1 x10 , x2 , , xn , u12 x10 , x2 , , xn , u2nx0 , x , x, un12n解出 x 2 , x n , u学习资

15、料学习资料收集于网络，仅供参考x221,2 ,xnn1 ,2 ,u1 ,2 ,则由nnnV x1 , x2 , , xn ,u1 x1 , x2 , , xn ,u , , 2 x1 , x2 , , xn ,u2 1 , 2 , , n , , n 1 , 2 , , n0给出柯西问题的隐式解 .四、一阶非线性方程 完全解通解奇异解 一阶非线性方程的一般形式为F x1, x2 , , xn , u, p1 , p2 , , pn0piui1,2,nxi若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解( 全积分 ).若V ( x 1 , x 2 , x n , u , c1

16、,c2 , , cn ) = 0为方程的完全解，从V0i1,2, nV 0 ,ci消去 ci，若得一个解，则称它为方程的奇异解( 奇积分 ).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程F x, y, z, p, q 0 ,pz ,qzxy有完全解V ( x , y , z , a , b )=0(a , b 为任意常数 ),则方程等价于从方程组V x, y, z,a, b0VV p0 ,VV q0xzyz消去 a, b所得的方程 .利用常数变易法把 a,b 看作 x, y 的函数，将 V( x , y , z , a , b )=0求关于 x, y 的偏导数，得VV pVaVb0

17、xzaxbxVV qVaVb0yzayby那末VaVbVaVbaxb0,ayb0xy与V= 0联立可确定 a,b . 有三种情况：1VV0 ，将其与 V( x ,y ,z,a, b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解 .ab2如 aabb0 ，即回到完全解 .xyxy学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3当 V/ 0, V /0 时，必有a, b0，这时，如果不属于情形2，则 a 与 b存在函abx, y数关系： b=(a) ，这里为任意可微函数，并从方程V(x,y ,z,a,b )=0和 VVa 0消去 a, b，可确定方程的通解 .ab定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解

18、内.特征方程特征带特征曲线初积分在一阶非线性方程：F x1 , x2 , , xn , u, p1, p2 , , pn0中，设 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称FnxiFduFpit,dtpipii1dpiFpiFi1,2, ndt()xiu或dx1dx2dxndudp1dpnFFFnFFp1FFpnFpip1p2pnpix1uxnui 1为非线性方程的特征方程 . 设特征方程的解为 x i= x i( t),u=u(t ),p i= p i (t )( i=1,2,n) 称它为非线性方程的特征带 . 在x 1, x 2 , x n ,u 空间的曲线 x i= x i( t ),u=u

19、( t)(i= 1,2, ,n ) 称为非线性方程的特征曲线 . 如果函数 G x1 , x2 , xn ,u, p1 , p2 , pn在特征方程的任一解 xi = x i( t )(i=1,2 , , n), u=u ( t),p i= p i( t )( i=1,2, n) 上等于常数，即G x1 t , x2 t , xn t ,u t , p1 t , p2 t , pn tC那末函数 G x1 , x2 , xn ,u, p1 , p2 , , pn称为特征方程的初积分 .求完全解的拉格朗日恰比方法考虑两个变量的情况 .对于方程 F( x ,y, z, p,q)=0 ，选择使雅可比

20、式F , G0 的一个初积分 G( x ,y ,z,p, q). 解方p, q程组Fx, y,z, p,q0(a为任意常数 )Gx, y,z, p,qa得p(x ,y,z,a) 及 q(x ,y , z, a). 则方程dz=p dx+q dy的通解 V(x,y, z, a,b)=0(b 是积分 dz=p dx+q dy 出现的任意常数 ) 就是方程 F( x ,y ,z,p ,q)=0的完全解 .例 求方程 z2 p2q 2x 2y2的完全解 .解 方程的特征方程为dxdydzdpdq2z2 p 2z2 q 2z2 p 2q 22x 2z p2q 2 p 2 y 2z x2y 2 q这里成立

21、pdzzdpdxxzp所以特征方程的一个初积分为z2 p 2 x 2 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解方程组z2 p2q 2x2y20a为任意常数 )z2 p2x2a(ax2y2a得p,qz积分微分方程z2y2adzax dxzdyz得完全解2x x2ayy2aa lnxx2azyy 2b ( b为任意常数 )a某些容易求完全解的方程 1仅含 p, q的方程 F( p ,q)=0G= p是特征方程的一个初积分 .从 F( p,q )=0与p=a(a 为任意常数 ) 得q=( a) ，积分dz=a d x+( a)d y得完全解z=ax+( a) y+b(b 为任意常数 )2 不显含 x

22、,y 的方程 F( z,p,q)=0特征方程为dxdydzdpdqFFFFFFpppqpqqqzz因此 q dp-p dq =0 ，显然 Gq 为一个初积分，由F( z,p,q)=0 ， q=pa (a 为任意常数 ) 解得pp=( z,a). 于是由dz=(z,a)d x+a( z,a)d y得dzxayb( b 为任意常数 )z, a可确定完全解 .n3变量分离形式的方程fixi , pi0i1特征方程为dx1dxndzdp1dpnf1f nnfif1f np1pni 1pi pix1xn可取初积分 Gi= f i( x i,p i) , (i=1,2, , n ). 从f i( xi ,

23、p i)= a i( i=1,2, , n) 解出pi =i (x i,a i)得完全解nzi xi , ai dxibi 1n式中 ai, b 为任意常数，且ai0.i 1克莱罗方程 方程学习资料学习资料收集于网络，仅供参考nzpi xifp1 , p2 , pni1称为克莱罗方程，其完全解为nzci xif c1 ,c2 , ,cni1对ci微分得xif( i=1,2,n )ci与完全解的表达式联立消去ci即得奇异解 .例求方程 z xp yq pq =0 的完全解和奇异解 .解这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得 x= b,y= a ，消去 a, b 得奇异

24、解发甫方程 方程z= xyP(x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R ( x,y,z )d z= 0(1)称为发甫方程，如果 P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分. 如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积 .1方程完全可积的充分必要条件当且仅当 P,Q,R 满足条件P( RQ )Q( PR )R( QP ) 0(2)yzzxxy时，存在一个积分因子(x,y,z) ，使dU1 =(Pdx+Q dy+R dz)从而方程的通解为U1 (x,y,z )= c特别，当RQ0, PR0,QP0 时，存在一个函数 U(x,y,z ) 满足yzzxxyPU , QU , RU

25、xyz从而dU=P dx+Q dy+R dz所以方程的通解为U( x,y,z )= c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族 .定理设对于发甫方程(1) 在某区域 D 上的完全可积条件(2) 成立，则对 D 内任一点M(x,y,z) 一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过.2 方程积分曲面的求法设完全可积条件 (2) 成立 . 为了构造积分曲面，把 z 看成 x,y 的函数 ( 设R( x,y,z ) 0) ，于是原方程化为P QdzdxdyR R由此得方程组zPx, y, z3xP1RzQx, y, z4yQ1R学习资料学习资料收集于网络，仅供参考发甫方程 (1)

26、与此方程组等价 .把方程 (3) 中的 y 看成参变量，积分后得一个含有常数c 的通解zx, y; c代替常数 c ，将 z，在完全可积的条件下，然后用未知函数 c yx, y; c y 代入方程 (4)可得 c y 的一个常微分方程，其通解为yy, ccc为任意常数，代回 zx, y; c y 中即得发甫方程的积分曲面z=( x,y, ( y,c )由于发甫方程关于 x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果 .例 求方程 yz dx+2 xz dy+xy dz= 0 的积分曲面族 .解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子1，用它乘原方程得

27、xyzdx2dydzxy0z积分后得积分曲面族xy 2 z=c也可把方程化为等价的方程组zzxxz2zyy把y 看成参变量，积分zz 得通解xxzxcy 代替 c ，将 zxz2z得用未知函数 cc y 代入方程yyydc y2cdyy积分后有cc yy2所以原方程的积分曲面族是xy 2 z=c五、一阶线性微分方程组 一阶线性偏微分方程组的一般形式两个自变量的一阶线性方程组的形式是nu jnu jnAijBijCij u jFi0i 1,2, ntxj 1j 1j1或uinu jnaijbiju jf i0i1,2, n(1)txj 1j 1其中 Aij ,Bij ,Cij , Fi,a ij

28、,b ij ,f i是 (x,t ) 的充分光滑函数 . 特征方程特征方向特征曲线学习资料学习资料收集于网络，仅供参考det(aijijdx) 0,0,ijij1,ijdt称为方程组 (1) 的特征方程 . 在点 ( x,t ) 满足特征方程的方向dx 称为该点的特征方向 . 如果一条dt曲线 l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l为特征曲线 . 狭义双曲型方程与椭圆型方程如果区域 D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在 D 内为狭义双曲型的 .如果区域 D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的 . 狭义双曲型方程组的

29、柯西问题1 化方程组为标准形式 对角型因为 det(a ij - ij )=0有n 个不同的实根1 ( x,t ), n( x,t ) ，不妨设1 (x,t )2 ( x, t)n ( x,t )那末常微分方程dxix, ti1,2, ndt的积分曲线 l i ( i=1,2,n ) 就是方程组(1) 的特征曲线 .方程niaij0i1k ijk的非零解 ( k(1) , , k ( n ) 称为对应于特征方向 k 的特征矢量 .作变换njviiu ji1,2, nj1可将方程组化为标准形式 对角型vinviaijx,t v jx,ti 1,2, nti x,tix j1所以狭义双曲型方程组可

30、化为对角型，而一般的线性微分方程组(1) 如在区域 D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，( 此时不一定要求i都不相同 ) ，就称这样的微分方程组在 D 内为双曲型的 .2 对角型方程组的柯西问题考虑对角型方程组的柯西问题vivini x,taij x, t v jix,ttxi1,2, , nj 1vix,0ixi (x ) 是 a,b 上的连续可微函数 .设 ij , i,i在区域 D 内连续可微，在 D 内可得相应的积分方程组nvix, tixiij v ji dti1,2, , nlij 1式中 l i 为第 i条特征曲线 li上点 ( x,t ) 与点 (x i,0) 之间的一段， (x i,0)为 li与 x轴上 a,b 的交点 . 上式可以更确切地写为vi x, ti xix, t,0tnaij xix, t, ,vjxi x, t,i xi x, t, , d0j1(i=1,2, n)学习资料学习资料收集于网络，仅供参考式中 x i= x i( x , t ,t ) 为过点 ( x ,t ) 的第 i条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程. 为此令vi0x,ti xi x, t,0i1,2, nnvi1x, ti