【高考数学大题精做】专题07三角形中的组合图形问题(第一篇)(解析版)

1、D第一篇三角函数与解三角形专题07三角形中的组合图形问题对应典例以两个三角形组合考查解三角形问题典例1以两个三角形组合的考查解三角形的开放性问题典例2以梯形为背景考查解三角形典例3以平面四边形为背景考查解三角形的最值问题典例4以半圆和四边形组合而成考查解三角形典例5以二角形嵌套二角形为背景考查解二角形典例6以五边形为背景考查解三角形典例7【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】如图所示，在VABC中，A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2bsin AcosB a sin B 0, a 1 , c 2 .16 / 24(1)求 b 和 sinC ；(2)如图，设D为AC边

2、上一点,BDCD华,求4ABD的面积.7【思路引导】(1)通过正弦定理边化角，整理化简得到cosB的值，再利用余弦定理，求出b，根据正弦定理，求出sinC ；(2)根据正弦定理得到 sin CBD 1,CBD 一，根据勾股定理得到 BD ,根据三角形面积 22公式，求出4ABD的面积.解：（1）因为 2bsin AcosB asin B0,一一一 . a所以在VABC中，由正弦定理 sin Absin B得 2sin Bsin AcosB sin AsinB 0 ,因为 sin Asin B 0,所以 2cosB 1 0,所以cosB2，又0由余弦定理得,22b a2ac cos B在 VAB

3、C中,由正弦定理csin Cb , sin Bcsin B所以sin C b2sin23一7(2)在 zABD 中,由正弦定理得,BDCDsin C，sin CBD因为BDCD3 3sin C三,所以.7 sin CBD因为sin C叵,所以sin 7CBD1,而 CBD 0,所以CBD一,由 BD2 CD设 BD 、3t, CD所以（.3t）212("t)2，所以t,所以BD因为 ABD- 2ABCDBC 3所以SVABDAB BD sin ABD2T【典例2】【山东省日照市 2019-2020学年高三下学期月校际联考】在 ABC面积S abc 2 ,ADC 这两个条件中任选一个，

4、补充在下面问题中，求 AC63ABC ，4BAC DAC ,AC.如图，在平面四边形 ABCD中,【思路引导】B选择：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC的长;选择：在 ABC , ACD中，分别运用正弦定理,可以求接求出AC的长;解：选择:c1 一 1 CS abc AB BC sin ABC 2 BC sin22所以BC 2后；由余弦定理可得cos ABC_2_2 2 _ AC2 AB2 BC2 2AB BC4 8 2 2 2220所以 AC 20 2.5选择BCA设 BAC CADAC在 ABC 中一AC一 sin ABCABsinAC sinsin 一4AC所以sin 一 4在

5、 ACD中,ACCDAC所以AC2 sin所以sinsin ADCsin CADsin 一6sinsin 一 4解得2sin一,所以sin 4所以AC2、5. sin【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】如图，在梯形 ABCD 中， A D 90°, M 为 AD 上一点，AM 2MD 2, Z BMC 60o.(1)若 AMB 60°,求 BC(2)设 DCM4MC，求 tan .【思路引导】(1)先由题中条件求出MB, MC ,再由余弦定理即可求解;(2)先由 DCM，表示出 ABM,进而可用表示出MC ,MBMB 4MC即可求解.解：(1)由 BMC6

6、0°,AMB60° ,得 CMD 60°.在 RtVABM 中，MB 2AM在 RtVCDM 中，MC 2MD2.在VMBC中，由余弦定理得,BC2BM 2 MC2 2BM MCcosBMCBC 2.3.(2)因为 DCMABM60°， 0°60°.在 RtVMCD 中，MC1. sin在 RtVMAB 中，MB2sin 60°'由 MB 4MC 得，2sin 60°所以 J3c°s 8 sin 0 sin 0,即 2sin 0 J3c°s。,整理可得tan 立2【典例4】【广东省201

7、9届高三上学期期末联考】c°sB .如图，在 ABC中，角A, B , C的对边分别为a, b, c,且a c sinB求 ACB的大小；(2)若 ACB ABC,点A、D在BC的异侧，DB 2, DC 1,求平面四边形 ABDC面积的最大值.【思路引导】(1)由正弦定理将ac sinB cosB化为sinA sinC sinB cosB ,再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果;(2)先由余弦定理求出BC的长，将平面四边形ABDC的面积转化为两三角形 ABC与 BCD面积之和,即可求解.解：(1)因为aasinB cosB ,且sinA工sinC所以 sinA sinCsinB c

8、osB 在 ABC 中,sinA sin B C所以sin B CsinC sinB cosB 所以 sinBcosC cosBsinC sinCsinB sinCcosB所以 sinBcosC sinCsinB 因为在 ABC 中，sinB 0所以cosC sinC因为C是 ABC的内角所以C -. 4（2）在 BCD 中，BC2 BD2 CD2 2BD CD cosD 5 4cosD因为 ABC是等腰直角三角形，.12125所以 SABC-AB2-BC2cosD2441 S BCD BD CD sinD sinD 25所以平面四边形 ABDC的面积S S ABC S BCD cosD si

9、nD4.2sin D 一44因为0 D ，所以 d 443所以当D3-时，sin D -1 ,44此时平面四边形 ABDC的面积有最大值【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】P位于C, B两点之间，且(2)求四边形ABPC的面积的最大值.CAP 一 6【思路引导】(1)根据已知条件求出 AC,AP ,再利用面积公式即可;(2)将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值解：(1)由题知CAB 一 4AC AB cos CAB 72，AP ABcos122cos 一 32cos cos 2sin sin 一.622C1 _SVAPC二 AC2APsin 一6(2)由题知 C

10、AP根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得6设半径r 1 , AOC2POB 一SABPCSV AOCSVPOBSVPOCsin.2sin 3sin,31.3一 sin 一cos221 sin2.323sin23.3当 AOC时等号成立.3【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】如图所示，正三角形ABC的边长为2, D,E,F分别在三边AB,BC和CA上，D为AB的中点,EDF 90 , BDE90(I)当 tan DEF费时，求的大小;2(I)求 DEF的面积S的最小值及使得 S取最小值时的值.【思路引导】第一问，在 EDF中，tanDEF受 DEY3,，而在 DBE中，利用

11、正弦定理，用2表示DE ,在 ADF中，利用正弦定理，用表示DF，代入到式中，再利用两角和的正弦公式展开,解出tan ,利用特殊角的三角函数值求角;第二问，将第一问得到的 DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.解：在VBDE中，由正弦定理得 DEBDsin60sin(1200)2sin(600-,在VADF中，由正弦定理得 )DFADsin600sin(300-3.0-由 tan DEF 2sin(300)乏得史*2sin(300),整理得tan2所以(2)1S -DE2DF 8sin(60 0)sin(30 0)2(7

12、3cossin )(cosV3sin )332 . 3(cos2 sin2 ) 4sin cos 2( 3 2sin 2 )当 45时，S取最小值一3 62( ,3 2)2【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】AE为赛某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道,道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道,BCD CDE BAE2，DE3BC CD . 3km .(1)求服务通道BE的长度;(2)当 AEB 一时，赛道BA的长度?4【思路引导】(1)连接BD ,在 BCD中，由余弦定理可得BD3,由等腰三角形的性质结合BCD2CDE 3可得 BDE再由勾股

13、定理可得结果；(2)在2接利用正弦定理定理可得结果 .BAE 中,BAE5,AEB解：(1)连接BD ,在 BCD中，由余弦定理得:22BD2 BC2CD22BC CDcosBCD9,-2BD 3.Q BC CD , CBD CDB ,又 CDE ， BDE 一, 632在 Rt BDE 中，be Vbd2 DE25.(2)在 BAE 中， BAE2一，BE35. AEB 一由正弦定理得4BE.2sin -3ABsin 4即:5,32AB，2得 BA 5-6 ,当 AEB3一时，赛道4BA的长度为W63【针对训练】1.【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一）如图，在 ABC中，sin BAD

14、 述,14cos ADC1_ _ 一 ，一一，AD 7, AC 8, D 在 BC 边上，连接 AD . 7（1）求角B的大小;（2）求ACD的面积.【思路引导】（1）由 ABD ADC即可得角B的大小；（2）先在BAD及两角差的正弦公式， 结合正余弦值求得ABD的正弦值,ACD中，由余弦定理求出 CD的长度，再利用三角形的面积公式即可求解解：（1）在 ABC 中，cosADC所以 ADC0,-，所以2BAD0,2sin BAD理cosADCsin ADC14二 cos BAD L 1142£1443sin7ABD sin( ADCBAD)sin ADCcos BADcos ADCs

15、in BAD10、3.如图所示，在平面四边形 ABCD中，tan(1)若 ACB /ACD, AB 2BC2 ,求AC的长;(2)若 CBD 45 , BC2 ,求VBCD的面积.4 3 13 1 3 33.714 7142因为 ADC 0,-，所以 B 0,- , B -. 223(2)在 ACD中，由余弦定理得AC2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC ,八2八 164 49 CD2 2 7 CD -71八八AD CD sin ADC24.37 5 -72.1天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】BCD【思路引导】(1)由tan BCD ,可求出cos B

16、CD ,结合ACBZ ACD ,可求得cos ACB,在VABC中，由余弦定理可求出 AC的长;(2)先求得sin BCD,cos BCD,贝U sin CDB sin BCD 45 ,然后利用正弦定理BC一 一CD一，可求出CD ,进而可求出 VBCD的面积.sin CDB sin CBD解：4(1) tan BCD一,则 BCD 是钝角，cos3BCD0 ,可求得cosBCD一 一3因为 ACB / ACD ,所以 cos BCD 一 52cos2ACB 1.因为cosACB 0,所以 cos ACB 巨5在 VABC中，由余弦定理得AB222BC2 AC22BCAC cos ACB解得A

17、C3,55(舍去).所以AC(2)由(1)可知,sinBCD,1 cos2BCD在VBCD中,因为CBD 45sin CDBsin 180BCD45 sinBCD45 型(sin2BCD cos BCD). 210由正弦定理得BCsin CDBBC sin CBD 所以CD -sin CDB1 故VBCD的面积S 1 22CDsin CBD10.4108.518/243.12020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,且满足 3asinA 2asinC 3bsinB 3csinC.(1)求cosB的值.(2)如图，点D在线段AC上

18、，且AD 2DC，若AC 2,求4DBC面积的最大值.【思路引导】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解（2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得4 a22-ac 2ac31BDC 二 S3ABC即可求解.解：(1) 3asinA 2asin C 3bsin B 3csinC ,由正弦定理，可得3a22ac 3b2 3c2 ,22. 2a c b贝U cosB 2ac(2)由(1)知 cosB1313可得:2224 a c -ac32ac2 -ac34 ac,3ac3,（当且仅当ac时取等号）由AD2DC ,可得:S BDC1g11八 S ABC 33 2acsin B2.2 33

19、DBC的面积最大值为4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】如图，在四边形 ABCD中，ADBD, AC平分BAD,BC 273 ,BD 3 76，BCD的面积为S3（、2 、.3）ABC为锐角.(I)求 ABC .试题分析：（I）在 BCD中，由三角形的面积公式可求得CBD ,再利用余弦定理求出CD ; ( I)由正弦定理求出sin BDC和cos BDC ,根据题意AC 平分 BAD , CADBA"BCD 中,ACD和ABC中分别写出正弦定理，得出比例关系，求出 ABC.37 / 24解：在 ABC 中，S 3 械“ 1BD BC sin BCD

20、. 221因为 BC 2有 BD 3 J6，所以 sin CBD -.因为 ABC为锐角，所以 CBD 30 .在 BCD中，由余弦定理得 CD2 BC2 BD2 2BC BD cos CBD2.3 2 3、,6 2 2 2.3 3 .6 -9所以CD的长为3.(II)在BCD中，由正弦定理得sin BDCsin CBD即一”!3,解得 sin BDC sin BDC sin303Q BC BD , BDC也为锐角cosBDCACD中，由正弦定理得AC3cos BDC sin CADABC中，由正弦定理得ACsin ADCsin ABCsin CADsin BACAC2.3sin ABCsin

21、 BACQ AC平分 BADCAD BAC由得sin ABCcos BDC32.3,解得sinABC因为 ABC为锐角，所以 ABC 45B C5.12020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在3asinC 4ccosA;2bsin V5asinB这两个2条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题在VABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知, a 3v2 .(1)求 sinA;(2)如图，M为边AC上一点，MC MB, ABM ,求VABC的面积 2【思路引导】(1)结合正弦定理，条件选择3asinC 4ccosA,则3sinAsinC 4sinCcosA,再利用公式

22、sin2 A cos2 A 1 求 sin A ;A =右选择条件，由正弦th理和诱导公式可得2sinBcos J5sinAsinB ,再根据二倍角公式求得2.A1AAsin ,再根据 sin A 2sin cos一求解.2.522(2)解法1：设BM MC m,在ABMC中由余弦定理，解得4m J5 ,再由(1) sin A -,解得 AB 5边长，最后求得到 ABC的面积；解法2：由MB MC可知，sin2c sin A2据正弦定理和面积公式S abc45 八 45sinCcosC sin 2C .44解: 解:若选择条件，则答案为 (1)在 VABC 中，由正弦定理得 3sinAsinC

23、 4sinCcosA,因为 sinC 0,所以 3sinA 4cosA,9sin2A 16cos2A,24所以 25sin A 16 ,因为 sinA 0,所以 sinA=一.5(2)解法 1:设 BM MC m,易知 cos BMC cos BMA sinA在 BMC中由余弦定理得：182m22m2所以SVBMC12 .m sin 2BMC在 RtVABM中,sinA 4,BM 5, 5ABM所以AB3框,所以SVABM415一,8所以SvABC15 27解法2:因为MBMC ,所以MBC因为ABM 一,所以 A2-,22A,所以 sin2c sin A2cosA因为A为锐角，所以sin2c

24、cosA又b sin Bsin Casin A15x24所以b色sinB,c区IsinC, 41 .所以 S7ABebcsin A2sinC4竺sin - C sinC 4245sinCcosC 竺sin442C278若选择条件，则答案为B CA . _(1)因为 2bsin V5asinB ,所以 2bsin V5asinB ,22A _ 由正弦te理得 2sinBcos J5sinAsinB ,2A-A- AA因为 sinB 0,所以 2cos- 75sinA, cos而sincos, 2222一， A 八 .A 1因为 cos 0 ,所以 sin j=, 225 A 2A A贝U cos

25、 =,所以 sin A 2sin cos 2,522(2)同选择6.12020届广东省韶关市高三上学期期末调研】DB ,设 DAB如图，在平面四边形 ABCD中，AD 1,AB 2,BC CD(1)若2-,求 sin ADB 的值;3(2)用 表示四边形ABCD的面积S(),并求S()的最大值.【思路引导】(1)由余弦定理得 BD ,再由正弦定理求得结论；(2)同(1)由余弦定理表示出 BD ,求出两个三角形 ABD和 BCD的面积，可得S(),再由三角函 数的公式变为一个角的一个三角函数形式，然后可得最大值.解：(1)在 ABC 中，由余弦定理知 BD2 AD2 AB2 2AD ABcos

26、BAD由已知 AD 1,AB 2, DAB 一3代入上式得：BD2 1 4 27,即BD 币又由正弦定理得:ABsin ADBsin DAB即：sinADB,2 ，解得：sin ADB sin3(2)在ABC中，由余弦定理知2BD2 11 2 cos5 4cos2 sin 透45 4cossin-、3cos5.342sin5 3一(04所以故 Smax5.32 47.【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知a,b,c分别为 ABC三个内角A, B,C的对边，且2222b c a accosC c cos A.(1)求 A;(2)在 ABC中，BC J3,D为边AC的中点，E为AB

27、边上一点，且DE AC , DE 逅，求 ABC 2的面积.【思路引导】(1)由余弦定理得2bcosA acosC ccosA,再由正弦定理得 2sin B cos A sin( A C),进而得cosA1 -2,即可求解(2)在Rt AED中，求得ADJ2,再ABC中由正弦定理得B 一,结合三角形的面积4公式，即可求解解：(1)由余弦定理有 2bccos A ac cosC c2 cos A,化简得 2bcosA acosC ccosA ,由正弦定理得 2sin B cos A sin A cosC cosCsin A sin( A C)A B C , 2sin B cosA sin B ,

28、1 一一一0 B , sin B 0, cosA 一 ,又由 0 A , A .23(2)在 AEC中，D为边AC的中点，且 DE AC ,在 Rt AED 中，DE ，6 , A 一,所以 AD , AC 72， 232ACABC中由正弦定理得sin BBC 口25,得 sin B ,B , C sin A24121所以 S abc -AC BCsinC23_348.1内蒙古呼和浩特市 2019-2020学年高三上学期质量普查调研】1 cos(1)当 k k z 时，求证： tan- ；2 sin(2)如图，圆内接四边形 ABCD的四个内角分别为 A、B、C、D.若AB 6, BC 3, C

29、D 4, AD 5.A , B , C , D 求 tan tan tan tan的值.2222【思路引导】(1)根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明(2) ABCD为圆的内接四边形可知 sin Asin B sin D , cosAcosC, cosB, 2cosD，由(1)结论原式可化为sin A2，连接 AC、 sin BBD y由余弦定理即可求解.解:、1 1(1)证明-cos1 cos2 - 2sintan.sin2 一 22sin cos(2)因为ABCD为圆的内接四边形,所以 sin A sin C , sin Bsin D , cosAcosC , cosBcosD

30、,由此可知:B,C,Dtan tan 2221cosB1 cosC1 cosDsinC+ A + tan tan21 cosAsin A 2sin B 2sin Dsin Asin B连接AC、BD ,设ACBDy由余弦定理可得:cosA。 2 5，cosC解得x281919，2 247八 3y ，那么 cosA , cosB772 6 3cosD2 541,sin A 192 10sin B6 1071922所以原式9.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，锐角 ABC中，AC 5J2，点D在线段BC上，且CDACD的面积为6娓BA至E ,使得EC BC .(l)求AD的值;

31、42(D 若 sin BEC ,求 AE 的值. 3【思路引导】(I)在ACD中，由面积公式得sin ACD还，进而得cos ACD 51 人 一,再由余弦定理求解即可;5(i)由EC BC ,得 sinACEsin 90ACD cos ACD15'在AEC中，再由正弦定理求解即可解:(I)在ACD 中，S ACD1AC 2CD sinACD 1 5/2 3/22sinACD 6, 6.所以sin因为0ACD 90 ,所以 cosACD .12/6 2由余弦定理得 AD2 CD2 CA2 2 CD CA cos ACD56 ，得 AD2、14.(I)因为 EC BC ,所以 sin A

32、CEsin 90 ACDcos ACD在 AEC中，由正弦定理得AEACsin ACEsin AEC 'AE 5 22 ，所以AE3210.【北京市房山区 2019-2020学年高三上学期期末】如图，在平面四边形 ABCD中,AB(1)求 sin BDC 的值;(2)求BD , AD的值.【思路引导】BC, AB 3J3, CD 3, sin DBC 33 , 14(1)由同角三角函数基本关系得cos13DBC 一，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可 14(2)利用正弦定理得BD 7,再利用余弦定理求解解：(1) sinDBC3.3142 2sin DBC cos DBC 1,0 DBC,cos DBC 21314在4BDC中,DBCC BDC sin BDCsin( DBC C)sin DBCcosCcos DBC sinC3.3 113 .314 2 14 2(2)在 ABDC 中,由正弦定理得sin DBCBDsinCBD即 3,3314解得BD 7, ABDDBC , sin2DBC晅, . cos ABD 143 3,14在 ABD 中，AB根据余弦定理，AD2 AB22_BD 2AB BDcosABD(3、3) 2 7223.3 73.3 4914解得AD 711.12020届福建省龙岩市高三