2020-2021学年天津市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

1、天津市高考数学三模试卷（理科）、选择题（每题5分，共40分）一 、,“r 1 + S复数Z满足一二i （i为虚数单位），则团等于（）A.2 B. . ; C. _ D. 12.若实数x, y满足条件:x 一y则的最大值为（A.3）口0 B.近 C. 273 D.设命题 P： ? nC N, n2>2n,则P 为（4.S的值为（）A.? n N, n2>2nB. ? nC N, n2w 2nC. ? n N, n2< 2nD.? n N, n2=2n5.如图，在直角 ABC中，ABXBC, D为BC的中点，以AB为直径作圆O,分别交AD于E, F,若 AF=3, FD=1,贝U

2、 AE 等于（点nB.D. . J6 .已知双曲线 C的左右焦点分别为 Fi、F2,且F2恰为抛物线y2=8x的焦点.设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若 AF1F2是以AFi的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A. 1+ . ；B. 1+ . ：C 卜羽 D.：7 .已知 f （x） =2x+2 x, f （m） =3,且 m>0,若 a=f （2m）, b=2f （ m） , c=f （m+2）,贝U a, b, c的大小关系为（）A. c< b<a B. a<c< b C. a< bvc D. b< a< c8 .已知y=f （x

3、）是定义在 R上的奇函数，且f （x） = ,",当函数y=f （x0, - Kx<o-1） - - k （x-2）（其中k>0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A. （0, 6-历） B. （6-技，2->/2） C. （j, 6-标）D. （y , 2 - V2）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 1X3 局:）5的展开式中x8的系数是 （用数字作答）.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位 cm）,则该几何体的体积为 cm3.12.如图，在边长为>1V11.在极坐标系中，点A的极坐标是（1,兀），点P是曲线C: p=2sin 0上的

4、一个动点，则|PA|的取值范围是1的正方形OABC内取一点M,则点M恰好落在阴影内部的概率为 13 .在 ABC中，A=p-, AB=2, B的角平分线 BD=/3,则BC的长为14 .在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，直丽二入标，而jDC,贝U研?BN的最/、值为三、解答题(本题共6题，共80分)15 .已知函数 f (x) =sin (x 3：)sinx VScos2x, xC R.(1)求函数f (x)的最小正周期和最大值；冗 9 JT(2)求函数f (x)在丁，=上的单调区间. 6 |3 116 .某商场五一期间搞促销活动， 顾客购物满一定数额可自愿进行以下

5、游戏， 花费10元从1, 2, 3, 4, 5, 6中挑选一个点数，然后掷骰子 3次，若所选的点数出现，则先退还顾客 10元，然后 根据所选的点数出现的次数， 每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现， 则10元不再 退还.(I )某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；(n)计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望.17 .如图，在三棱锥 P- ABC中，PA，底面 ABC,点D, E分另在棱 PB、PC上，PA=AB=2, / ABC=60°, / BCA=90°,且 DE/ BC.(I )求证：BC,平面PAC;(n)当点D为PB的中点时，求 AD与平面PAC

6、所成角的正切值；(m )是否存在点 E使得二面角A- DE- P为直二面角？并说明理由.K V18 .设椭圆E的方程为一亍+f=1 (a>b>0),点。为坐标原点，点 A的坐标为(a, 0),点B a b10的坐标为(0, b),点M在线段AB上.？t足|BM|二2|AM|,直线0M的斜率为(1)求椭圆的离心率;(2)设点C的坐标为(-a, 0), N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为求椭圆E的方程.19 .已知数列an和bn满足a&-2门=(/2) 工，n N ,若4为等比数列，且 a二2, b3=6+b2.(I )求为及数列bn的通项公式；,、111*

7、(口)设 酬二h-L，nC N ,记数列g的前n项和为Sn， % Dn求Sn；(ii)若Sk> Sn恒成立，求正整数 k的值.20 .已知函数f (x) =x2+ax+1, g (x) =ex (其中e为自然对数的底数).(I )若a=1,求函数y=f (x) ?g (x)在区间-2, 0上的最大值；(口)若a=- 1,关于x的方程f (x) =k?g (x)有且仅有一个根，求实数k的取值范围；(出)若对任意的xnx2 0, 2, 4wx2,不等式 |f(xj- f(x2)|v|g(xj- g(x2)|土匀成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1 +

8、 £1 .复数z满足二i (i为虚数单位)，则|z|等于()1 - zA. 2B. . ; C. . ' D. 1【考点】复数代数形式的乘除运算.z,代入复数模的公式得【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 答案.【解答】解：-.1-工=i，,1+z=izi,贝U ( 1+i) z=T+i,.-1+i t-l+i) (1 - D 一 2二二， , 、-1,1+i(1+i) Cl - D ，1. |z| = 1.故选：D.g - y4。2.若实数x, y满足条件:X -3v+2>0 ,则芯的最大值为(A. 03）口B. Vs C. 23 D.【考点

9、】简单线性规划.【分析】设z=Jj工+弘 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结 合进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设 z=/5k+v,则 y= - V3x+z,平移直线y=-V3x+z,则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时 z最大,遂或一尸0父二1由1-心产后 SPA(1此时 z=/lM+f§=2/,故选：C3 .阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为（）【考点】程序框图.【分析】根据已知的程序框图可得， 该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解.【解答】解

10、：模拟程序的运行过程，可得S=0, n=3执行循环体,4 M=-C，4 C ， C,S=log=2-log23,不满足条件SCQ,执行循环体,不满足条件SCQ,执行循环体,n=4,n=5,M= , S=log2-+log匠=log25 log23,6M=5,S=log2-+log窗 +log* =log26 - log23,不满足条件SCQ,执行循环体,n=11, M=1|, S=log2l2-log23=log24=2,满足条件SCQ,退出循环，输出 S的值为2.故选：D.4 .设命题 P： ? nC N, n2>2n,则P为（）A.? nCN,n2>2nB. ? nCN,n2w

11、 2nC.?nCN,n2<2nD. ?n N,n2=2n【考点】命题的否定.【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 P: ? nC N, n2>2n,则P为：？ n N, 22 2n.故选：C.5 .如图，在直角 ABC中，ABXBC, D为BC的中点，以 AB为直径作圆 O,分别交 AC、AD于点 E, F,若 AF=3, FD=1,贝U AE 等于（）B.；D. - J【考点】与圆有关的比例线段.【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得 BD=2,再由勾股定理，求得 AB, AC的值,2再由切割线定理，可得 CB

12、=CE?CA,即可得到所求值.【解答】解：由 AB± BC,可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF?DA,2由 AF=3, FD=1,可得 BD=1X Q+3） =4,解得BD=2,在直角三角形 ABD中， AB=Ja02即2=4 2 2=2/3,在直角三角形 ABC中，acJab2 +BC 412+16 =MV,由BC为切线，可得 CB2=CE?CA即有16= （24-AE） ?2阮解得ae基工.| T故选：B.6 .已知双曲线 C的左右焦点分别为 Fi、F2,且日恰为抛物线y2=8x的焦点.设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若 AF1F2是以AFi的底边的等腰三角形，则

13、双曲线C的离心率为（）A. 1+ . ；B. 1+ . !C 卜羽 D.：【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线 c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及AF1F2是以AFi为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率.【解答】解：抛物线的焦点坐标（2,0）,所以双曲线中，c=2,因为双曲线C与该抛物线的一个交点为 A,若 AF1F2是以AE为底边的等腰三角形，工由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c,ac2=a2+b2=4,解得a=2+/，双曲线的离心率 e=1+/.a故选：B.7 .已知 f (x) =2x+2

14、 x, f (m) =3,且 m>0,若 a=f (2m), b=2f ( m) , c=f (m+2),贝U a, b, c的大小关系为()A. c< b<a B. a<c< b C. a< bvc D. b< a< c【考点】函数的值.【分析】可得f (m) =2m+2 m=3, 2m>2,从而化简比较大小.【解答】解：= f (m) =2m+2 m=3, m>0,.-2m=3- 2>2,b=2f ( m) =2 >3=6,a=f (2m) =22m+2-2m= (2m+2m) 2-2=7,c=f (m+2) =2m+

15、2+2 m 2=4?2m+L2 m>8,b< a< c;故选D.(Cr+2 V2 - 1- 18 .已知y=f (x)是定义在 R上的奇函数，且f (x) = ,',当函数y=f (x-D - -k (x-2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是()A. (0, 6-V30) B. (6-点，2-&)C.春，6-我)D. (y , 2-6)【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理.【分析】画出函数 y=f(x-1)的图象，可得y=k (x-2)4与y=f(x-1)的图象最多有5个交点，即函数y=f(x-1) -y -

16、k (x- 2)至多有5个零点，求出函数图象交点为 4个时的临界值， 可得答案.【解答】解：: y=f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x) =,0, - 1<1<0，函数y=f (x-1)的图象如下图所示:y=k (x 2)+亍表示过(2，)点斜率为k的直线,由图可得：y=k (x-2) +*与y=f (x- 1)的图象最多有即函数y=f(x-1) k(x-2)至多有5个零点，当卜二/时，直线y=k (x-2)看过原点，此时y=k (x 2) + *与y=f (x1)的图象有4交点，即函数 y=f (x 1) - - - k (x 2)有4 个零点；当k=6-力拓时，直线y=

17、k (x-2) +与y=f (x- 1)的图象抛物线部分相切，此时y=k (x-2) +*与y=f (x-1)的图象有4交点，即函数y=f (x-1) - - - k (x-2)有4 个零点；故当函数y=f (x- 1) -y- k (x- 2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时，ke (工 6-/30),故选：C.二、填空题(每小题5分，共30分)9 .(工3琮1)5的展开式中x8的系数是_二_ (用数字作答).【考点】二项式定理.【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的哥指数等于8,求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数.117工【解答】解：由于(J+京)5的展开式的通项公

18、式为Tr+1=Cg?E?J5-长，令15-朗=8,求得r=2,故开式中x8的系数是Ci=?j=77，故答案为：y.2兀10 . 一个几何体的三视图如图所示(单位 cm),则该几何体的体积为6/3+ cm3.V【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱.设底面正三角形的内切球的半径为r,则r=/5tan3 0" .利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式.【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱. 设底面正三角形的内切球的半径为r,则r=/5tan3 0 =1.3.该几何体的体

19、积=yX Xi3+x (273)x-=-+6/3. 9兀故答案为：6/3-.11 .在极坐标系中，点 A的极坐标是(1,兀)，点P是曲线C: p=2sin 0上的一个动点，则|PA| 的取值范围是V2+U_.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】点A的极坐标是(1,叽 化为直角坐标 A ( - 1, 0).曲线C: p=2sin 0,即p2=2psin。, 把y=psin。，P2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程.可得圆心 C,半径r.即可得出|PA|的取值范围 是|CA| -r, |CA|+r.【解答】解：点 A的极坐标是(1,兀)，化为直角坐标 A( - 1, 0).曲线C:p=2sin

20、 0,即p2=2psin 0,化为直角坐标方程：x2+y2=2y,配方为：x2+(y-1)2=1.可得圆心C (0, 1),半径r=1 .则 |CA|二.二则|PA|的取值范围是& 7, 641.故答案为：诉-1，V2+U .34【考点】几何概型.12 .如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M,则点M恰好落在阴影内部的概率为【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积, 再根据几何概型概率计算公式易求解.【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1M=1,而阴影部分的面积为 =H = -：,-'-=-：/ IA4，在边长为1的正方形O

21、ABC内取一点M,点M恰好落在阴影内部的概率为二 I故答案为：与.2 ju13 .在 ABC中，A-, AB=f2, B的角平分线 BD=J3 ,则BC的长为_避 【考点】余弦定理.【分析】在4ABD中使用正弦定理求出/ADB,得出/ ABD,从而得出/ ABC, Z ACB,再在 ABC中使用正弦定理计算 BC.【解答】解：在 ABD中，由正弦定理得 解得 sin/ ADB=6 . / ADB=45 , Z ./ C=30°,- t 一AB BC 在AABC中，由正弦定理得 =故答案为：叵.Er/ADB-T 即Sin/ADE 重 2ABD=15°, /ABC=30

22、6;.V2 BC,即工解得bc=/&.2 214 .在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且BH = BC，丽DC,贝u M?BN的最/、值为【考点】平面向量数量积的运算.【分析】建立平面直角坐标系，求出顺?BN关于入的函数，利用基本不等式得出最小值.【解答】解：以 CB, CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图:4入+1 ).贝U A (2, 2), B (2, 0) , M (2 - 2 入，0), N (0, 2 -O= (- 2 入，-2),百5二 (- 2,AH?BN=4X-=4 1+1 +4当且仅当4入+1二5五即入=一时取故答案为：-1.XI三、解答题

23、(本题共6题，共80分)15.已知函数 f (x) =sin (x3月 2)sinx- J3cos2x, xC R.(1)求函数f (x)的最小正周期和最大值;五(2)求函数f (x)在卜丁,1 6三一上的单调区间.三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.(1)由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f(x),由此得到最值与周期.f (x)解析式得到单调增减区间，由此得到在上的单调性.解：(1) f (x) =sin (x 一3万2)sinx - V3cos2x,=cosxsinx- - "cos2x=-sin2xcos2x=sin (2x 1- f (x)的最小正周期为 丁

24、二兀,f ( x)的最大值为1 -(2)由(1)可知，f (x)在-上的单调递增,在而【第I 12?运 1F,匣 12，?5 兀11K12，12 函数f (x)在 5兀上的单调递增，在喘上的单调递减.5兀 11兀，心乂 乂上,不一上的单调递减,16.某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1, 2,3, 4, 5, 6中挑选一个点数，然后掷骰子 3次，若所选的点数出现，则先退还顾客 10元，然后 根据所选的点数出现的次数， 每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现， 则10元不再退还.(I )某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；(n)计算顾客在此游戏中

25、的净收益 X的分布列与数学期望.离散型随机【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率;变量及其分布列.【分析】（I ）设 顾客所选噗数出现”为事件A,顾客所选点数不出现”为事件B,由事件A与 事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率.（II）依题意，随机变量 X的所有可能取值为-10, 10, 20, 30,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）.【解答】解：（I ）设 顾客所选噗数出现”为事件A,顾客所选点数不出现”为事件B, . 事件A与事件B为对立事件,，该顾客获奖概率为P (A) =1- P (B) =1-(曰)3=.0Z1匕（n）依题意，随机

26、变量 X的所有可能取值为-10, 10, 20, 30,-3 -P（X=T。）=噌）3P（x=10）=，；）得）号p（X=2。）式式卷Vm*,、1.31p（X=30）=（予X的分布列为:X - 101020p p .： ：.：.E (X) =F； - LO) X 圣|"+101一二17.如图，在三棱锥 P- ABC中，PA，底面 ABC,点D, E分另在棱 PB、PC上，PA=AB=2, / ABC=60°, / BCA=90°,且 DE/ BC.（I ）求证：BC,平面 PAC;（n）当点D为PB的中点时，求 AD与平面PAC所成角的正切值；（m ）是否存在点

27、E使得二面角A- DE- P为直二面角？并说明理由.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】（I）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC，平面PAC.（II）求出平面PAC的一个法向量，设 AD与平面PAC所成角为0,则sin 9=|cos< AD , n >|,由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值.一 一 日卜 3 X 、（出）设存在点E,且PE二FC二（戈一，2一.-2人），求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E6_ 6_T 7）,

28、使得二面角 A - DE- P为直二面角.,0), P (0, 0, 2),，2C=(，一,0），PA=（0，0，2）,【解答】证明：（I ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系,则 A (0, 0, 0), B (0, 2, 0), C设平面PAC的一个法向量为 n= （x, v, z）,n*PC = 0唐芳尸。2x=0.BCL平面 PAC.=n,BC / n,解：（n）d 为 PB 的中点，D （0, 1, 1）, AD= (0, 1, 1),平面PAC的一个法向量为n= （6， -1，0）,设AD与平面PAC所成角为0,则 s

29、in O=|cosv AD j n> |=|AD |- |n|=7AD与平面PAC所成角的正切值为 .7（ni）设存在点 E,且 pe; 入 PC三（，*， - 2 k ）,则 PD=汇 PB= （0.2 入，-2 1），E （，1 9, 2-2卜），D（0, 2 入，2-2 入），入 e£j»L，2- 2X ）,而=C ,嗡,0）,.3 zk/3 3X ，二（rZ 2设平面ADE的一个法向量为rr= （a，b，c），m AE=a+ 21 b+ （2 - 2 入）c= 0m*DE- a " -b-0y取y=1 ,得7=（停设平面PDE的法向量p= （xi,

30、yi, zi）,P *PE= 卜叼+华- 2 X立产。,取得三=（半，1，1）, 二面角A- DE- P为直二面角，.，曰=坐+ % =o,解得人碧E（°，1）, J J 凡一1f 存在点E （二半，£）,使得二面角A - DE- P为直二面角.18.设椭圆E的方程为片+5=1 （a>b>0）,点。为坐标原点，点 A的坐标为（a, 0）,点B1C的坐标为（0, b）,点M在线段AB上.？t足|BM|二2|AM|,直线0M的斜率为 （1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（-a, 0）, N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为求椭圆E的方程.【考

31、点】椭圆的简单性质.【分析】（I）由题意M （年，4）,从而得a=<5b,由此能求出椭圆的离心率.（D ）由a="b,得直线AB的方程为 请/年=1,由B（0，C（-点b, 0）,得N.,13,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（xi,），由此能求出椭圆 E的方程.【解答】解：（I ） ,椭圆E的方程为&r+=1 （a> b>0）,点。为坐标原点，点 A的坐标为 （a, 0）,点B的坐标为（0, b）,点M在线段AB上.满足|BM|二2|AM|,直线0M的斜率为会一，2a b、- m （彳y）,整理，得 a=v' 5b, .二 c相石-一 b&qu

32、ot;=2b,，椭圆的离心率（n ）由（I ）得a=/b,则直线AB的方程为由 B （0, b）, C （-而b, 0）,得 N （ 一y）,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（xi,由线段NS的中点T的坐标为（红.2-芯 b *13、4 寸）,.点T在直线 AB上，且kNs?<AB= - 1,町_瓶b b _ 13244 )Vst k=4.20.已知函数f (x) =x2+ax+1, g (x) =ex (其中e为自然对数的底数).(I )若a=1,求函数y=f (x) ?g (x)在区间-2, 0上的最大值；(n )若a=- 1,关于x的方程f (x) =k?g (x)有且仅有一个

33、根，求实数k的取值范围；(出)若对任意的x1,旭60, 2,万金泡，不等式|f(x1)- f(x2)|v|g(x)- g (k)|均成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单 调性. b解得工广一 "s b=3 ,二 a=3s,22椭圆E的方程为二+J=1.45 919.已知数列an和bnW足ai&an=(近) %, nC N ,若4为等比数列，且 a1二2, ba=6+b2.(I )求4及数列bn的通项公式;* 、， 一 一、,n N ,记数列g的刖n项和为Sn.求Sn；(ii)若Sk> Sn恒成立，

34、求正整数 k的值.【考点】数列的求和；数列与不等式的综合.【分析】(I)设等比数列4的公比为q,由b3=6+b2.可得ba- b2=6.由数列an和bn满足aan=(正)nC N*, n>2时，利用递推关系可得：an=(Jl)bL7 ,可得aa=(&)% -%.=8.利用等比数列的通项公式可得Sn.进而得到bn.I i I UJUJ I i i j i、(n ) ( i) cn= 工9 -口予(在一二)，利用等比数列的前n项和公式及其 裂项求和”方法可得数列cn的前n项和为Sn.,、 I 1 LD ii (ii) nW4时，cn>0.当n> 5时，。=口/门+1) L

35、1<0,即可得出.【解答】解：(I)设等比数列4的公比为q,. b3=6+b2. . .b3-b2=6.,数列sn和bn满足 aia2an=(6)",n N*,.,.n>2 时，a1a2 1= (J” * 11 - i ,可得：3n=1a3=1)* "=(加)6=8.又 ai=2, . 8=2q；解得 q=2 (-2 舍去).an=2 >2n-1=2n.(6)-=2i+2+n_宜由+1)2bn=n (n+1).数列g的前n项和为Sn=(n)丽7+一哈一吉12n一门一n+1n+1 2n(ii) Ci=0, C2=24'C4=2420 SO当 n > 5 时，Cn=n(n+l)(nH)(n+2)C2-n) (n+1) .Cn<0.若Sk> Sn恒成立, 1【分析】(I)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可;R J X+1 =se只有一个根，令h (x)=,可得 h (x)极大=h