4.3三角函数的图象与性质-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

1、§ 4.3 角函数的图象与性质基础落实回扣甚祀犯或训绯基谢题目F知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y=sin x,xC 0,2冏图象中，五个关键点是：(0,0),g1 ,( ) 0), 至一1 ,(250).(2)在余弦函数y=cos x,xC 0,2柏勺图象中，五个关键点是：(0,1),2,0 ,( j 1), 芋 0 ,(2又1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kCZ)函数y= sin xy= cos xy=tan x图象y n 1 F1¥-d LLlrJV定义域RR一，工x xw k 7t+ 2值域-1,1-1,1R周期性2兀2兀

2、_K奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间兀 c,，兀2kL2, 2k%+ 22k兀一二2k耳.Jt . JtkL 2， k 兀+ 2递减区间_兀 c, , 3 Tt2k什12k兀+ 2k再2k升日无对称中心(kTt, 0)兀 ck兀+ 2, 0k兀c a 0对称轴方程、，1.1 兀x= k Ttd2x= k兀无【概念方法微思考】1 .正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期.2 .函数f (x) = Asin( 3 x+ MAW0, coW0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么

3、？一. 兀提木(1)f (x)为偶函数的充要条件是(j)= 2+kTtkC Z)；(2)f (x)为奇函数的充要条件是 kTtkC Z).r基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或"X”)(1)y=sin x在第一、第四象PM是增函数.(乂 )(2)由sin2T = sin £知，穹是正弦函数y= sin x(xCR)的一个周期.(x )6363正切函数y= tan x在定义域内是增函数.(x )(4)已知 y=ksin x+1, x C R ,则 y 的最大值为 k+1.( X )题组二教材改编一兀一一 I 一一 一I I2 .函数f (x)= co

4、s 2x+4的取小正周期是答案 冗3 - y=3sin 2x-6在区间°，2上的值域是答案Eq- 、r, L兀m c兀L兀 5兀斛析 当 xe 0, 2 时，2x6 6,c兀尸1dsin2xoC- -,1 ,62一 一兀一 3 _故 3sin 2x三 C - -, 3 , 62即y=3sin 2x-6在0, 2上的值域为 -3, 3 .4 .函数 y= tan 2x 32c的单调递减区间为 .心. 兀 k 71 5 Tt k Tt答案 5+不，7+7（底2） 8 282解析由2t + k兀 <%隈2+ kitkC Z）,得弄 k7<x<5T?+ 既kC Z）, 8

5、282所以y=tan 2x竽 的单调递减区间为（+ kr, 5"十 了（kCZ）.48 282题组三易错自纠5 .（多选）下列函数中，最小正周期为兀的是（）A. y=cos|2x|B. y=|cos x|C. y=cos 2x+D. y= tan 2x64答案 ABC解析 A项，y = cos |2x|= cos 2x,最小正周期为 历B项，由图象知y=|cos x|的最小正周期为历C项，y= cos 2x+ 6的最小正周期T = =兀；D项，y= tan 2x4的最小正周期 T= 2.兀6.(多选)已知函数f (x)=sinx 2 (xC R),下列结论正确的是()A.函数f (x

6、)的最小正周期为2兀-、兀 一一一B.函数f (x)在区间0, 2上是增函数C.函数f (x)的图象关于直线x=0对称D.函数f (x)是奇函数答案 ABC解析由题意，可得f (x) = cos x,对于选项A, T= Y= 2为所以选项 A正确；对于选项B, y=cos x在0, 2上是减函数，所以函数 f (x)在区间0, 2上是增函数，所以选项 B正确；对于选项C, f ( -x) = - cos(-x) = - cos x= f (x),所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x= 0对称，所以选项C正确；选项 D错误.故选 ABC.7,函数 y= sin x 4 的对称轴为 ,对称中心为

7、 .答案x=乎+ ku, kCZ/ + ku, 0 , kCZ解析 由 x 4=2+ k 5卜62,得*= 34 ku, kC Z ,由 x j = k %, k Z ,得 x=； + ku, k C Z.故函数y = sin x4的对称轴为 x = 3- + ku , kC Z ；对称中心为4+ ku, 0 , kC Z.I 4 I题型突破典盟深宣剖析中点密维探究题型一三角函数的定义域和值域.一.一.x 兀例1 (1)函数y = 2sin - (0<x< 9)的最大值与最小值之和为()63A . 2 m B. 0 C. - 1D. - 1-V3答案 A解析因为owxw9,所以一3

8、0 6-30 6-,所以sin 卫 3 w 1,则<3wyW2.所以 ymax+ymin = 2 J3.(2)函数y=sin xcos x的定义域为 .、兀5兀答案 2kjt+ 4, 2k 兀+ (k Z)解析要使函数有意义，必须使sin x- cos x>0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2±y=sin x和y= cos x的图象，如图所示.在0,24内，？t足sin x=cos x的x为4 芋，再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函数的定义域为x 2k兀+4 xW2kjt+kCZ44当xC 6, g时，函数y= 3-sin x- 2cos2x的值域为 .答案7,

9、 28解析因为xC7r ,所以sin xC -1, 1 .662又 y= 3 sin x- 2cos2x= 3-sin x- 2(1 sin2x)=2 sin x ： 2+ 1 481-717 _所以当sinx=4时，ymin=8，当sinx=-2或sinx=1时，ymax= 2.即函数的值域为g, 2 .(4)(2018全国I)已知函数f (x)=2sin x+ sin 2x,则f (x)的最小值是 .答案-乎解析 f' (x) = 2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x 1)=2(2cos2x+ cos x 1) = 2(2cos x 1)(cos x + 1

10、). cos x+ 1 >0,1 一，当 cos x<2时,f (x)<0, f(x)单倜递减;1当 cos x>2时，f (x)>0 , f (x)单倜递增， 当cos x= 1时，f (x)有最小值.又 f (x) = 2sin x+ sin 2x= 2sin x(1 + cos x),且当 cos x= J时，sin x=43,当sin x=当时，f (x)有最小值，即 f (x)min=2X 乎 X 1+2 =-323.思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为 y= Asin(x+昉+c

11、的形式，再求值域(最值).(2)形如y= asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设 sin x= t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asin xcos x+b(sin x± cos) + c的三角函数，可先设t=sin x± cox，化为关于t的二次函数求值域(最 值).(4) 一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.跟踪训练1 (1)已知函数f (x)=sin x+/，其中xC ，a ,若f (x)的值域是 一1, 1 ,则实数a的取值 632范围是.答案 3,兀L兀.兀L兀，兀斛析 . xC 3, a , . x+ 6

12、- 6，a + 6，,当x+：C 日时，f(x)的值域为 一1, 1 ,66 22.由函数的图象(图略)知，2w a + 6w3，兀a<3 a (2)函数 y = sin x cos x+ sin xcos x 的值域为 答案一事11 F L斛析 Tt = sin x cos x,贝U t2 = sin2x+cos2x2sin x - cos , sin xcos x = -2-,且一 V2wtw6.y=-22+1+2=-1(t-1)2+1, te -#, V2.当 t= 1 时，ymax= 1 ；当 t=一寸2时，ymin= 2二函数的值域为二十泞1题型二三角函数的周期性与对称性1 .

13、下列函数中，是周期函数的为()A. y=sin |x|B. y= cos x|C. y = tan |x|D. y= (x 1)0答案 B解析 cos xi = cos x, y= cos |x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2 .若函数f (x) = 2tan kx+3的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为答案 2或3解析 由题意得1<y<2 , kC N, k ''.兀一一，、一 - 2<k< %, kCN,，k=2 或 3.x 兀，一一，一，、一3,函数y= tan 5+鼻的图象的对称中心是 .2 3答案 kLy，0 ,

14、kCZ 3解析由X+白MkC Z), 2 3 2得x= k兀一刍k Z), 3即其对称中心为 ku-刍0 , kC Z. 3 .一.I 兀， 一一 一 ，兀，、4. (2020无锡倜研)已知函数f (x) = sin(x+昉3>0,1也的取小正周期为 4兀，且？ xC R有f (x)wf 3成 立，则f(x)图象的对称中心是 ,对称轴方程是 .答案2kTt 77, 0 , kC Z x=2kjt+T，kCZ3 31斛析 由f (x)= sin( 3 x+昉的取小正周期为 4 Tt,得3= 2.因为 f (x)wf :恒成立，所以 f (x)max=f -即 1x9+4=5+ 2kTt,

15、kCZ, 332 32又IM，所以 4=；,故 f (x)=sin 2x+；.令 1x+：= kTt, kCZ,得 x= 2kL誓，kCZ, 233故f (x)图象的对称中心为2kL芬 0 , kCZ.3人1 兀兀zt,兀令 2x+3=kTt+ 2, kCZ,得 x = 2kTt+ 3, kC Z,故f (x)图象的对称轴方程是 x = 2kTt+3，kCZ.思维升华(1)对于函数y=Asin(cox+(f)(Aw0, coW0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义.一一 ， ，、一.，一 1一一，-、， 2兀一

16、一. 利用公式：y=Asin(cox+ 和y = Acos(cox+昉的取小正周期为"一 y=tan(cox+ 的取小正周期为心|题型三多维探究三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间_兀 .(1)函数f (x)= sin -2x+-的单倜递减区间为 3答案解析. 兀,5 兀，< )kit-行，k兀+12 ， kC Zf (x) = sin 2x+才=sin 2x ' 33一_ c兀=Sin 2x-, 3由 2k兀>2x-3< 2kTt+2c, kC Z,得 kL xWkTt+12, kCZ.故所求函数的单调递减区间为。k计3，kJ.(2)函数f (x)

17、= tan 2x+ f的单调递增区间是 3心. k % 5兀 k % ,兀答案T 逶 T+(kZ)解析 由k -2<2*+扣兀+乔6 Z),得 kf * x<k2r+ (kJ),所以函数f (x)=tan 2x+3的单调递增区间为手普浮+若(kC Z).(3)函数y=gsin x+挈cos x xC 0, 2的单调递增区间是 答案。，6 解析 : y= 2sin x+ 坐cos x= sin x+3 ,由 2k 兀一2w x+ 3& 2k 兀+ 邦 C Z),解得 2kL瞑 x<2kTt+6(k Z).，函数y= sin x+3在R上的单调递增区间为2k兀一5&quo

18、t;r, 2kTt+6(kCZ),又xe 0, 2 ,函数的单调递增区间为0, 6.引申探究 -7r.本例(3)中，将xC 0, 2改为xC - tt,小 则函数的单调递减区间是 答案 一国-57 , 啜兀 66.一 一一兀解析 因为y= sin x+- , 3由 2kTt+jw x+齐 2k 兀+ y(kCZ), 232得 2k 兀十 三wx< 2k 兀+ 7r(kC Z), 66所以函数y=sinx+?在R上的单调递减区间为2k7t+, 2卜兀+ 7f (kCZ).366、7又xC 为心所以函数的单调递减区间为国竽，点 兀.66命题点2根据单调性求参数,.一一兀， 兀 一1_.例3

19、已知3>0,函数f (x) = sin w x+ 4在2，兀上单倜递减，则 3的取值氾围是 .-1 5答案2, 4-LI 兀解析由2Vx<兀，3>0,/日3兀 兀兀兀付"2-+ 4<3 x+ 4V 3 兀+X y=sin x的单调递减区间为2k2, 2k%+ 3 , kCZ,3兀 兀、兀 了 +/2+2k%所以kCZ,3兀+4w 竽+ 2k Tt,15解得 4k+ 2< co<2k + 5, kC Z.一，15r 115又由 4k+ 2 2k+ 4W0,kC Z 且 4k+ 2>0, kC Z,得 k= 0,所以 2, 4.引申探究 本例中，

20、右已知3>0,函数f (x) = cos cox+ -在2,兀上单倜递增，则 W的取值氾围是田3 37答案 2，4解析 函数y=cos x的单调递增区间为兀+ 2kTt, 2k可，kCZ,3兀，兀、，c,+ -> 兀+ 2k 52 4贝 UkCZ,3 叶 4< 2k TT,51解得 4k1< co<2k-1, kC Z,一，. 515又由 4k 2 2k- 4 W0, kC Z 且 4k 2>0, kC Z,3 7得 k= 1,所以 3c 2, 4 .思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y = Asin(cox+ 或y=Acos(cox+ M其

21、中3>0)的单调区间时，要视 “cox+ 丁为一个整体，通过解不 等式求解.但如果3<0,可借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练2 (1)y=sin X- cosX的单调递增区间为 .答案 4k 兀一；，4k 兀+ 3 (kC Z).一X TT解析y= 2sin 2-4 ,7rx 万TT由 2kL 22 4W 2k 计 2(kC Z),得 4k 无-2Vxw 4k兀+ 2kC Z).，函数的单调递增区间为 4k兀，,4kjt+ 3 (kCZ).(2)若函数g(x)= sin 2x+2

22、在区间。，a和4a, ?上均单调递增，则实数 a的取值范围是 . 636生 兀 7兀答案6, 24解析由 2kL2& 2x+6w 2kTt+2(k Z),h/口 ，兀一 一 ,，兀一可得。一3wxWkTt+ 6(kCZ),，g(x)的单调递增区间为 kL，kTt+6(kCZ).又函数g(x)在区间0, a和4a,斗上均单调递增，36a 兀-36'4a，!5,课时精练3基础保分练一 e,兀函数 y= tan1一x的定义域是(A.兀-4,. 兀B. x xw 4C.兀.一xwkjt+ 4 kC ZD. x xwg 3j5 kC Z答案解析7171y= tan 4 x = tan x

23、 4 ,xj W2t+ ku kCZ),得 xw kTt+ 乎(kCZ).故选 D.2. (2018全国出)函数f (x) =an1 tan2x的最小正周期为(兀A.4答案sin解析tan xcos xsin xcos x,sin2x cos2 x+ sin2x1 + cos2x=sin1 . cxcos x= 2sin 2x,所以f (x)的最小正周期T = 2jt=兀.2兀，一.、一兀，一 D I 公、，3 .函数f （x） = sin 2x 4在区间0, 2上的取小值为（）A“ c,22 c cA. - 1 B. 2 C. 2 D . 0答案 B4，3f，所以 sin 2x-4。E1 2

24、, 1 ,故函数 f (x) = sin 2x4 在.一一.兀 .一TT解析 由已知xC 0, 2 ,得2x-区间0, 2上的最小值为一乎.故选B.4 .函数y= tan x+ sin x|tan x sin x|在区间 f 内的图象是()答案 D解析 y= tan x+sin x|tan xsin x|不.2tan x, xC 2兀，=§结合选项中图形知，D正确.2sin x, x C 兀，万.一一兀 一5 .函数y= 2sin己一2x（x 0,句）的单倜递增区间是（）八兀兀 7兀 兀 5兀 5 %A. 0，3 B.5 12C. 3,言 D.官兀-L兀斛析.: V= 2sin62x

25、 =-2sin答案 C2x 6 ,由2t + 2k 底 2x 2- 2k u, k C Z ,解得；+ k 后 x<7+ k & k C Z,即函数在R上的单调递增区间为3c + k兀，5+ k兀，kCZ, 函数在0,句上的单调递增区间为 3c, 5T兀兀兀兀A. 6B.6 C. 3D.3答案 D解析 因为f (x)=2sin 1x+ 9J ,且f (x)的图象关于原点对称，所以 f (0)=2sin。一9=0, 233即 sin 9- 3 = 0,所以 0 = k Tt k Z),即 + k Tt k Z). 33兀 ，一兀又|0|<2,所以 0=3.7.(多选)关于函数

26、f (x)= sin 2xcos 2x,下列命题中为真命题的是()A.函数y=f (x)的周期为兀.一冗一，, 一，B.直线x= 4是y = f (x)的一条对称轴C.点8，。是y=f (x)的图象的一个对称中心D.将y=f (x)的图象向左平移 计单位长度，可得到 y=V2sin 2x的图象答案 ACD解析 f (x) = sin 2x cos 2x=/2sin 2x 4 ,1.1 3=2,故T=5故A为真命题；当x= 4时,2x4=j,终边不在y轴上，故直线x = /是y=f(x)的一条对称轴，故B为假命题；当x=8M, 2x4= 0,终边落在x轴上，. 兀 一一一，- 一 .故点0是y=

27、f (x)的图象的一个对称中心， 8故C为真命题；将y=f (x)的图象向左平移2个单位长度， 8可得到 y = J2sin 2 x+8 4 = 42sin 2x 的图象，故D为真命题.8.(多选)已知函数f (x)= sin x+cos x, g(x) =22sin x - cos,则下列结论中正确的是()A.两函数的图象均关于点一4,。成中心对称 ,TT 、B.两函数的图象均关于直线x= 4成轴对称兀 7t. .c.两函数在区间一4, 4上都是单倜增函数D.两函数的最大值相同答案 CD解析 f (x) = sin x+cos x=蛆sin x+ 4 ,g(x)= V2sin 2x,f 4

28、= J2sin 4 +j = >/2sin 0 = 0,.-一TT、 -则f (x)关于点一4, 0成中心对称.g 4 = V2sin 2X 4 =42sin -2 =- &"则 g(x)不关于点 一4, 0 对称，故 A 错误.f (x)关于一j, 0成中心对称，g(x)关于x= 4成轴对称，故B错误.若一4<xv：,则Ovx+jv；,此时函数f (x)为增函数，若4< x<4，则一2< 2x<此时函数g(x)为增函数, 、TT TT ，,-，即两函数在区间一：，：上都是单调增函数正确，故C正确.4 4D中，两函数的最大值相同，都为 近9

29、 .设函数f(x)=cos cox- 6(3>0),若f(x)wf 4对任息白勺实数X都成立，则 3的最小值为 .,2答案2 3. 一 .TT 、一一.TT .一 一解析 因为f (x)wf 4对任意白勺实数X都成立，所以f 4为f(x)的最大值，. 兀 兀所以-w-；r=2k 7tk Z), 462所以 co=8k+-(k Z), 3一， ,一 一,2因为w>0,所以当k=。时，3取取小值为. 310 .已知函数f(x) = 2sin cox6+1(xC R)的图象的一条对称轴为x=为其中为常数，且« (1,2),则函数f (x)的最小正周期为.答案6t 5, 一兀一一

30、 ， _.一兀兀斛析 由函数f (x)= 2sin w x 6 + 1(xC R)的图象的一条对称轴为x= tz,可得co兀一 = k %+ , kCZ,25 .co=k+W，又 w (1,2), . w=, 33函数f (x)的最小正周期为 誓=丫55311.已知函数 f (x)= V3cos 2x12sin xcos x.3(1)求f (x)的最小正周期;.兀兀 i,一，.1(2)求证：当 xC -4, 4 时，f (x) > - 23 ,33解 f (x) =cos 2x+ 2sin 2xsin 2x1=2sin 2x+2x= sin 2x+ 3 .所以f (x)的最小正周期T =

31、 2f=兀.一， 兀兀(2)证明 因为一4Wx<4，5兀所以-<2x + -< 636-.TTTT1所以 sin 2x+§ >sin 6 = - 2.兀 兀1所以当 xC 4, 4 时，f (x)> -2. , 一兀兀i-12 .已知函数 f (x)= 4tan xsin 2x cos x 3 -3.(1)求f (x)的定义域与最小正周期；兀 兀，一、，、一一(2)讨论f (x)在区间 4，4上的单倜性., 一 兀一- 一解(1)f(x)的定义域为xxw2+k% kC Z f (x)= 4tan xcos xcos x-g - m=4sin xcos x

32、-j -邓 3=4sin x 2cos x+ 暮in x -V3=2sin xcos x+ 2 娟sin2x 5 =sin 2x+ V3(1 cos 2x) V3= sin 2xq3cos 2x=2sin 2x 3 .所以f (x)的最小正周期T = 2f=兀.(2)令 z=2x 3c,函数 y=2sin z在 zC-2 + 2k 兀,2t + 2k兀，k e z上单调递增.由- 2+ 2k厩 2x3w2t + 2k 兀，得一看+ k 庐 x< 音+ k 兀，kC Z.设人= 一：，j, B= x i+kjtWxW 12r+ ku, kC Z ,易知，An b=一本4 .所以，当xe -

33、4 /时，f (x)在区间一本 4上单调递增，在区间一京 上单调递减.“技能提升练13 . (2019全国C )关于函数f (x)= sin|x|+ |sin x|有下述四个结论:f (x)是偶函数；f (x)在区间:，兀上单调递增；f (x)在兀，可上有4个零点；f (x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A. B. C. D.答案 C解析 f (-x) = sin|- x|+ |sin(-x)|= sin|x|+ |sin x|= f (x), . f (x)为偶函数,故 正确；当2<x<兀时，f (x)=sin x+ sin x= 2sin x,f (x)在？，兀上单

34、倜递减，故 不正确；f (x)在-Tt,可上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在-TT,兀上只有3个零点，故 不正确;f (x)可以取到最大值 2,故正确.,y=sin|x|与y= |sin x|的最大值都为1且可以同时取到,综上，正确结论的编号是 .故选C.兀一一一，一、一 兀 兀，、，、一 I 乙乙.14 .已知函数f (x) = 2sin( cox+昉(co>0)满足f 4 =2, f ( Q 0,且f (x)在区间, 3上单倜，则符合条件的 « 的值有 个.答案 9解析设函数f (x)的最小正周期为T,(-兀 _- 、一由 f 4 =2, f ( th 0,结合正弦函数图象的特征可知4+ kr=3j