2021中考数学_最值问题100题(教师版)

1、2021中考数学最值问题1001.如图3.1所示，在Rs."C中，44=30。，=4,点。为边的中点，点尸为边KC上的动点，则尸8+尸Z）的最 小值为（）A.小 B. 2& A. 2。 A. 4/91.解 延长8C至点8 ,使3c = 5C,连接4P、5 A,如图4.1所示，：.AC 垂直平分 BB , ： BA = BA，1 C 平分 /BAB.V ZCAB = 3OC,，NB A8 = 60°,； MBB 为等边三角形.丁点尸为上一点，： PB = PB , ： PB + PD = PB +PDNBD,当且仅当8、尸、。在同一直线上时，如图4.2所示，心+尸。取

2、得最小值.在 R/A405中，AO = 1a8 = 2, ZB AB = 60°,BD = AD tan 60° = J3AD = 25/3 ,2故答案是C.思路点拨：这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据“两点之间线 段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.拓展 若点。为边.空上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60。特殊角计算8。的长度；若点。是边,43上 的一动点，则3。将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.2 .如图3.2所示，在矩形.138中，48=5,.43,动点尸满足:加

3、=卜.心鸟，则点尸到."两点距离之和E妊尸8 的最小值为.3 .解令点尸至的距离为d丁 Sx%8 =§S班开维e = qx3x5=5=2 4 5 , /. d = 2, 点尸为到48距离为2的直线、4上的点.直线4、4关于结对称，因此选其甫一条进行计算.作点3关于直线4的对称点8,连接AC、BP、AB如图4.3所示,： PA + PB = PA + PB NAB ,当且仅当d、P、3三点共线时取得最小值，如图4.4所示.在R/AA阳中，A3 = 5, BB =2d=4.：.AB =AB2 +BB2 =6 +4?=而， 故以+总的最小值是4T.图43图4.4思路点拨：这是典型

4、的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的而积关系，可判断点P的运动轨迹为宜线（或称为 “隐线”）：利用釉对称的性质，构造对称点3,，再运用线段公理获得不等式：根据勾股定理计算最值A4'.4 .如图3.3所示，在矩形43C。中，切=3,点、E为边AB上一点、，AE=1,平面内动点尸满足5皿=手中吆，则 DP EP|的最大值为.CE图3.33 .解令点尸至L/的距离为a: SAB = §S矩物se > :, d =2 '点产在到,43距离为2的直线，上，如图4.5所示.作点E关于直线4的对称点E，连接£力并延长交直线乙于点尸，连接EP,如图4.6

5、所示, ： EP = EP.当点尸在直线4上时，DP EP = DP E P<E D.当且仅当。、£'、尸三点共线时取得最大值+12 =啦.当点尸在直线4上时，|。尸-七尸|«石。，当且仅当E、尸三点共线时取得最大值，如图4.7所示.在义AIDE中，AD = 3, A£ = l,DE =百 +:=闻, A DP - EP| < ED = V10 ,，当点尸为DE的延长线与直线12的交点时有最大值 M.思路点拨：解法向题2,需要找出满足条件的点尸所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑(因为图形不对称).由于两边之差小 于第三边，在共线时取得最大值，

6、故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进 行大小比较.特别说明笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述 点尸时用的是“平面内”，而非“矩形内二4 .已知y =一 2x + 2 + JF +2x + 2 ,则y的最小值为.5 .解 原式;=(x-1)" +(0-1)' + yl(X +1)* + 0 - (-1).建立平面直角坐标系，设尸(x,0),5(-1,-1),贝k/在X轴的两侧，% =+(0-1)2 ,夕8 =小 + 1+0_(_1)了,A y = J(x_lf +(0T)2 + J(

7、x + 1)2 +0_(T)于=PA + PB 之 AB,当,4、P、8三点共线时，y值最小,ymln = AB = 272 .思路点拨：若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离(距离公式是 平而直角坐标系中的勾股定理)，则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型两点之间线段最短.6 .已知 y =3> +9 «x -1)2 +4 ,则 y 的最大值为.7 .解 原式二J(x-3)2 +(0_3/-/if +(0-2)2建立平面直角坐标系，设尸(x,0), A(3,3), 8(1,2),A PA = (x-3)2 +(0-3f , P

8、B =- if +(0_2',A)，=+(0_3/+(0-2)2 = PA-PBS AB ,当,4、尸、8三点共线，即点尸在45延长线上时y值最大，I. %ax =A8 = 7T思路点拨：阅读题目时需观察清楚或"一”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转 化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.8 .如图3.4所示，在等腰RtzUBC中，ZBAC=90°, AB=AC. BC=4日 点。是边乂3上一动点，连接CQ,以 .1D为直径的圆交CD于点£则线段BE长度的最小值

9、为.解：连接HE,取乂。得中点产，连接石产，如图4.8所示 二4。是圆的直径，ZAED=900：.ZJEC= 90°：.EF=-AC=22点E的轨迹为以点下为圆心的圆弧(圆的定义)：.BE>BF-EF当且仅当8、E、F三点共线时等号成立，如图4.9所示 在 RtdABF 中，dF*=2, 43=4：.BF= JafTaB = JR/ =2 y/5 , ，（3% =BF-EF=2 卡-2思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，,如所对的圆周角是90。，/。石。是平角，连接4E后就 找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角

10、的顶点的轨迹为圆 （根据题目需求判断是否需要考虑两侧）.因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）.根 据三角形的三边关系，知3、E、尸三点共线时BE取得最小值.7.如图3.5所示，正方形.138的边长是4,点E是边铝上一动点，连接CE,过点8作5GLCE于点G,点尸 时边,48上另一动点，则尸D+PG的最小值为.解：取得中点尸，连接GF,作点。关于,45的对称点。，连接。F、DA,如图4.10所示.：.DP=DfP,/BGC=90。，点F为8c的中点：.GF=-BC=2 2 PD+PG =PD'+PGRG又 D'G+GFD'F：.PD +PG+GF

11、>jDfF- GF如图4. 11所示，当且仅当O'、P、G、尸四点共线时取得最小值.根据勾股定理得D1F= 斤W =2岳：.PD+PG的最小值为2 JT5 2思路点拨不难发现N8GC=90。是个定角，因此点G的轨迹为以3C为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长 度不变的动线段，再利用三边关系求解.8.如图3.6所示，在矩形中，乂3=2, JZ>=3,点E、F分别为边。上的点，且EF=2,点、G为EF 的中点，点尸为边8。上一动点，贝ijRt+PG的最小值为.AED解：作点4关于3c的对称点W,连接尸、DG,如图4.12所示 ：.PAf=PA：.PA+PG=PAf+P

12、GV ZADC=90 EF=2：.DG=EF=2yPAPG+DGD:.Pf+PGID-DG如图4. 13所示，当且仅当、尸、G、。四点共线时等号成立根据勾股定理得 'D= y/AAf2+AD2 = 42ABy + 心=5，E4+PG的最小值为4思路点拨与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段 成始终不变，线段"所对的角为直角， 因此斜边上的中线。G始终不变，从而判断出点G的轨迹图形为圆.利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为 点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解.9.在平面直角坐标系中，4（3, 0）, BQ 2）, C（0,

13、，项,0）,且加+川=4,若点E为CD的中点，则H3+3E 的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 25解：VC（0,机），。（”，0）,m2+“2=4,：.CD2=4.：.CD=2在RmC。中，点E为CD的中点，OE=1,即点E在以。为圆心，1为半径的圆上.作图4.14,连接。区 过点乂作直线尸2的对称点/，连接力夙。，（3, 4）:AB+BE=B+BE=4B+BE+EOEglO-EO如图4.15所示，当且仅当4、B、E、。四点共线时等号成立.根据勾股定理得$。=钎 =5"4B+3E的最小值为4AvA'AvA'思路点拨根据两点之间的距离公式/+2=CD2,得到C

14、D的长度；由己知条件判断出。石为斜边上的中线，0石=，8 2(定值)；根据圆的定义可知点E的轨迹是以坐标原点为圆心、；CD为半径的圆：利用对称的性质将线段和的最值 问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题.10.如图3.7所示，13=3, 乂。=2,以8C为边向上构造等边三角形BCD,则.10的取值范围为解:以,45为边向上作等边连接。E,如图4.16所示:AB=BE, CB=BD, /ABC= /EBD=60°- /CBE在和E3Q中AB = BE,< NABE = NEBD.CB = BD.：41BCdEBD(SAS)：.DE=AC=2点。的轨迹是以点石为圆心，2为半径

15、的圆.：.AE-ED<1D<1E+ED如图4.如和图4.1三3518所示，当且仅当乂、E、。三点共线时取得最值思路点拨这样理解.43=3, ,4C=2这个条件：固定一边NCAB可以自由变化，因此点。的轨迹是以点乂为圆心、 2为半径的圆.通过构造全等图形找出点。的运动轨迹.利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题.拓展本题的解法较多，对于“定点+动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法.11.如图3.8所示，乂8=3, HC=2,以8c为腰（点8为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD贝hm的取值范 国为:图3.8解答：以一铝为腰做等腰直角及"E （乙48丘90。）

16、，连接。七，如图4.19所示,图4.19:AEn&B=30, NABC=/EBD=90° NCBE,在aABC和aEBD中AB = BE/.ABC =乙 EBDCB = BD:ABgAEBD （SAS）：.ED=AC=2，点。的轨迹为以点石为圆心、2为半径的圆：.AE - EDLD mE+ED如图4.20和图4.21所示，当且仅当A,如。三点共线时取得最值,，3四一2三33后+2思路克援：镭咫方让基本同e延，也聂通过拘造全等的找出点。的也动就达e, 1利用®外一点初回阊e的距您12.如图 3.9 所示，AB=4, 4C=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,

17、则AD的取值范围为D图3.9解答:图 4.22以空为底边构造等腰直角aAEB （NAE8=90。），连接。E,如图4.22所示,:AeEaB=2®, NEBA=NCBD=45。2 处=里=近】EB DB乙ABC =乙EBD = 45° 一（CBE:./XABCsLEBD：.DE=AC=y/2.点。的轨迹为以点E为圆心、V2为半径的圆AE-EDSADSAE+ED如图4.23和图4.24所示，当A、E、。三点共线时取得最值图4.23图4.24：.y/2<.lD<3y/2思路立握：与前而高通彳的蛊，由孑旄菇中2彳自是冢建三6超预保的顶点，0此构造全等号的武成倍道代似例

18、 的，而拨出点。的已动气也，爰后根漏外一点却闾R的距惫是心条解决向咫13.如图3.10所示,A8=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD, 则PB的取值范围为，图3.10解答：以,铝为底边构造等腰直角“反（44七8二90。），连接。E,如图4.25所示,图4.25，J£=£43=2技 NEBA=NCBD=45° 2些="=夜 /JEB DB ABC =乙EBD = 45° CBE b:AABCsAEBD：.DEAC=y/2 .点。的轨迹为以点E为圆心、V2为半径的圆延长AE至点Q，使A丘EQ

19、,连接PQ、BQ, 9：AD=DP.，OQ=2DE=2万如图423和图424所示，当A、E、。三点共线时取得最值 BE 垂直平分 MQ, ：.AB=BQV ZQAB=45% ABQ为等腰直角三角形，,BQ=AB=4 .-.5Q-PQ<P5<5Q+PQ如图4.26和图4.27所示,当8、P、Q三点共线时取得最值：.4-2y/2<PB<A+2>/2思路点就：注意打点尸的产生与中点有关，点p的隹动5点2r掴解“左一起，敛可通国构造中色在束赳断点尸的这 动九边，a利用弱外一点到尚e的距条是3家解货同咫14.如图3.11所示，正六边形A8C£花尸的边长为2,两顶点

20、A、8分别在x轴和v轴上运动，则顶点。到坐标原点 O的距离的最大值和最小值的乘积为:解答：取.43的中点G,连接。G、0G,如图4.28所示,1ky图4.28,:乙408= ZxOj=90°, :. 0G= ：AB= 1,连接。8、ODOC5为等腰三角形VZC=120%，NOBC=30。，DB=WDC=26,AZDBA=120°-30°=90°在 RSDGB, GB=1, ：.DG=yjDB2 + GB2 = J(2於)? + M =后:.DG - OG<OD<OG+DG当且仅当O、G、。三点共线时取得最值D、G在点O同侧时取得最大值，在点O

21、异侧时取最小值，如图4.29所示,图4.29.V13-1<OD<V13 + 1.0。的最大值和最小值乘积为(VH -1)(713 + 1)=12号路正加：过个连“端价”型向跳，宠例孑秘孑夫陈a黑动，将他/求为平面金扇生标多，过样转动的星荏步大型 黄方面；利用“缮”卢隹的金自，以己也彳求的缱点，行出043的中点G,利用剑己上的中俵0G初台翌囱定 的苻声.。、G案他遭芮除大J彳衣、C2正我化的凄0.OG、DG,利用司经之“与鬲已之去庄到0。的是£鱼“星J 俗；另糜再：利用彳£对迨动的知物，或的偎褴2六边彩足彳爽的，生杼疑可以俣卷2六已超逵动；利用/乂03=90

22、76;, AB=29月所出点0的心动凯选为一个，k04.30所3,02图4.30利用圆外一点到圆周上的距惫转.便解居OD的量之住加是J保；崔老可以行封"彩门15.如图3.12所示，A8=4,点O为A3的中点，0O的半径为1,点P是。O上一动点，aPBC是以PB为直角边 的等腰直角三角形（点P、B、。按逆时针方向排列），则AC的取值范围为：图 3.12解答：如图4.31所示，以08为腰向上构造等腰直角O8Q,连接OP、CQ、AQ：在等腰直角小股和等腰直角产。中，胎=需=技 ZQBO=45°, :./CBQ=45。- /QBP=NPBO, AACBQAPBO点C在以点Q为圆心，

23、心为半径的圆上, ZOQ=O5=OJ=2, ZQOB=90° AQ=4AQ? + OQ2=2 y/2 AQ-QC<AC<AQ+QC如图4.32和图4.33所示，当且仅当A、。、Q三点共线时取得最值,图4.32图4.33:迎S yj2恩路立旗：出孑aPBC强优定，苻个动点尸、Ca点3的距需之吮能点彳或，过是地技望型的色似簇酢，出可理 镭巧立尸、C鬼辨''族超；族据通程中，点。的就妆多点尸的凯超依似，相例吮为痣：1；利用汽似族出动点C %也的® p, AC的贵俗印定立M知定固上一动点的距密的锭.住16.如图3.13所示，0O的半径为3, RtzUBC

24、的顶点乂、3在。上，Z5=90%点C在。内，且tanJ=2 .当点4A在圆上运动时，0C的最小值为（）答案：连接。3,过点B向下作8DJ_O8, KlBD=ioB,连接JD,如图4.34所示.V NCBA = NOBD=90。, ：. ZO5C=90°-ZOBA=ZDBA.££ = ££ = 3, :aocbssab,，空=3. AB BD 4AD 44D>OD-OA = >1OB- + BD2 -OA=2,当且仅当。、.4、。三点共线时取得最值， 333A0C=-.W>-x2=_.图 4.34思路点拨艮是比较典型的位似旋转问

25、题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为XQ的最值问题.通过旋转型相似构造RsOBD,其中/。8。=90。. /ODB=/CAB,因此点。为定点.另外，由OCBsaEUB得到OC和之间 的固定比例，从而可利用-W的最值求解。的最值一m的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90。，找到直径乂。，而/乂8=180。一/,4。8为定值，因此由定弦定角得出 点C的轨迹为圆弧，可根据图435所示计算OC的最小值.图 4.3517 .如图3.14所示，在平面直角坐标系中，。(3, 4),点P是以。为圆心、2为半径的。上一动点，乂(1, 0), B(- b 0)，连接刈

26、、尸"则用2+尸炉的最小值是答案：连接0尸、QP、OO.如图4.36所示.设尸(x, >).根据两点距离公式得工用2=(丫-1)2+丁，尸炉=(x+l)2+V，：.Rl2+PB2=2x2+2y+2=2(x2+y)+2.：.OP= &2 + y2 ,工。产2=/+科 ,EW+尸产=2。尸?+2,要求E42+尸炉的最小值，即求op的最小值，也就是求。尸的最小值，。&O0P。, 如图4.37所示，当且仅当0、P、。三点共线时取得最值， ，0尸=5-2=3,，上#+尸¥=2。尸2+2*32+2=20.思路点拨根据小2+尸¥这样的形式，产生两个联想，一

27、是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把总和尸3 构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现23+尸*与OP2的联系，而。尸 的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.弦外之音 我们会发现，虽然点尸在动，但。尸始终是.45尸边上的中线，且乂8是个定值，我们可以直接利用 中线长公式得到用2+产炉=2。产+ 且，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学 4有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).18 .如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3, EF=2, G为。E上一动点.将三角尺QEF绕直角顶 点尸

28、旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为.B C（FK /图3.15 E答案：在 RsD£产中，CE=2, ZCDE=30°,:.DF=2& DE=4.如图4.38所示，当点G与点。重合时，CGmax=DF=2,当 CG工DE 时，CGmin=h= 2,DE 4工 V3<CG<2>/3.当CG=3时，以C为圆心、CG为半径的圆恰好经过点B.在£）由旋转的过程中，点G会经过点B.因此，当8G恰好重合时，8G取得最小值为0.围路点拨这是个“特别”的题，点G是。E上一动点，因此在转动的过程中，点G的轨迹不是线而是面，这个而的形状为 以

29、点。为圆心、分别以CGm力和为半径的同心圆环，点3也在这个“面轨迹”中，因此3G的最小值为0.19 .如图 3.16 所示，在 RtAJBC 中，乙/C=90。，ZJC5=30°, BC=2 0、与ZU5c 关于,4C 对称，点 E、R分别是边。C、上的任意一点，且DE=C尸，BE、OF相交于点尸，则。尸的最小值为（）A.l B.小 C -D.2D答案：连接3。，如图4.39所示.JDC 与AlSC 关于乂C 对称，ZACB=30°,:.BC=CD, NBCD=60。.二mC 是等边三角形,:BD=CD, ZBDC=ZBCD=60在3QE 和QCF 中，BD = CD, Z

30、BDC=ZBCD, DE=CF.：.应）四QCF（£均，A ZBED=ZDFC./ ZBED+ ZP£C= 180°, /. ZPEC+ ZZ）FC= 180°,A ZDCF+ ZEPF= NDCF+ NBPD = 180。.V ZDCF= 60°, A /BPD =120°丁点尸在运动中保持N8PD=120。，点产的运动路径为以H为圆心、,IB为半径的120。的弧.当C、尸、乂三点共线时，。产能取到最小值，如图4.40所示，密4。-3尸=2,即线段。尸的最小值为2.思路点拨需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点尸在运动中保持/班

31、少=120。，3。又是定长，所以点尸的路径 是一段以点，为圆心的弧，于是将CP的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.20.如图3.17所示，smO= |,长度为2的线段DE在射线。4上滑动，点。在射线。8上，且OC=5,则CDE周 长的最小值为.答案：过点C作CCQE且连接"，如图4.41所示， ，四边形CC功为平行四边形，：.CE=CD.作点C关于OA的对称点C”,连接CTE、CD CC,:CE=C"E, ：.CDCE=CE+ CE= CE+ CnE>CC9,当且仅当C、E、。'三点共线时取得最值，如图4.42所示.YCC关于CU对称，垂直平分CC”

32、，:.9=2CF= 2OC 汕0=6.在 Rs。中，CC”=2加,/. CDE周长的最小值为2加 + 2.思路点拨因为DE为定值，所以CQE周长的最小值问题转变为CD+CE的最小值问题似收马“非“饮马”，注意观察, 这是一定两动问题.利用平移将动线段。叶压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找到最小值线段，再 根据勾股定理计算即可解决问题.21、如图3.18所示，在矩形.188 中，.48=6,在边乂3上运动，MN=3, X产=2, BQ=5,则尸M+MN+N0的最小值是>图 3.18解：作QQ'=MN=3,作点0关于直线乂3的对称点连接P0,连接。九、QM ,作。”，0

33、4于 点H,如图4.43所示，二四边形MV00为平行四边形，QM =QM ,PM + NQ + MN =PM+QM+3>PQ +3,如图4.44所示，当尸、"、。"三点共线时，PM+Q M取得最小值。: Q。关 于 对称，=。=28。= 10 , 田三80=5,，PH=AP+AH=2+5=7° 在 RMHQ中,HQ =AB-QQ =3, /. PQPHrHQ? =6+3?=屈, /.尸M+MV+N。的最小值为3+ V58 o图443图 4.44思路点拨：作。A8,使得Q0=MN=3,作点。关于."的对称点。，连接尸。“，当尸、M、Q三 点共线时，尸

34、A/+MV+N0的值最小。作。力，DA,利用勾股定理求出尸。即可解决问题。22、如图3.19所示，在等腰直角三角形,48C中，乙4c3=90。，乂3=6,。为，坊的中点，E为8上的点，且CE=2DE,尸。为.铝上的动线段，PQ=L尸为HC上的动点，连接E。、FP,则石。+抄的最小值为 0图 3.19解：过点E作E?尸0,取上？=尸。=1,作点E快于的对称点石，连接ER E"P,如图4.45所示，二 四边形 EEF0 为平行四边形，E'P=E”P, ：.E'P=EQ、，EQ+FP=E'P+FP=E”P+FPNE”F,如图 4.46 所示，当且 仅当E“、P、尸三

35、点共线且时取到最小值。当？'FL4c时，设？E”与，口的交点为G, E“尸与的交 点为H,如图4.47所示?与E”关于,43对称，,E”G=E，G=ED=L，AG=2 - NK=45。，/. NFH4 = NE"HG=45。,/T，HG=E”G=1, .AH=AG-HG=lo 在等腰直角切和HGE”中，/田=1, HG=1,，FH=±, E”H=0 /. 2E"F=E"H+FH= 42，二当 EHF±AC 时，E"F 取得最小值为。22思路点拨：作EEFPQ,取在=尸。，构造平行四边形，将石。十q的长度转化为EF小冲的长度来找

36、最小值. 作对称点，构造“将军饮马”模型，再利用“垂线段最短”求出最小值。与题21类似，本题也要将线段尸0压缩”为一 个点，属于平移后求垂线段长度的问题，23、如图3.20所示，在正方形X3CZ）中，.13=4, E、F分别为.13、的中点，和尸。分别是边3C、CD 上的线段，MN=P0=1,依次连接及W、NP、QF、EF,则六边形EMNP0尸周长的最小值为。解：分别过点£尸作8C、8的平行线，截取E?=FF=MV=P0,作点？关于3c的对称点E，点F关于 CD的对称点尸”，连接EN、E”N、FT、PR 如图4.48所示，四边形EENM和四边形"丁。为平行四边形， ，EM=

37、E'N,尸。=户7 .点、E”关于8c对称，N为BC上的点，E，N=E"N,同理，FWP“六边形EMNPQF 的周长=EM+M¥+NP+P。+尸0+EK 其中MV、PO.石产为定值，要求周长最小值即求EM+NP+F。的最小值0. EM+NP+FQ=E“N+NP+F”PNE”F如图4.49所示，当E”、M尸、尸''四点共线时取到最小值。嵬立如图4.50所 示的坐标系，由题意得点E的坐标为（0, 2）,二？（1, 2）,.E（1, -2）0同理可得产"（6, 3）,二夕尸”=50 .TE=AF=2. EF= 6 AE= 26,，六边形EKVP0

38、F的周长最小值为7点+2,思路点拨：本题中有两条定线段平移，那我们就仿照上两题的方法平移两次即可。分别构造平行四边形EE'MM 和平行四边形尸F尸。，将六边形EMVP0F的周长最小值问题转化为？W+NP+FT的最小值问题（属于“邮差送信” 问题），依旧作出对称点，根据两点之间线段最短求出最小值°这里求解最小值时用到了平面直角坐标系，这是“偷 懒”的一种计算方法，相当于在平面直角坐标系的背景下应用勾股定理，亦可根据勾股定理求解与题21,题 22相比，本题是两次平移后的“两点之间距离”问题。24、如图3.21所示，在矩形.438中，.铝=2, 3C=4, £> F

39、分别为，8。上的动点，且EFLNC,连接,小、 CE,则NF+CE的最小值为 o解：过点C作CG/EF,且CG=EF,连接FG、，G,如图4.51所示，二四边形ECG尸为平行四边形，:.EC=FG。 在图4.52中，过点B作BHEF,二四边形3尸即 为平行四边形，二E尸=8/九,.EALMC,二及45。6/乂/，二 BH： AC=EF:AC=1B:BC.综上所述，CGJ_HC 且 CG三防二乔，二 G 为定点，乂F*CE=X尸竹GNMG,如图 4.53 所示，当工尸、G三点共线时取到最小值。在矩形.488中，,48=2, BC=4, .7。=后77 = 2褥，RtACG 中，JG=7aC2+C

40、G2 = 5o1思路点拨：本题要求两条线段和的最小值，而对分开的两线段不易判断最值的问题，所以需要将它们合并起来， 可采用的方法是全等转换，我们这里使用的是平移变换。将线段CE平移至以点F和另一个固定点G为端点的线段 位置，即可根据两点之间线段最短解决最小值问题.25、如图3.22所示，在三438 中，JD=7,，8=2、6，ZB=60°, E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将沿8。方向平移到£)中的位置，得到四边形,回则四边形.何。周长的最小值为 0解：如图 4.54 所示，将，麻：平移，二 aABEqADCF,，AE=DF, BE=CF.在FBCD 中，AD=BC, :

41、.AD=EF, 二四边形,因D的周长=Z4P+2J£=14+Z4£。如图4.55所示，当时，HE取得最小值。在於及铝。中，Z 8=60。，.J£=，Asin6O°=3,二四边形IE尸D周长的最小值=14+6=200图4 54思路点拨：四边形,®IX依旧是一个平行四边形，周长等于2 (JZ)+,4E),故将四边形HEFD周长的最小值问 题转化为.4E的最小值问题°根据“点到直线，垂线段最短”即可解决问题，26.如图1所示，在R048C中，NA4C=90。，.48=4, ,4C=3,点。、E分别是4c的中点，点G、F在BC边 上(均不与端

42、点重合)，0G七R将BDG绕点。顺时针旋转180。，将尸绕点E逆时针旋转180。，拼成四边形MGFN,则四边形MGEM周长/的取值范围是图1#«图126 .解：由题意得 :.NM=NDGB,:.AMU/BG,，四边形MGFN为平行四边形， ：.1=2 (GF+GM).:GF=MN= BG+CF=BC-GF,： GF= - BC二， 22: GM=2DG,.，当OG取得最小值时，四边形MGFN的周长最小；同理，当OG取得最大值时，四边形MGFN周长最大. 如图1和图2所示，当。G,8c时，OG取得最小值；若点G与点8重合，则OG取得最大值.NB是公共角,： aBDGsbCA,：.BD

43、： BC=DG : AC, 6:.DG= 一 ,56：.-<DG<2,549/. </< 13 5思路点拨：四边形MGFN为平行四边形，而GF为定值，所以将周长的取值范围问题转化为线段OG (EF) 的取值范围问题，当OG1.3C时OG取得最小值：由于点G、F与端点均不重合，因此最大值取不到.27 .如图1所示，在RtA48C中，NAC8=90。，CDL4B,若CO=3,则Sm比的最小值为27.解：取45的中点£连接CE,如图1所示,图1：.CE=-AB. 29： CD A.AB,.：.CE>CD,"928=6,当且仅当。为的中点时取到最小值，

44、Sa.曲的最小值为9.思路点拨8为定值，则当乂8最小时，Smbc取得最小值.根据“斜边上的中线等于斜边的一半''和"垂线段最短“，找到当。为 -15的中点时，.43取得最小值为2G>直角三角形中斜边上的中线是一个比较容易被忽略的知识点，尤其是在需要 主动去构造的时候.28 .如图1所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点。为圆心、2为半径画。，尸是。上一动点且点尸在第一象 限内，过点尸作。的切线与x轴相交于点以与丁轴相交于点名 则线段,45的最小值是.#： 0Q AB. 29：OP<OQ.：.-AB>OP.2：.AB>4,即AB的最小值为4,此时A

45、08为等腰直角三角形.思路点拨要求A8的最小值，只需取A8的中点，求出斜边上的中线的最小值，根据“垂线段最短”，48的最小值在0P与斜 边上的中线重合时取到.29.如图1所示，在矩形A8CQ中，BC=8, AB=6,经过点8和点。的两个动圆均与AC相切，且与A3、BC、 A。、0c分别交于点G、H、E、F,则EF+GH的最小值是.图129.解：设切点为N,连接。必OM作出乂。边上的高DW,如图1所示.图1 ? Z.WC= 90% 成为。的直径，JC=762 +82 =10,:.EF=OD+ONDM,当且仅当切点为点”时窃取到最小值，:.EF廿 DM=2八一 =4.8.AC 10 :矩形为中心对

46、称图形，同理，GHn-EFmin = 4.8, (EF+GE)mn = 96恩路点拨虽然目标式是"+G8的组合形式，但是观察后发现两个线段可独立求解最值.由于矩形为中心对称图形，因此成 和GH的最小值显然是相等的，于是将问题转化为求 ”的最小值，注意到EF是圆的直径，根据“垂线段最短“，可 知圆的最短直径是,48斜边上的高线.30.如图1所示，在中，ZC=90°, AC=4, BC=3点D、E分别为AC、8C边上的动点，且OE=3,以OE 为直径作。O，交AB于M、M则MN的最大值为.图130.解：过点O作0GLi5,连接ON、CO,如图1所示,图113* ON=r= _

47、DE= _ , 22：.GN=GM=-MN.2在RsOGN中，GO-OG2.其中ON为定值，故当OG取最小值时，GN取得最大值，即取得最大值.过点C作CH1AB.在 R3.15C 中，4C=4, BC=39 AB 5.： S&ABC= -AC BC= - CH AB, 22：.CH=<CO+OG.5. “ 1239.OG> =, 一 5210.rv _ 尸 296V 210512AdNmax = 2 GNmax =.J思路点拨。上为定值，即。的半径为定值，故当弦MN上的垂径最短时，取得最大值，根据“垂线段最短”找出OG最短 时垂足的位置.31.如图3.28所示，在肋ABC中

48、，NA = 90。，AB = 3, AC = 4,。为AC的中点，。为AB上的动点，将点P绕点。逆时针旋转90。得到点尸，连接CP',则线段CP'的最小值为 o22二pf图 3.28解：如图4.62所示，过点/作PE'_LAC于点£,则NA = NPED = 90。 由题意可得QP=P'。，NPDP' = 90°,ZADP = EP D在四和P'Q中ZADP = ZEP'D< ZA = ZP'EDDP = DP' *AAZMPAPTDCAAS)，PE = AD = 2:.CP'NPE当AP

49、 = O£ = 2,即点E与点C重合时，CP' = P'E = 2, J线段CP的最小值为2 32.如图3.29所示，已知NA/QN = 30。，B为OM上一点、,8ALQN于点A，四边形钻8为正方形，P为射线BM 上一动点，连接CP,将CP绕点C顺时针旋转90。得到CE,连接若AB = 4,则4石的最小值为解：连接也>，如图4.64所示在正方形 ABC。中，CD = BC, 48 = 90。 由题意得 PC = CE, ZPCE = 90°,:.乙BCE = NDCP = 90' + 4BCP在3CE和£>(¥中BC

50、 = CD< 4BCE = ZDCPCE = CP *.BCEA27CP(SAS)，BE = PD如图4.65所示，当尸D1.QW时，PQ取得最小值在m ZkAOB 中，ZO = 30°:.OA = EAB = 46在放OOP中，PD = -OD = -(OA + AD) = 2>/3 + 2, 22的最小值为2G+ 233 .已知梯形中，AD! IBC , AB IBC 9 AD= ,3c = 4。若夕为线段AB上任意一点，延长PQ到点E,使DE = 2PD,再以PE、PC为边作OPCQE,如图3.30 所示，则对角线尸。的最小值为>值解：如图4.66所示V PE

51、 / ICQ. 2PD = DE:.XPFDsXqfc.DF _PD _PF _1正=诙=瓦=?:.PF=：PQ, DF = DC 即尸为。的四等分点(定点) 如图4.67所示，当时，依取得最小值，PQ也取得最小 如图4.68所示，过点。、产分别作3c的垂线段，垂足分别为点 :.DM/IFN，四边形为矩形A DM = AB = 3, BM=AD = ：.MC = 3YF为。四等分点为CM四等分点3:.MN =43 7:.PF = BN = +，= -4 4:.PQ = 4PF = 7，PQ的最小值为7434 .如图3.31所示，在ABC中，AC = 10, C = 30。，点P是射线AB上的一

52、个动点，cos ZCm=-,点。是5射线PM上的一个动点。则。长度的最小值是B P图 4.69解：如图4.69所示，当CP«L4V时，C尸最小同理，当CQLPM时，CQ最小由于cosNCPM为定值，CP、。同时取得最小值 在用ZkAPC中，AC = 10, NE4c = 30。：.CP = -AC = 5 2：.CQ = yCP2-PQ2 =3C。的最小值为3235 .如图3.32所示，直线y = 1x + 4与x轴、），轴分别交于点A和点3,点。为线段08的中点，点C、夕分别为 AB、OA上的动点，当PC + PD最小时，点。的坐标为图 3.32解：作点。关于x轴的对称点沙，连接P

53、£T、O'C,如图4.70所示/. PD = PD'，PD + PC = PD'+PCND'C如图4.71所示，当。，P、C三点共线且。'C_LA3时，PD+PC取得最小值:.NCO'5 + ZA3O = 90°:./CD' B = ZBAO : Z4O8 = ZPQ£>' = 90。：.4AB0sAd'P0：.OA:OD' = OB:OP 直线y = gx + 4与坐标轴交于点A、B 3(0,4) , A(-6,0)，0（0.2）。、。'关于X轴对称 0'（02

54、）A Ot4 = 6, 。3 = 4, OD' = 2 :.OP =.当尸C+尸。最小时，pj-1,036.在平面直角坐标系中，原点O到直线2a4的最大距离为（）36 .解 产辰-2M4y=k （x-2） +4.当工=2时,）=4,故无论上为何值，直线必过（2, 4）.如图4.72所示，过点。无论作直线丸、/）、/；的险垂足分别为-4、B、C,其中点d为定点（2, 4）.在如ZU3O 中，OA>OB同理，OA>OC.当且仅当at，/时，点。到直线/的距离最大，最大值即。乂= 万方=2行.思路点拨题中直线虽然是动直线，但是只含有一个参数上进行化简后，可以找到一定点（2, 4）

55、不受k的影响.根据 “直角三角形中斜边大于直角边“，所求最大距离为原点到定点的距离.弦外之音动直线过定点和动点定轨迹的问题其实偏向高中的解析几何，却又在初中经常出现，注意下而两3 5种形式的点和直"：如A （2?/. -3计4）,动点A经过直线v=-3x+巳：又如直线/：42息-3什1.经过定点223（一 . 1）,要学 见察题目中这些“动中有静”的信息，才能快速找到解题的思路.237 .如图3.33所示，在直角坐标系中，。（0, 0）, A （7, 0）, B （5, 2）, C （0, 2）, 一条动直线/分别与8C、OA 交于点E、F,且将四边形。/C分为面积相等的两部分，则点

56、C到动直线/的距离的最大值为.Ay37.知识储备过梯形中位线中点的直线(经过梯形的上底和下底)将梯形分为面枳相等的两个梯形. 证：如图4.73所示，在梯形中，E、尸分别为3c的中点，连接工厂交。的延长线于点G VAB/CD.:.NBAF=NG, ZB=ZFCG.在下和aGCF中，ZBAF = ZCGF< ZABF=ZGCFBF = CF：41BFAGCF (£tS), :AB=CG, AF=GF.,:E为AD的中点，J.EF/DG.：.EF=-DG=- (CD+CG) =- (JB-CD),222即梯形的中位线等于1 (上底+卜底).2如图4.74所示，。为E尸的中点，尸0经过点。分别与上底、下底交于点尸、Q,过点。作MAUCD /.四边形APQD和四边形BPQC也是梯形.5梯除巾0 = )(AP+DQ) MN=EOMN,S梯形即备=；(BP+CQ),MN=FO.MN,又。为EF的中点，:EO=FO, q = q 。梯北讣PC0 一。梯开融。C，经过点。的直线平分梯形X8CQ的面积.解 取0C和.空的中点G、H,连接GH.取GH的中点M、如图4.75所示，：.G (0, 1), H (6, 1),：.M (3, 1).当直线,经过点河时，梯形而枳被平分.当CMLEF时，