2020年高考数学(理)重难点专练06函数与导数(解析版)

1、重难点06函数与导数【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现， 这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由 不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值白关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路

2、，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性 问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解， 而函 数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法， 在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选

3、择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量一寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；

4、二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用 转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的 思路： 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；化简和尝试消参；双变量化为单变量.证明函数恒成立(求导、求极值)(经典题型2018年全国一卷理21题)【考查题型】 选择题，填空，解答题 21题【限时检测】(建议用时：90分钟)一、单选题X, 1 x 01. ( 2

5、020安徽高三月考(理)定义在 R上的函数f(x) 2，且X ,0 X 11f (x 2)f(x),g(x) ，则万程f (x) g(x)在区间5,9上的所有实数根之和x 2最接近下列哪个数()A. 14B. 12C. 11D. 10【答案】A【解析】f (x+2) =f (x) , 二函数f (x)是周期为2的周期函数，1,g (x) =, - g (x)关于直线 x=2 对称.x 2分别作出函数f (x) , g (x)在-5, 9上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为8个，设8个交点的横坐标从小到大为 X1, X2, X3, X4,X5, X6, X7,X8,且这8个交点接近点（2,

6、0）对称, （X1+X8） =2, Xi+X8=4, 2所以若 X1+X2+X3+X4+X5+X6 X7 X8 =4（X1+X8）=4X4=16 但是不都是对称的,由图象可知，X1+ X8>4, X2+X7>4, X3 X6 4 , X4 X5 4第五个父点为空心的，跟等于3'.-X1+X2+X4+X5+X6 X X8最接近14.故选A.【点睛】：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转 化为两个函数交点时， 如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单些.

7、注意函数的图像画的要准确一些 .的大致图象为（）2. （2020四川高三期末（理）函数f X XCOSX SinX,X【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用 f 的符号进行排除即可. 2【详解】f x xcosx sinx xcosx sinx f x ,函数f x是奇函数，图象关于原点对称，排除 A,Cf cos sin 10,排除 B ,故选：D .2222【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法， 最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性

8、等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 x , x , x 0 ,x 0等.3. （2020安徽高三月考（理）已知函数 f x lnx a 1 x 2 2a a 0 .若不等式f x0的解集中整数的个数为 3,则a的取值范围是（）A. 1 ln3,0 B. 1 ln3,2ln2 C. 1 ln3,1 ln2 D. 0,1 ln2【答案】D【解析】【分析】对f x0进行变形，得到 a x 2 lnxx2,令hx a x 2 ,g x lnxx2,即hx g x的整数个数为3,再由g x的函数图像和h x的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】lnx a 1 x 2 2a 0

9、,即 a x 2Inx x 2设 hx ax 2 ,g x In x x 2 ,其中 x 2时，h 20,g 2 ln2 0x 3时，h 3 a 0,g 3 ln3 0即x 2,x 3符合要求1 . x 1g x - 1 ,所以x 0,1时，g x 0, g x单调递减x xx 1, g x 0, g x单调递增，g 11为极小值.Qh x g x有三个整数解，则还有一个整数解为x 1或者是x 4当解集包含x 1时，x 0时，h x 2a 0,g x所以需要满足,解得 0 a 1 In 2;当解集包含4时，需要满足2a ln4 4 2a 0a 0h 1g1a1即h 4g42aln442h 5g

10、53aln552a 0a 1整理得 a 1 In 2，而3 n 1,所以无解集，即该情况不成立33 ln 5a 3综上所述，由.;得,a的范围为0,1 ln2故选D项.利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题4. (2019山东高考模拟(理)已知函数f(x)和f(x 2)都是定义在V2019x 0,2时，f (x) 2x,则 f2-()A. 2B. 2T2C. 32D.2【答案】Bf(x 2)都是定义在R上的偶函数，可推导出周期为4,而f(4 252 1.5) f (1.5),即可计算.2)都是定义在R上的偶函

11、数，所以f( x 2) f(x 2),即R上的偶函数，当、2由f(x)和f 2019 2因为f (x20192f (x) f (4 x),又f(x)为偶函数，所以f (x) f( x) f (4 x),所以函数周期T 4，一,一2019-2019一所以 f2-f-2-f (4 252 1.5) f (1.5) 2>/2 ,故选 B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题 5. (2019四川高考模拟(理)在直角坐标系中，如果相异两点 A a,b ,B a, b都在函数y=f(x)的图象上，那么称A, B为函数yf x的一对关于原点成中心对称的点(A,B与

12、cosx, x 0,8, A为同一对).函数f x 2的图象上关于原点成中心对称的点有log7 x,x 0()A. 1对B. 3对C. 5对D. 7对【答案】C【解析】【分析】一cosx, x 0 函数f x2的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是log7X, x 0y cosx, x 0与y10g7x ,x 0图象交点个数，利用数形结合可得结果2因为y 10g 7x,x 0关于原点对称的函数解析式为y 10g7 x ,x 0 ,cos x,x 0所以函数f x2的图象上关于原点成中心对称的点的组数，10g7x,x 0就是y cosx,x 0与为y1og7 x ,x 0图象交点个数，同一坐

13、标系内，画出 y cosx,x 0与y 1og7 x ,x 0图象，如图, 2由图象可知，两个图象的交点个数有5个，cos x, x 02 ,的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.10g7x,x 0【点睛】本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、 转化与划归思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了形”的直观性.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围;3、求不等式

14、的解集；4、研究函数性质.6. （2019湖北黄冈中学高考模拟（理）定义在R上函数f x满足f x f x ,且对任意的不相等的实数x1, X20,f X f x2有0成立，若关于x的不等式xi x2f 2mx Inx 3 2f 32mx Inx 3在x 1,3上恒成立，则实数 m的取值范围是（）A.1 / ln6,1 一2e 6B.1 / ln3,1 一2e 6C.ln3D.ln6结合题意可知f x是偶函数，且在0,单调递减，化简题目所给式子，建立不等式，结合导函数与原函数的单调性关系 ，构造新函数h x ,g x，计算最值，即可.【详解】结合题意可知f x为偶函数，且在0,单调递减，故f

15、2mx lnx 3 2f 3 f 2mx lnx 3 可以转换为f 2mx lnx 3 f 3 对应于 x 1,3 恒成立，即 2mx lnx 3 3即0 2mx lnx 6对x 1,3恒成立lnx 6 lnx即2m 且2m 对x 1,3恒成立xxlnx ,x，则g' xx1 lnx +在1,e上递增，在e,3上递减, x16所以1x -max 一e6 lnx,h' xx5 lnx2x0,在1,3上递减所以hmin6 ln31 . ln3.故m ,1，故选B.32e 6本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系，计算范围，可以转化为函数结合导函数，计算最值，即可得出答

16、案.7. (2019河北高考模拟(理)已知函数f(x) x23x 5,g(x)ax lnx,若对x (0, e),xhx2(0, e)且 Xix2，使得f(x)g(xi)(i1,2),则实数a的取值范围是()1 6A- (-,-)e e67B. -,e4)e1 , C. -,e4)D.(x)min=g ( 1a实数a的取值范围.当 x 0,eg' x 0,1 - 6 ：(0,-U-,e4)e e，一11,f (x)的值域为一，5) , g (x)=1+lna,作出函数 g (x)时，函数f x的值域为 ,54与题意不符，故a 0.令 g'在(0,.由g0,e)ax 1,推导出a

17、>0, g上的大致图象，数形结合由求出ax 1 .可知：当a 0时,x1 .g x . g -1 lna ,mina作出函数10,e，所以 a在0,e上的大致图象如图所示,1观察可知g elnaae7ae4a e .故选：B本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识,查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.、解答题8. (2018江西高考模拟(理)已知函数f(x) (ax2 x a)e x (a R).一.5(1)右a 0,函数f (x)的极大值为一，求实数a的值；e(2)若对任意的a 0, f(x) bln(x 1),在x 0,)上恒成立，求实数b

18、的取值【答案】(1) a 2; (2) b 1【解析】试题分析：(1)先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数a的值；(2)先求a 0 , f x最大值，再变量分xexe离得b ,最后根据导数研究函数y 最大值，即得实数 b的取值范ln(x 1)ln(x 1)围.试题解析：(1)由题意，尸(制= (2公+1|尸一(官”+才+也|1，尸 t/1.=值/十1 - 2叮工十廿一1二一中-" (、工一卜事工+1一口 .当以二口 时，令，(K)>0 ,得天<1 ；K：卜；0 ,得五> 1 ,所以f x在 ,1单调递增1,单

19、调递减.15所以f x的极大值为f 1,不合题意.e e.当3> 0时，1一工,令f(tx >0,得”工 < 0 ,得X C1一1或X ,1 , a"a11单调递减.所以f x在1 1单调递增，,1 1 , 1,aa2a 15所以f x的极大值为f 1 一，得a 2.e e综上所述a 2.令g(町=尸(1,近日-»9当工时，尸（犬+x之。,故 g a 于-,0 上递增，ga g 0 xex,x0原问题 xe x bln x 1于x 0,上恒成立当上0 口 时，飞工 w 0,+oa 1 ,c 0 ,检> Q ,此时而T >上岛"+1）,

20、不合题意.当上） 口时，令内（幻=81口工+ 1-施-” ,工更。,+00 J ,一、h if f L 占/ + V _ 1rr则=-一百 一工序I =,其中（工十n 0 ,4为巨Q+oo）,All ,（汇+1）言令尸=&a W-1,K wd,+GD I ,则p x在区间0, 上单调递增（丁） 之1时,N （工）之/=8-1至0 ,所以对¥工（=d,-HX）,由'（t）之0 ,从而奴工）在o,+ra I上单调递增，所以对任意工。，田），方（工）之用（0 = 0, 即不等式石山（X+1）贵北一”在。,40 1上恒成立.（,） 0 ca cl 时，由尸（口）二心一10 ,

21、>0 及p（;l 在区间。,4<0）上单调递增，所以存在唯一的 飞 （0,1）使得¥（两）二0 ,且天巨（0,砧）时，口（工",二0.从而工匠（4扁）时，依'（工j<0 ,所以也（幻在区间上单调递减，则其目（0,而）时，立4肛0） = 0,即AEfj+l *二尊,不符合题意.综上所述，二21.【点睛】：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数

22、解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法1 2_9. （2019广东局考模拟（理）已知函数f x a x 2lnx x 2x .2（1）讨论f X的单调性;（2）若f x有两个不同的零点，求 a的取值范围.1【答案】（1）见解析（2） a 0ln 2 1【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论a 0,0 a 2, a 2, a 2,可求得f x的单调性2时，函数的单调区间，讨论出零点（2）由（1）求得在 a 0, 0 a 2, a 2, a的个数，从而求得实数 a的取值范围一 ,， 2解析：(1) f x a 1 -xx21x2axx 0 xa

23、0, a x 0, x (0,2) , f x0, f x单调递增；x （2,),f x 0,f x单调递减0 a 2, f x 0 乂2或*2,当*(0,2),£乂 0,fx 单调递减;x a,2 , f x 0, f x单调递增；x 2, f x 0, f x单调递减1 一 2. a 2, f x - x 20, f x在0,单倜递减xa 2, f x 0 乂2或*2,当乂 0,2 , f x 0, f x 单调递减；x 2,a , f x 0, f x单调递增；x a, , f x 0, f x单调递减1 2_一(2)由(1)得当a 0时，f x -x 2x在定义域上只有一个零

24、点2a 0,由（1）可得，要彳f x有两个零点，则f 20 f 2 a 2 2ln2 2 01In 2 1下证f x有两个零点1x ea，f e a e21 aea2ea0,满足 f eaf 20 ,故 f x0,2有且只有一个零点a 4 2ln40,满足0,在2,有且只有一个零点2时,1)可得x12ln a a22 2a2aIn a0,故f x在0,2无零点,又因为2,单调递减, f x在0,至多一个零点，不满足条件当a 2时，x2 a 2 2ln 2x在0,a上无零点,又因为f x在a,单调递减,f x 在 0,至多一个零点，不满足条件,满足条件a的取值范围1In 2 1本题考查导数的综合

25、应用,考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断， 考查学生的计算能力，属于难题10. (2019湖北高考模拟(理)已知函数f(x) ex(a lnx),其中 a R .(1)若曲线y f (x)在x 1处的切线与直线yx一垂直，求a的值;e(2)记f(x)的导函数为g(x).当a (0,ln 2)时,证明：g(x)存在极小值点 小，且f(x。)0.【答案】(1) 0； (2)见解析【解析】分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得a 0,第二问写出函数 g(x)的解析式，对其求导，根据21ex 0,从而将研究g'(

26、x)的符号转化为研究h x a - - lnx的符号，对其再求 x x导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结果.详解：(1)lnxex -lnx依题意，有1 e,解得0.所以lnx因为ex0,所以glnx同号.x2 2x 2所以对任意x0,0,0,因 a 0,ln2所以0,ln120,xO故存在x0所以g x在区间上单调递减,在区间(.1)上单调递增.xI2 2x0(V1)g x-0+g x-极小值上的情况如下:g x与g x在区间 ：1218-4C , C 1,使得x0是g x的极小值点.所以若a 0,ln2 ,存在x0一 ,1令 h xo0,得到 a

27、 Inxo1 2x0,M ,X0 1 2x0cJ，所以 f x°e a lnx°e 2- 0 .x°xo【点睛】：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再结合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，通过研究导在这里需要注意的数的符号确定函数的单调区间，从而确定函数在哪个点处取得极值,Xf x axe 1, x R .是对导函数的转化问题，从而将函数解析式简化 11. (2019山东省实验中学高考模拟(理)已知函数(1)求函数f x的单调区间及极值；2(2)设 gx x t 2 In x m ，当a1时，存在 x1,

28、x20,使方程f xg x2成立，求实数 m的最小值.【答案】(1)单调递增区间为x ( ,a 1),单调递减区间为x (a 1,).函数f(x)1有极大值且为f(a 1) e 1, f(x)没有极小值.(2)-e(1)通过求导，得到导函数零点为x a 1 ,从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为f a 1 ,无极小值；(2)由f x最大值为0且g x 0可将问题转化为lnx m有解；通过假设 h x xlnx ,求出h x的最小值，即为 m的最小值. x【详解】(1)由 f x a x ex 1 得：f x a 1 x exx令 f x 0,则 a1xe 0,解得 x a 1当

29、x ,a1 时，fx0当 xa 1, 时，fx0f x的单调递增区间为 x ,a 1 ,单调递减区间为 x a 1,a 1当x a 1时，函数f x有极大值f a 1 e 1, f x没有极小值(2)当a 1时，由(1)知，函数f x在x a 1 0处有最大值f 0e0 1 0又因为g x方程f xix t, Inx2 ,2, m -x t Inx 0 tg X2有解，必然存在X20, ，使g X2m7等价于方程Inx m有解，即m xlnx在0, 上有解记 h x xlnx, x 0,1h x Inx 1,令 h x 0,得 x -e,八1当x 0,-时，h x 0, h x单倜递减 e0,

30、 h x单调递增1e1.当x -,时，h xe一， 1所以当x 一时，h x .mine ，1所以实数m的最小值为-e本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高1.12. ( 2019江西省都昌县第一中学局考模拟(理)已知函数 f (x) x alnx.x(1)讨论f(x)的单调性；f x1f x2(2)若f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明： a 2 .x x2【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求

31、导，之后对 a进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据f x存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a 2,令f '(x) 0 ,得25到两个极值点X1 , x2是方程x2ax 1 0的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.详解：（1） f x的定义域为 0,2x ax 10,当且仅当2, x 1 时0,所以f x在0,单调递减.(ii)若a 2,令 f x0得，x a24 或 x0, a0 a Ja2 4时，fa 、a2 4 aa2 4时，f x 0 .所以f x在；a2 4a 、a2 4a - a2 4单调递减，在 a-4递增.（2）由（1）知,f x存在两个极值点当且仅当a 2.由于f x的两个极值点X, x2 满足 x2 axx21 .由于f x1f x2a 1nxi 1nx22