数学建模：投资收益和风险的模型[1]

1、安徽建筑大学数学建模课程设计报告书院系数理学院专业信息与计算科学班级三班学号姓名题目 投资的收益与风险指导教师欧剑20设计目的过数学建模课程设计了解数学建模的步骤、方法， 学会撰写科技论文，通提高应用数学的意识、兴趣和能力。2、 设计时间20 -20 学年第二学期第 周3、 设计地点理化楼数学建模实验室4、 设计内容针对某一生产、生活实际问题，建立数学模型，通过数学模型的求解，解决这一问题。按数学建模竞赛论文格式撰写一篇完整的解决实际问题的数学建模论文。5、 设计要求1 灵活应用各种数学知识解决各种实际问题。2了解问题，明确目的。在建模前，要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的

2、观察。3对问题进行简化和假设。在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当地简化和合理的假设。4在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学工具来刻划、描述各种量之间的关系，用表格、图形、公式等来确定数学结构。5要对模型进行分析，即用解方程、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明，得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性，必要时进行修改，调整参数，或者改换数学方法。6.用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来 的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。投资收益和风险的模型一问题的描述某公司有数额为M （较大）的资金，可用作一个时

3、期的投资，市场上现有 5 种资产（S）（如债券、股票等）可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产 进行评估，估算出在这一段时期内购买 的期望收益率（口）、交易费率（p。、 风险损失率（q ）以及同期银行存款利率ro （r0=3%在投资的这一时期内为定值 如表1,不受意外因素影响，而净收益和总体风险只受。，pi, q影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，风险尽可能小.表1投资项目Si期望收益率ri （%）风险损失率qi （%）交易费率Pi（%）存银行So300S1272.41S2221.62S3255.24.5S4232.26.5S5211.52其中 i 0,1

4、,2,3,4,5.二问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；在投资中，不考虑通货膨胀因素，因此所给的的期望收益率为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险，即整个资本市场整体性风险，它依赖于整个经济的运行情 况，投资者无法分散这种风险，而只考虑非系统风险，即投资者通过投资种 类的选择使风险有所分散；不考虑投资者对于风险的心理承受能力。2.2 符号说明为：购买第i种资产的资金数额占资金总额的百分比；MX :购买第i种资产的资金数额；Mxo :存银行的金额;R:净收益;f(Xi):交易费用;Q :总体风险；三模型的分析与建立令交易费用:第i种投资的净收

5、益率f(Xi)Mx R, X0, X(i0l|,5)则净收益为总体风险为约束条件为可以简化约束条件为Q maxMxiqi55f(Xi)MXi Mi 0i 05(1Pi)Xi 1i 05同时将M M (1 )为代入，得55R M (1 ri)xiM (1pi)xii 0i 05M(riPi)Xi 0略去M,原问题化为双目标决策问题5max Rx(i pji 0min Qmaxxiqi0 i 5 if(3.1 )(1 Pi)x 1s. t .以下设Pi 0 ,否则不对该资产投资四模型的求解4.1固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，将模型(3.1 )化为min Q maxqix ,0 i 55(ri

6、Pi)xiR,i 0(4.1 )5S. t .(1 Pi)x1,i 0xi0i 0,1,|,5此模型又可改写为min yr。 P0XorPiXi|llr5P5 4 R1PoXo1P1X1|1P5 X51s。 t . 劭 yXi0,y 0i 0，1j|，5令i (ri r)/(1pJ,i表示第i种投资的净收益率，则i必大于0,否则,若1 o,则不对Si投资，因为对该项目投资纯收益率不如存银行，而风险损失率又大于存银行。将i从小到大排序，设k最大，则易见对模型（4.1）的可 行解必有0.03 R k.当R 0.03时，所有资金都存银行，Q 0；当R k时，所有资金用于购买Si, Q止；当0.03

7、R k时，有如下结论7。1 Pk结论：若0.03R（X0,xJ|,X5）是模型（3.2.2）的最优解，则xqi I X5q57。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前 5项投 资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即XQi X2q2川X5q5时，总体 风险最小8。证：设 y1，丫2,|, y5是满足 xq X?q2 X5q5的一组解,即y1q y2q2 | y5q5 Q*。显然此时Q*为总体风险。由于前5项投资总额樨一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险 增加。（比如说将y的值增加为y1会使得yq1 Q ,总体风险显然增加；反之， 若减小h的值，必然会导致另外

8、一项或几项的值，总体风险自然增加因此，当R （0.03,0时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）(1i 1Pi)x式消去Xo； 2)将XiQ代入解出Q 3)由Xi Q, 1 i 5, Xo 1qiqi求出最优解。所以，我们算得如下结果：(2) R 0.26/1.01 时，xo X2(3) R (0.03,0.26/1.01)时，Q（1） R 0.03 时，x0 1,x1 x2 x3 x4 x5 0,Q 0;X3 X4 X50,Xi 1/1.01,Q 0.024/1.01 ；R 0.03R 0.03R 0.03,Xi , X2 40.17210.96410.6428X32.0889

9、X4 , X5 -0.88380.6026 X1 1.01x11.02X21.045X3 1.065X4 1.02X50事实上应用Lingo软件可算得如下结果：表1最小风投资Si的资金百分比Xi(i 0,1,2,3,4,5.)收益R险度QX0X1X2X3X4X50.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110

10、.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310

11、.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890

12、.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.0000R 0.03R 0.03R

13、 0.030.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/1.010.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00004.2固定Q使R最大的模型固定Q吏R最大，将模型(3.2.1 )化为5max R (nPi)Xi ,i 0的 Q,5s. t .(1 Pi)Xi 1,i 0X 0,(i 0,1,|,5.)(3.2.3 )对于每一个Q用模型(3.2.3)都能求出R,由净收益率i(rir)/(1 p),直观上想到i越大，x应尽量大，这种想法是正确的，可将其写为如下结论。结论7：设(xo,xi,|,x5)是模型

14、(3.2.3 )的最优解，若i j , Xj 0,则XiQ/qi。证明：反证法。假设 i j , Xj 0 ,而xiQ/qi。选取充分小的正数,使得(Xi)qi Q ,(1 Pi) Xj (1 pj) o令 XiX , Xj Xj (1Pi)/(1Pj),当 k i,j 时，令XkXk,则Xk0,且5* 一一 * 一一 一 一一 . _ 一一 . . Xk (1Pk)Xk(1Pk) (X )(1Pi)Xj (1Pi)/(1Pj )(1 Pj) 1,k 0k i,j55* .* .Xk (rkPk)Xk (rkPk)(Xi)(riPi)Xj(1Pi)- (1Pj)(rjPj)Xk(rkPk)k

15、0k i, jk 0。则(X0*,X1* J,X5*)才是最优解，因此(X0,X1J”,X5)不是模型(3.2.3)的最优解。 此处矛盾，则结论成立，证毕。由此结论，我们可将i从大到小排序，使i最大的k应尽量满足Xkqk Q, 若还有多余资金，再投资i次大的，。对于不同的Q,会有不同的投资方案， 我们可以算出Q勺临界值，从而确定各项目的投资值。因此，设123450 ,则可用下面的方法算出各临界值。，C2 , C3 , C4 , C5。只有一种投资时，c1(1 P1) q1,c1 q1/(1 P1) 0.023762。当有两种投资时，将x1c2/q1,x2 c2/q2 ,代入x1(1 p1) x

16、2(1 p2) 1 ,得C2 q&/(1 P1)q2 (1 P2)q 0.009449。同理可得：C3 q1q2q3 八(1 Pi)q2q3 (1 P2)q03 (1 Psgq2 0.007941 ,C4q1q2q3q4.(1plqzqsq(1P2)q1q3q4(1P3)q1q2q4(1P4)qq2q30.005736C5 qq2q3q4q5：(1 pJqzqsq,qs (1 P2)qq3q4q5(1 P3)qq2q4q5(1 P4)qq2q3q5(1 P5)qq2q3q4 0.004131于是得最优解：当 Q 0.000000 时，x0 1,x1 x2 x3 x4 x5 0 o当0 Q 0.

17、004131 时，(1 Pi)Xi。Xi Q qi, X2 Q/q2,X3 Q. q3, X4 Q. q4,X5 Q.q5,x。 1当 0.004131 Q0.005736 时,X1 Q, q1,X2Q. q2, X3Q：q3,X4 Q, q4, X51(1 Pi)Xi/(1P5), X00。i 1.当 0.005736 Q0.007941 时,X1Q q,X2Q. q2,X3 Q. q3,X41(1Pi)Xi (1P4), X5%0。当 0.007941 Q0.009449 时,X1 Q, q1,X2 Q, q2,X31(1 1Pi)Xi (1P3), X4X5X00。当 0.009449

18、Q 0.023762 时,X1 Qy,X2 1 (1 P1)x(1 P2), X3X4X5x00 o当 Q 0.023762 时,X11 (1P1), X2X3X4X5X0当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。为了能够给不同风险承受1.065x4 1.02x5 1,Q,Q,Q,Q,Q,能力的投资者提供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最 优收益值R和最小风险度Q的值之间的对应关系。因此，我们将模型（3.2.3 ）改写成如下形式：max R0P0X0口P1K H |r5P5% ,x0 1.01X1 1.02X2 1.045X30.024X10.016X2st0.052X3

19、0.022X40.015X5Xi 0,( i 0,1,2,3,4,5.)为此编写MATLAB序（见附录），从风险度Q 0开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索50根据附录中程序一，最优收益值 R和最小风险度Q以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下：风险度最优收益投资Si的资金百分比X( i0,123,4,5.)QRX0X1X2X3X4X500.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03

20、850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.20440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00

21、000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23

22、480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87

23、500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000从上表可以看出，风险越大，收益也越大，冒险的投资者可能会集中投资，而

24、保守的投资着者则会尽量分散投资。 但是，在风险度Q从0.0000增长到0.0080 过程中，风险增加很少时，收益增加也很快，而风险度 Q在0.0080之后，风险增加很大时而收益却增加的很缓慢。由于在风险度Q从0.0240之后，最优收益R已 经达到最大，不再增加，所以对于一般投资者来说，选才 Q 0.0240, R 0.2574时的安排才为最优投资组合方案R益收优最o 15 0or*V0.50.45最优收益R随风险度Q的变化趋势图4 5 3 5 2 o-3o 2 o o o5S02S04S06S07S09s4.3.3 使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益一风险最大原则，可取模型max Rq ,

25、5,(1 Pi)Xi 1,Sti 0X 0,(i 0,1,|,5.)由于q0 0,因而取X0 1,Xi X2 III X5 0时，maxR/Q=+。当然，也可取模型min Q/R ,st5(1 Pi )Xi1,i 00,(i0,1,|,5.)同上，由于q0 0 ,因而取x01,x1x2|j x5 0时，min Q/R=0,从而可知，全部钱存银行是最优解。对于此问题，其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解，故这种模型不够好4.3.4 偏好系数模型由偏好系数法，我们选取偏好系数(01),建立模型max(1 )R y,5x(1 P) 1,i 0Stxqiy,xi 0,(i 0,1,2,3,4,5

26、.)具体数据可应用参数规划法进行计算0权重r最小风投资Si的资金百分比xi(i 0,123,4,5)险度Qxox1又2x3x4x50,0.72000.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00000.7210,0.79200.00790.00000.33090.49630.15270.00000.00000.7930,0.90700.00520.00000.21490.32230.09920.00000.34380.9090,0.97500.00410.00000.17190.25790.07940.18760.27510.9760,10.00001.0000

27、0.00000.00000.00000.00000.0000风险度Q随权重r的变化趋势图0.0250.020.015Q度险风0.010.005C70.10.20.30.40.50.60.70.80.91权重r附录一模型一 Lingo 语句minroPo xori Pi Xi%P5 X5s t 1 Po Xo1 Pi Xi H 1 P5 X5w yXi o,y o,(i o,i,|,5.)min=y;o.o3*Xo+(o.27-o.oi)*Xi+(o.22-o.o2)*X2+(o.25-o.o45)*x3+(o.23-o.o65)*x4+(o.2i-o.o2)*x5=o.o3;Xo+i.oi*X

28、i+i.o2*X2+i.o45*X3+i.o65*X4+i.o2*x5=i;o.o24*xi=y;o.oi6*x2=y;o.o52*x3=y;o.o22*x4=y;o.oi5*x5 R=o.o3 while R Q=0 while (1.1-Q)1 % or Q1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q, . )axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;endxlabel( a ),ylabel( Q )模型三 Lingo 语句max(1 )R y，5xi (1 pi) 1, i0s.t.xiqiy,xi 0,(i 0,1,2,3,4,5.)max=(1-0.2)*(0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-