2020-2021学年度黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案

1、高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第 I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分,满分150分，考tO寸间120分钟.(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;(2)选择题必须使用 2B铅笔填涂，非选择题必'须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写 ，字体工整,字迹清楚;(3)请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效;(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知复数z满

2、足（i1)(z i2i （i为虚数单位），则z的共轲复数为（2.A. i 1B.2iC. 1 iD.2i已知集合 A=x| f (x)lg(xx2 6),B=x|g(x) =、x m ,若AI Bm的取值范围是（）3.A. (-8 , 3)B.(-2, 3)C. (-8 , - 2)D.(3, +00)2 x已知双曲线2a2 y b21 （a>0, b>0）的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，且其离心率3e=-，2则该双曲线的方程为（4.5.6.22a y x )A. 匚 1452xB. 一5已知在各项均为正数的等比数列an中,A.128B. 108已知A.是第四象限角，且sin

3、B.13cos已知命题p：存在n R,使得f（x） = nx2 x c.一42D.5a1a3=16, 83+84=24,则 a5=(C. 64D. 32D.一 2n 是哥函数，且在(0，）上单调递增；命题 q：22x R,x 2 3x”的否定是“ x R,x 2 3x” .则下列命题为真命题的是（）a. p qB- p qC- p qD- p q7.函数f (x) =2 吗|的图象大致为B.执行该程序，若输入 n 6 ,则输出C=()，.猿区F4-1用国|/司C-A40A. 5B. 8C. 13D. 219.从A,B,C,D,E五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A和B时,A需排在

4、B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有(A. 51 种B. 45 种C. 42 种D. 36 种10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为B.D.11.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆24 1上，若椭圆的焦点在 b正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()5 15 1A. (0,12-)B(工一,1)3 13 1C- (2-,1)D- (0,2)12.已知 f (x)为函数 f(x)的导函数，且 f(x)=1x2- f(0)x+f (1)ex1,.1 2X2g(x)= f (x) - - x x ,右方程g( x) - x=0在(0, +8)上有且仅有一个根，则实

5、数 a的取 2a值范围是()A. (0, 1B. (-8, -1c. (-8, 0)U1 D. 1, +8)第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共 4小题，每题5分.)13 . 一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭 4号阀门；(iii)不能同日关闭3号阀门和4号阀门.现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是.

6、y x14 .若实数x,y满足约束条件 yx4，且 2xy 2的最小值为4,则k =.y 2k15 .若 x9 a0a(x 1) a2(x 1)2L为(x 1)9,则a7的值为.1 ,16.已知首项为-的数列an的前n项和为Sn,定义在1, +8)上恒不为零的函数 f(x),对任意3的x, yCR,都有f(x) f(y) = f(x y).若点(n, an)(nCN*)在函数f(x)的图象上，且不2 2m -.等式m +<Sn对任意的n N*恒成立.则实数 m的取值范围为3三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .(本小题满分12分)在 A

7、BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c b)cos A a cosB .(1)求角A的大小；uur uur_(2)若 D为 BC 上一点，且满足 BD 2DC, AD 253, b 3,求 a .18 .(本小题满分 12分)如图1,已知在梯形 ABCD中，AB/CD, E,F分别为底 AB,CD上的点，且11 ,EF AB, EF EB FC 2,EA FD ,沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD 平面 22EBCF ,如图2所示.(1)求证：平面 ABD,平面 BDF (2)若二面角B-AD-F的大小为60° ,求EA的长度.图图1图219 .(本小题满分12

8、分)小张经营一个抽奖游戏。顾客花费3元钱可购买游戏机会。每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球(除颜色外其他都相同)，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖。顾客获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a元，10元，5元，1元。若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A:1个黑球2个红球；B:3个红球；C:恰有1个白球；D:恰有2个白球；E:3个白球。且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖五个层次。(1)通过计算写出一至四等奖分别对应的类别(写出字母即可)；(2)

9、已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；(3)设顾客进行一次游戏时小张可获利X元，求变量X的分布列；若小张不打算在游戏中亏本，求a的最大值.2220 .(本小题满分12分)已知椭圆C：2 * 1(a b 0),过椭圆C的右焦点F任作一条直线，交椭圆 C a b于A,B两点.过椭圆C的中心任作一条直线，交椭圆 C于M ,N两点.(1)求证：直线AM与直线AN的斜率之积为定值.(2)若a AB 2ON,试探究直线 AB与直线MN的倾斜角之间的关系.21 .(本小题满分12分)已知f x x 1 ex12(1)当a 0时，求函数g(x) f x -ax的极值点.(2)若x 1,都

10、有f x x m In x 1成立，求m取值范围请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分22 .(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C： cos( -) 1,过极点O作射线与曲线C交于点Q,在射线OQ上取一点P ,使OP OQ 亚.(1)求点P轨迹C1的极坐标方程；(2)以极点O为直角坐标系原点，极轴为 x轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy,若直线l : yJ3x与(1)中的曲线G相交于点E (异于点O),与曲线二tC2(t为参数)相交于点F ,求EF的值.21刍2223.(本小题满分10分)设f (x)x 1 x 1 ,(x R)(1)求证：f(x) 2;

11、2b 1 1 b(2)若不等式f (x) 对任意非零实数 b恒成立，求x的取值范围b选择题:BACDB CBBAD AC填空题:三、简答题:2018届高三理科数学二模答案中，由正弦定理得:17.解：（1）在4分中，由余弦定理得:5分，中一至四等奖分别对应的类别是B, A, E, C.5分(2)事件为顾客摸出的第一个球是红球，事件为顾客获得二等奖8分(3)设顾客进行一次游戏经营者可盈利元，则X3-a-7-223P10分12分19.(1)EAEBFC,所以AB/ CD,即A, B, C, D四点共面.由 EF=EBFB=BC=2±FB,又翻折后平面 AEFEL平面EBCR平面FC=2 ,

12、 EF ± AB , 得AEFDA 平面 EBCF=Ef DF1 EF,所以 DF,平面 EBCR 因而 BC± DF,又 DFA FB=R=(0，2t)平面所以BC，平面 BDF,由于 BCBCD,则平面 BCD，平面BDF,又平面 ABD即平面 BCD所以平面ABDL平面BDF. (6分)(2)以F为坐标原点，FEE, FC, FD所在的直线分别为 x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 F(0, 0, 0), B (2, 2, 0),设 EA=t(t>0),则 A (2, 0, t),D(0, 0, 2t),设平面ABD的法向量为 m=（x, y,

13、z）,则=（- 2，0，t） （ 8 分）ABD 的一个法向量|cos<mB x=t,则 y=t, z=2,所以 m=(t, t, 2)为平面又平面FAD的一个法向量为 n=(0, 1,0), 则12 分）n>|=所t=即 EA 的 长 度 为20解：（1）证明：设A（x0， y0）， M（x1， y1）， N（ x1，y1），222222222 b2011 + 011=0,即01011 = a2.2222由00+00= 1, 11 + 11 = 1,两式相减，得y0 y1y0 y1kAM=X0X1, %N = X0+x1,kAM , kAN= - a2为定值.4 分2b2（2）当

14、弦AB所在直线的斜率不存在时，|AB|= a , ，|MN| = 2b, .弦 MN为椭圆的短轴，此时， MN/AB. 5分当弦AB,弦MN所在直线的斜率均存在时,不妨设弦AB 与弦 MN 所在直线的斜率分别为k1， k2， A（X1， y1）， B（X2， y2），M（X3， y3）， N（X4， y4），则直线 AB, MN的方程分别为 y=ki(xc), y=kzx,y=k1 (x-c), 由 b2x2+a2y2 a2b2=0,得(b2 + a2k2)x2 -2a2k2cx+ a2c2k2 a2b2 =0，2222221. xi + x2= 111, xix2= 111,2222|AB|

15、 =11 , |x1 x2| = 11 ,22 22222=11 - 1111122 22 2222=11 11) 2= 111.8 分y= k2x, 同理，联立 b2x2 + a2y2 a2b2=0,2得(b + a k2)x -ab =0,22 ，x3+x4=0, x3x4=22,222222 22|MN| = 22 - |x3-x4| = 22 - = 22 - 22 =2222ab - 222.10分. a|AB|=2|ON|2 . 2a|AB|= |MN|2, . 2a 222 = 4a2b2- 222,222 222 即 111 = 222,即(a2b2)k2= (a2 b2)k2.22 a>b, k1= k2,k1= ± k2,，直线AB与直线MN的倾斜角相等或互补.综上所述，直线AB 与直线MN 的倾斜角相等或互补12分当时,上变化时，可得下表:00/极小值极大值/极小值点为所以由表可知，此时极大值点为时， 极大值点 为极 小 值 点 为当时,此时调递增,既无极大值点也无极小值点上单2）设为增函数存 在 唯使,即即为减函为增函对成立等价于恒成立gwfun没巴夕Wb贴所史Slpcai i?+ ' - Jt pP = _LL _ ,cos » mlI 4J 。rI L；p=48导