2021年中考数学一轮复习训练24矩形(解析版)

1、专题24矩形问题领知磁雌1 .矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2 .矩形的性质（1）矩形的四个角都是直角：（2）矩形的对角线平分且相等。3 .矩形判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形：（3）有三个角是直角的四边形是矩形。4 .矩形的面积：S=ab （a、b分别表示矩形的长、宽）例题解析与对点练习【例题1】（2020湘西州）如图，在平而直角坐标系式勿中，矩形月反力的顶点月在x轴的正半轴上，矩形 的另一个顶点，在y轴的正半轴上，矩形的边但a, BC=b, ADAO=x,则点。到x轴的距离等于（ ）B acosxrbcosxD. asin

2、廿6sin*A. &cos田bsinxC. asinBAosx【答案】A【解析】作 gy轴于属 由矩形的性质得出07=四=排AD=BC=b, NADC=90° ,证出NQ?£=N%0= x，由三角函数定义得出勿=6sinx, DE= acosx,进而得出答案.作£Ly轴于瓦加图：四边形.皿是矩形，ACD=AB=a, AD=BC=b, ZADC=9Q<> ,：.CDE-ZADO=W ,VZ/469O° , ：.DA&rADO= ,：.CDE= DAO=x.VsinZZZ4t= cos 4 CDF , ADCD0D= ADX si

3、nZDAO= bsinx, DE=DX cos Z CDE= acosAs 0E= DE-OD= acos 田 bsinx,点。到才轴的距离等于acosBbsinx.【对点练习】（2019贵州省铜仁市）如图为矩形的，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为4和6,则a+6不可能是（）A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【答案】C.【解答】一条直线将该矩形即分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以资6不可能是630°

4、; .【例题2】（2020荷泽）如图，矩形的?中，四=5,月=12,点尸在对角线切上，且»=BA,连接肝并 延长，交加的延长线于点。，连接60，则/的长为.【答案】3g.【解析】根据矩形的性质可得劭=13,再根据阳易可得际加8,所以得。0=3,在RtZkB。中，根 据勾股定理即可得60的长.;矩形板P中，AB=5, AD=12. ZBAD=ZBCD=9Q0 ,：.BD= VAB2 +AD2 =13>：BP=BA=5,：.PD=BD- BP=8,: BA=BP,：.ZBAP= ZBPA= /DPQ,: AB" CD,：.ABAP= ZDQP.：.Z.DPQ= ZDQP.

5、：.DQ=DP=3,：.CQ=DQ- CD=DQ- AB=8 - 5=3.在Rt万的中，根据勾股定理，得BQ= BC2 + CQ2 = V153 =3vT7.【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形板P中，AD=8,对角线月。与即相交于点0, AEA.BD,垂 足为点£，且熊平分/胡0,则月6的长为.【答案】竽.【解答】.四边形皿 是矩形：.AO=CO=BO=DO.月£平分/胡0:./BAE= /EAO.且月g =熊，NAEB= /AEO,:AABEgAOE (ASA)：.AO=AB,且月。=仍：.AO=AB=BO=DO.：.BD=2AB,:5+西=所，,64+初=4

6、位 儿)-3【例题3】（2020聊城）如图，在山崎中，万为5。的中点，连接四并延长交勿的延长线于点尸，连接小AC,若3月尸，求证：四边形两是矩形.【答案】见解析.【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用44S判定的2尸5从而得到AB=CF； 由已知可得四边形.W。是平行四边形，BC=AF,根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形 郎。是矩形.证明：四边形月附是平行四边形，：.AB/ CD, AB=CD.:./BAE=/CFE,ABE= 4FCE, "为6。的中点，：.EB=EC.，松修"（也IS）,：.AB=CF.、：ABH CF, 四边形丽是平行四边形

7、， : BC=AF,.四边形的"。是矩形.【对点练习】（2019湖北省鄂州市）如图，矩形双7?中，AB=8,/?=6,点。是对角线切的中点，过点。 的直线分别交相、边于点及F.(1)求证：四边形应防是平行四边形:(2)当庞 =8时，求瓦7的长.【答案】见解析。【解析】根据矩形的性质得至"跖，由平行线的性质得到N加gN皈，根据全等三角形的性质得到加" =阻于是得到四边形血尸是平行四边形：推出四边形6的是菱形，得到*跖EFLBD, OE=OF,设 但x.则DE=BE=8 - x根据勾股定理即可得到结论.(1)证明：四边形的?是矩形，：.AB/CD.：.4 DFO= /

8、BEO、又因为N0"=NS应；OD=OB.:,D024B0E (月$0,：.DF=BE.又因为DFBE, 四边形幽尸是平行四边形：(2)解：*)；四边形即下是平行四边形四边形幽尸是菱形，：.DE=BE. EFLBD, 0E=0F, 设 AE=x,贝 I DE= BE=8 - x在斤亡女中，根据勾股定理，有痣-疝=渡，d+6'= （8 - x） 解之得：尸二，4.应=8-工=空.44任RtAABD中,根据勾股定理，有超-而=而,762 + 82=10,A OD BD=3,2住RtADOE中,根据勾股定理，有/ - OD = OE.：.EF=20E=.2专题点强化训练一、选择题L

9、 （2020怀化）在矩形的?中，AC.加相交于点0,若月第的面积为2,则矩形皿的面积为（）A. 4【答案】CB. 6C. 8D. 10【解析】根据矩形的性质得到勿=如=%=如 推出S3=S3=5-=S3=2,即可求出矩形，曲的面积.四边形皿是矩形，对角线月。、切相交于点0,：.AC=BD.豆 0A=0B=OC=0D,SKV= 5a«?= S'皿=2 ,.矩形板P的面积为42,皿=8,2. （2020达州）如图，/BOD=A5： 50=刈，点、A住05上,四边形物力是矩形，连接月。、初交于点月 连接更交助于点凡下列4个判断：比平分/反切：OF= BD：的技惊：若点G是线段）的中

10、 点，则血为等腰直角三角形.正确判断的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】由矩形得比加瓦1, N员切为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断的正误：证明 月*初,便可判断的正误；连接愿 由线段的垂直平分线得加一好,由前面的三角形全等得心9 进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得月6=宓，进而求得N4您 =45° ,由矩形性质得 ED= EA,进而得N£切=22.5° ,再得N瓦k7=90° ,便可判断的正误.四边形月比P是矩形，:.EB=ED,：BO=DO,：.OEN分/BOD、 故正确:四边形月反力是矩形，：.OA

11、D= Z.BAD=W ,：.ZABD-ZADB=90<> ,： OB=OD, BE=DE.：.OELBD.工 NB0EM0BE=9T ,BOE= NBDA,N&P=45° , ZO4P=90° ,：.ADO=A ,：.AO=AD.：.AOF/ABD，OF=BD,故正确：；Aaof/abd.:AF=AB,连接不如图1,：.BF= y2 AF,: BE=DE, OELBD.：.DF=BF.：.DF=五AF,故正确：根据题意作出图形，如图2,G是 8的中点，Z0=90° , AG 0G,：.NA0G=/0AG,V ZAOD=45° ,万平分

12、/月勿.A ZAOG=ZOAG=22. 5° ,，NG=67.5° , ZADB= ZAOF=22.o" ,四边形的?是矩形，:EA=ED,：.EAD= Z.EDA=22. 5" ,：.ZEAG=9Q ,V ZAGE= ZAOGrZOAG=45" ,，NJ5G=45° ,：.AE=AG.，饭；为等腰直角三ffj形, 故正确;故选：A.3. (2019广东广州)如图，矩形相以?中，对角线月。的垂直平分线及7分别交SC AV于点、E,尸，若殓=3,胪=5,则月。的长为()A. 4石【答案】AB.，的C. 10D. 8【解析】连接月E由线段

13、垂直平分线的性质得出/=公AE=CE,证明月冉，比得出月F=35, 得出公一四=5, BC=BACE=8,由勾股定理求出一=Jae2-BE2一 L与由勾股定理求出月C即可.连接拈如图：;斯是月0的垂直平分线,：.OA=OC, AE=CE>四边形的力是矩形，.Z5=90° , AD/BC.：.OAF= AOCE.'ZA0F=ZC0E在和初中-OA=OC/OAF=/0CEJ.AOFCOE (ASA),:AF=CE=5,:AE=CE=5, BC=BE-CE=3+5 = K,但 Jae2-BE-Vs2-32 1',，,jVaB2+BC2 " + 8、75；故选

14、：A.4. （2019山东泰安）如图，矩形的力中，AB=4, AD=2,七为月6的中点，尸为上一动点，P为DF中点，连接依，则用的最小值是（）C. V2D. 2亚【答案】D【解析】根据中位线定理可得出点点尸的运动轨迹是线段再根据垂线段最短可得当班时，收取 得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知配_LA2,故炉的最小值为质的长，由勾股定理求解即 可.如图:当点尸与点。重合时，点尸在只处，CP产DP、,当点尸与点6重合时，点尸在月处，EP：=DP：,丝且公尺=工纺2当点尸在左上除点。、万的位置处时，有DP=FP由中位线定理可知：P.P/CE11 P.P=CF，点P的运动轨迹是线段月2，当皿AA

15、时，所取得最小值;矩形月灰刀中，月5=4, AD=2. £为月5的中点，侬、XADE、员H为等腰直角三角形，6 = 2: NADE= /CDE= /CP,B=45° , N应C=90°，/旌H=90°，/加2=45°，N2A6=90° ,即跖，A2，.明的最小值为能的长在等腰直角成H中，CP.=BC=2 ，元=26，用的最小值是2725. （2019湖北荆州）如图，矩形池Q的顶点月，6,。分别落在NMQV的边。从QV上，若"=",要求只 用无刻度的直尺作NM2V的平分线.小明的作法如下：连接月G切交于点片作射线应；

16、则射线庞平分N MON.有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线 合一”.小明的作法依据是（ ）A. ®B. ®C.D.【答案】C【解析】四边形皿为矩形，：.AE=CE.而 OA=OC,纪为N月X的平分线.二、填空题6. （2020绍兴）将两条邻边长分别为e，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪 出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）.扬1,鱼-1,赠， V3.【答案】.【解析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解.如图所示:42-1则其中一个等腰三角形的腰长

17、可以是历，1,历一1, 吟 不可以是遍.7. （2020泸州）如图，在矩形中，E,尸分别为边月6,月的中点，BF与EC、瓦?分别交于点M M已 知月5=4, BC=6,则MV的长为.【解析】: 【分析】延长 绥、加交于0,延长班和S 交于肌根据勾股定理求出班 根据矩形的性质求出也?，根 据全等三角形的性质得出AQ=BG AB= CW,根据相似三角形的判定得出QJ折双胡*公。，根 据相似三角形的性质得出比例式，求出AV和aP的长，即可得出答案.【解析】延长依久交于。，如图1,丁四边形的?是矩形，BC=6,：.ZBAD=90" , AD=BC=6. AD/BC尸为月中点，:.AF=DF=

18、3,在 RtZkE”7中，由勾股定理得：BF= 'AB2 + AF2 = V42 + 32 =5,AD/BC.，/Q= 4ECB,YE为45的中点，AB=4,:AE=BE=2,在。比和谈中ZQEA = NBECNQ = ZECBAE = BE:.QAEACBE （朋S）,：.AQ=BC=6,即即 =6+3 = 9,°： AD BC,：.4QMFs4CMB, FM _ QF _ 9 = = -9BM BC 6 : BF=5,：.B）f=2,尸/=3,延长身和。交于祇如图2,同理熊=仁4, 0F=8, BF=Fm5, AB/ CD,，囱万s 伤.BN BE .=,NF DW. B

19、N 2 = 一,5-BAT+S 4解得：母三孩，io4：.N=BN- B'U 2=- 338. （2020黔东南州）如图，矩形月6Q?中，AB=2, SC=五，万为8的中点，连接熊、劭交于点只过点P作尸QL5C于点、Q,贝1尸。=.【解析】（【分析】根据矩形的性质得到助 8, AB=CD, AD=BC, N房山=90° ,根据线段中点的定义得到由：GA为8根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】:四边形皿是矩形，：.AB/CD. AB=CD. AD=BC, £BAD=W ,；E为Q?的中点，：.DE= CD=触 22:AABPAEDP,.AB _ PB -&quo

20、t; = DE PD 2 PB 一 =一， 1 PD.PB _ 2 =一,BD 3 : PQLBC,：.PQ/CD.，方匕灰；.PQ _ BP _ 2 = =, CD BD 3 / CD=2,：.PQ=- 3（添加一个条9. （2019湖南娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 件即可）.【答案】乙步G90°或AC=BD.【解析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故添加条件：ZABC=90"或AC=BD.故答案为：Z.ABOW或AC=BD.10. （2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形双7?中，AB=4

21、,6,点?是矩形相内一动点，且S=-Sg则尸。+a?的最小值是.2【答案】4".【解析】结个已知条件，限据S”=L S .eU判断出点P在平行于AB,bAB的距离为2、与CD的:： 24的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线1AB,作点D关于直线1的对称点口,连接CD：, .矩形 3?中，相=4,欧=6, CD=4,DDm8,在RtZMZDD,中，由勾股定理得CDk4",，尸。+也的最小值是4".11. （2019贵州省安顺市）如图，在Rt嫉中，ZBAC=9Q° , AB=3. AC=4,点。为斜边天上的一个 动点，过分别作归_四于

22、点M作口月。于点出 连接加；则线段照的最小值为D【解析】连接办 即可证明四边形儿血丫是矩形：由矩形小01,得出心一月"再由三角形的面积关系求出相 的最小值，即可得出结果.连接出?，如图所示：DM LAB. DNLAC. ：. Z.AMD= ZAZ7=90" , 又次1C=9O° , 四边形山似,是矩形：9： ZBAC= 90" , AB=3, AC=4, ：.BC=5, 当月DISC时，曲最短，此时血的面枳=1叱/?= 1协水; 22 mii A8.AC 12 AD的取小值=一，BC 5.Y段3的最小值为经12. （2019湖北省咸宁市）如图，先有一张矩

23、形纸片月反刀，月5=4, BC=8,点M N分别在矩形的边必BC 上，将矩形纸片沿直线必.折叠，使点。落在矩形的边相上，记为点尸，点。落在G处，连接尸0,交必守 点0，连接G7.下列结论：。=8 四边形G肥V是菱形:尸,月重合时，MV=2«：的面积S的取值范闱是3WSW5.其中正确的是（把正确结论的序号都填上）.【答案】.【解析】先判断出四边形。7）宏是平行四边形，再根据翻折的性质可得CV= A凡然后根据邻边相等的平行四 边形是菱形证明，判断出正确：假设。kS 得斤e留gZkC。进而得N%N久仁N&P=30° , 这个不一定成立，判断错误；点尸与点月重合时，设氏V=

24、k表示出邓一AC=8-x,利用勾股定理列出方 程求解得x的值，进而用勾股定理求得必；判断出正确；当MV过。点时，求得四边形Gg的最小而积， 进而得S的最小值，当尸与月重合时，S的值最大，求得最大值便可.如图1,: PY" C,：.£PMN=V Z.tnr= ：. PMN= PNM. :.PM=PN,9：NC=NP. ：.PM= CN,: MP" CN,，四边形GE”是平行四边形， CV=AH .四边形是菱形，故正确；ABCP=MCP.，/J3=N，= 90 ° ,: CP=CP,若 CQ= CD,则 RtX CMg CMD,：.ZDC)f= ZQClf=

25、 ZBCP=30Q ,这个不一定成立，故错误；点产与点片重合时，如图2,设 EV=m 则加-Ar=8-x,在斤士四V中，即443=(8-x) 3,解得*=3,"'.=8-3=5, /aB2+BC2=W5, CQ方02遥， 郎他卜产依2二遥,MV=2QV=2匹故正确：当MV过点。时,如图3,此时，G.最短，四边形解v的面枳最小.则s最小为s=为菱皿网二义小4二小 当尸点。A点重合时，G最长，四边形QKV-的面枳最大，则S最大为S=-X 5X 4=5， .4Wg5,故错误.故答案为：.13. （2019 贵州贵阳）如图，在矩形3?中，AB=4, Ng=30° ,点尸是对

26、角线月。上的一个动点，连 接",以才为斜边作/段=30°的直角三角形应冗使点万和点4位于。尸两侧，点尸从点看到点。的运 动过程中，点万的运动路径长是.【答案】竽.【解析】万的运动路径是四的长;VJ5=4, ZPC4=30a ,RL入可 DI" »3当尸与月点重合时,在斤中，砂=生巨，£DA£ =30" , /血=60° ,3:.定=3匣，4CDE =30：3当尸与。重合时，NEDC=60：/EDE =9y,N血=30° ,在斤亡血中，EE =蚪立314. （2019山东潍坊）如图，在矩形型7?中，AD=2

27、.将/月向内翻折，点月落在6。上，记为H ,折痕为DE.若将N6沿&T向内期折，点6恰好落在龙上，记为£ ,则月3=【答案】V3【解析】利用矩形的性质，证明/祖/=/4>=/4= 30° , NC=N/E，=90° ,推出函月'9DCA , CD=B D,设月5=ar=x,在斤匕血£中，通过勾股定理可求出的长度.四边形皿为矩形，A ZADC= ZC= Z5=90" , AB=DC,由翻折知，4AE2XS ED, 比“月6£ /A B E= 48=B g900 ,：./AED=/£ ED, 46 EB=

28、46 EB , BE=B E,A Z.AED= Z/ ED= A A EB=X 180° =60° ， 3：.£ADE=W - N的=30° , N/庞 =90° -/历=30° ,ADE= Z/ DE= Z/ DC=3Q",又NG=N/Eg90° , %'=%',:ZB A W4DCA (AAS),:.dbdB在万亡?!&?中,NADE=3Q° , AD=2,AE=2 2V32酒 &A5=DC=x, BE= E=x- 3：aE+a/=dE、2+o2（4. 2V、：33解得

29、，*=（负值舍去）» -v：=VsJ15. （2019北京市）在矩形ABCD中，M, N, P, Q分别为边AB, BC, CD, DA上的点（不与端点重合）.对于 任意矩形ABCD,下面四个结论中， 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形: 存在无数个四边形MXPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形:至少存在一个四边形MXPQ是正方形.所有正确结论的序号是.【答案】【解析】如图，0为矩形ABCD对角线的交点,图H6T图中任过点。的两条线段PM, QN,则四边形MXPQ是平行四边形：显然有无数个.本结论正确.图中任过点。的两条相等的线段PM. QX，则四边形MNPQ是矩形：显然有无

30、数个.本结论正确.图中任过点。的两条垂直的线段PM, Q,则四边形MNPQ是菱形：显然有无数个.本结论正确.图中过点0的两条相等且垂直的线段PM, QN,则四边形MNPQ是正方形：显然有一个.本结论错误.故填：®.三、解答题16. (2020苏州)如图，在矩形相中，5是6。的中点，DFLAE,垂足为尸.(1)求证：鹿S勿叫(2)若AB=6, BC=49求方的长.【解析】见解析。【分析】（1）由矩形性质得出?6G进而由平行线的性质得/=/晰 再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由£是理的中点，求得比，再由勾股定理求得小 再由相似三角形的比例线段求得加【解析】（1） 四边

31、形皿是矩形，：.AD/BC, Z5=90° , NDAF= ZAEB,: DFLAE,工 NAFD=/B=90' ,：4ADFs4EAB,:丛ABEsDFA：（2）二万是5。的中点，BC=4,：.BE=2,V/i5=6,：.AE= >/AB2 + BE2 =后 + 22 = 2、时 四边形的是矩形，：.AD=BC=y ： AABEsDFA,.AB _AE *DF 石 .DF =空"=隼=&同AE 2vl0 517. （2020贵阳）如图，四边形物力是矩形，万是方。边上一点，点尸在万。的延长线上，且 g跖（1）求证：四边形月国是平行四边形：（2）连接切，若N月初=90° ,月5=4, BE=2,求四边形月瓦叨的面积.【解析】见解析。【分析】（1）先根据矩形的性质得到四芯AD=BC.然后证明/=岳可